江蘇省南京市玄武高級中學(xué) 尹 澳

恒成立問題是高中數(shù)學(xué)中的常見題型，也是高考考查的重要知識點(diǎn)。高中生應(yīng)該在平時的解題實(shí)踐中，對恒成立問題進(jìn)行概括和總結(jié)，提高自身的綜合解題能力。本文將著力結(jié)合恒成立問題，就其在函數(shù)、方程、不等式等題型中的解析應(yīng)用方法進(jìn)行歸納。

一、在函數(shù)題型中解析恒成立問題

函數(shù)題是高中數(shù)學(xué)的重要題型，也是高考考查的必考知識點(diǎn)。恒成立問題在函數(shù)題型中較多，也為我們了解恒成立問題、探析函數(shù)的性質(zhì)提供了參考。如在某題中，一次函數(shù)f（x）=（m-6）x+2m-4，函數(shù)x的定義域?yàn)閇-1，1]。當(dāng)f（x）＞0恒成立時，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。該題為常見的恒成立題目，我們通過對題意進(jìn)行分析，可以先得到一次函數(shù)的圖像，觀察其圖像，在定義域[-1，1]范圍內(nèi)，若f（x）＞0恒成立，則應(yīng)該滿足f（-1）＞0和f（1）＞0。據(jù)此，我們可以得到關(guān)于m的不等式，進(jìn)而求解出m的取值范圍。也就是說，在該題解題方法上，通過已知條件，可以根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，加上與恒成立的條件，得到一次函數(shù)應(yīng)該滿足都大于0的條件。據(jù)此，我們可以提煉關(guān)鍵信息，將一次函數(shù)及其圖像作為判斷依據(jù)，從定義域范圍內(nèi)應(yīng)該都滿足大于0的要求。同樣，在二次函數(shù)里，如果存在恒成立問題，又該如何去解題？高中數(shù)學(xué)二次函數(shù)有一元二次、二元二次函數(shù)，恒成立問題多與一元二次 函數(shù)結(jié)合。當(dāng)然，也有一元二次不等式。如下題：當(dāng)x∈R，若要使不等式mx2+2x+3＞0恒成立，求m的取值范圍。該題是關(guān)于不等式的恒成立問題，且有二次函數(shù)，我們可以對該函數(shù)進(jìn)行分析，假設(shè)當(dāng)m=0時，不等式成立；當(dāng)m＞0時，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)，得到該圖像的開口向上，且關(guān)于對稱軸的值應(yīng)該在x軸上方；當(dāng)m＜0時，該圖像開口向下，且關(guān)于對稱軸的值也應(yīng)該在x軸上方。據(jù)此，我們可以綜合分析，得到m的取值范圍應(yīng)該為（0，3）。

二、以參量法來解恒成立問題

針對恒成立問題，可以根據(jù)題意，結(jié)合高中知識來靈活選擇不同的解題思路和方法。當(dāng)然，不同題型的解題方法也不盡相同，我們在平時要多積累、多歸納，選擇合適的解題方法，來化解恒成立問題。參量法作為其中之一，可以為我們提供更好地解題思路。通常，在恒成立問題求解中，時常會遇到一些不等式的證明，而不等式中又涵蓋一些參量，這些參量的處理，往往為我們化解難題提供了關(guān)鍵。通過對參量進(jìn)行換元處理，可以提升解題效率。如某題：有任意的a∈[-1，1]，對于函數(shù)恒成立，求x的取值范圍。同樣是一元二次不等式，出現(xiàn)了恒成立問題，我們可以從中分析題意，給出的條件為a的取值范圍，但對于不同的a值，會遇到什么情況？我們可以在分析后，將a作為參量來分析不同情況。根據(jù)取值范圍[-1，1]，當(dāng)a=0時、a＞0時、a＜0時，不同情況下的函數(shù)范圍以及對應(yīng)的x的范圍都可能不同。如此來梳理解題思路，顯得很麻煩。如果我們引入換元法，將參量a作為變量來分析，則對原函數(shù)的x看作參量，如此一來，二次函數(shù)就化為一次函數(shù)。由此，再根據(jù)題意來求解，解法會輕松很多。最后，我們也可以通過驗(yàn)證方式來考查解法是否正確。當(dāng)然，針對參量的換元法，我們還可以應(yīng)用其他方法來解題。如分離參量法，結(jié)合題意中的參量，可以對參量進(jìn)行提取，將不等式進(jìn)行適當(dāng)變形，由原來的恒成立問題，轉(zhuǎn)換為較為簡單的關(guān)于某一參量的問題。以某題為例：當(dāng)x∈R，在不等式恒成立時，求解a的取值范圍。觀察該不等式，有兩個變量，一個為a，一個為x，對于a還是二次項(xiàng)。為此，我們可以通過變形手法，將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)橐贿呏挥衋的方程，另一邊只有x的方程，從而得到兩個代數(shù)式，可以將之看作兩個函數(shù)式，即根據(jù)sinx的最值范圍，得到關(guān)于a的不等式求解該不等式，即可得到a的取值范圍。通過對上述恒成立問題的分析，為我們研究和應(yīng)用不同解法積累了經(jīng)驗(yàn)。在解題時，要沉著冷靜，分析好題意和題型變化，選擇合適的解法。

三、利用構(gòu)造法來化解恒成立問題

在恒成立問題求解方法上，我們會發(fā)現(xiàn)一些條件無法被直接利用，需要從中進(jìn)行提煉，這時，我們可以通過構(gòu)造法，將有助于拓展解題思路。復(fù)數(shù)是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容，復(fù)數(shù)有實(shí)部、虛部兩部分，根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，可以推導(dǎo)出復(fù)數(shù)的一些性質(zhì)。恒成立問題，有時可以借助于復(fù)數(shù)的構(gòu)造，來獲得快速求解方法。以某題為例，存在一個x，y，其定義域?yàn)镽，求證：我們初看該題，分析為不等式，但通過分析題目中的變量關(guān)系，我們可以利用絕對值不等式來巧解該題。假設(shè)z1=x+yi，z2=（x+3）+（y+4）i，通過對z1，z2進(jìn)行計算，得出結(jié)果再代入到不等式中，就可以完成證明。為此，我們需要先構(gòu)造函數(shù)，接著，利用構(gòu)造函數(shù)或其他數(shù)學(xué)形式來構(gòu)造出外延和擴(kuò)大的表達(dá)式，再利用縮小形式進(jìn)行證明。需要強(qiáng)調(diào)的是，在構(gòu)造函數(shù)引入解題時，順序不能顛倒，對復(fù)數(shù)進(jìn)行構(gòu)造時，要結(jié)合復(fù)數(shù)性質(zhì)來構(gòu)造。當(dāng)然，構(gòu)造法的運(yùn)用，需要我們能夠從題設(shè)中查找和發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵點(diǎn)，并對這些關(guān)鍵信息進(jìn)行驗(yàn)證。

總之，在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，我們應(yīng)當(dāng)通過對數(shù)學(xué)知識的不斷探究，尋找各個知識點(diǎn)之間的聯(lián)系。其中關(guān)于高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題策略是作為高中生應(yīng)當(dāng)熟練掌握的一項(xiàng)重要知識技能，求解方法較多，學(xué)生要圍繞不同題型，拓寬解題思路，挖掘數(shù)學(xué)知識，選擇恰當(dāng)解法。高中生要在平時多積累解題經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)解題水平。