徐榮新

1 基本情況

1.1 教材分析

本節(jié)課是蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)必修4第一章第三節(jié)的第一節(jié)課，主要內(nèi)容是周期函數(shù)的概念，以及正弦、余弦函數(shù)的周期性，在此之前本章已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，以及在此基礎(chǔ)上的誘導(dǎo)公式;而在本節(jié)之后將學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，周期性則是為作圖提供了理論依據(jù)，所以本節(jié)知識(shí)既是前面知識(shí)的延續(xù)，又是后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ).

同時(shí)周期性的研究也是數(shù)形結(jié)合思想的完美表現(xiàn)，思想方法的教學(xué)就應(yīng)滲透在平常的教學(xué)中，用好關(guān)鍵的章節(jié)，因此在學(xué)習(xí)周期函數(shù)的定義后，要用好課本的思考題，去探究等量關(guān)系所體現(xiàn)的圖象特征.

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，將進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、邏輯推理能力，數(shù)據(jù)分析能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，發(fā)展理性思維.

1.2 教學(xué)目標(biāo)

（1）了解周期函數(shù)的相關(guān)概念，能從“形”和“數(shù)”的角度體會(huì)函數(shù)的周期性，會(huì)利用定義、圖象和公式求一些簡(jiǎn)單三角函數(shù)的周期.

（2）通過(guò)生活中周幾現(xiàn)象的數(shù)學(xué)化剖析，理解周而復(fù)始，提煉給出函數(shù)周期性的定義;在運(yùn)用中加深對(duì)定義的理解;并嘗試?yán)枚x尋求三角函數(shù)的周期性，總結(jié)規(guī)律.

1.3 教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：周期函數(shù)的定義和正弦、余弦和正切函數(shù)的周期性;

難點(diǎn)：周期函數(shù)的概念.

2 教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1 新知建構(gòu)

教師：（1）今天周二，7天后周幾？14天后呢？7天前呢？14天前呢？為什么？

學(xué)生：都是星期二！因?yàn)樾瞧谑且?天為一循環(huán).

（2）這種現(xiàn)象你能用一個(gè)成語(yǔ)來(lái)刻畫(huà)嗎？

學(xué)生（討論）：“周而復(fù)始”比較恰當(dāng).

（3）你能結(jié)合周幾現(xiàn)象解釋“周而復(fù)始”這個(gè)詞嗎？生活中還有其他的例子嗎？

學(xué)生：每過(guò)七天，周幾和今天是一樣的，也就是每經(jīng)過(guò)一段重復(fù)出現(xiàn)，與原來(lái)一樣.

舉例：“生活中的月份”、“離離原上草，一歲一枯榮，野火燒不盡，春風(fēng)吹又生”等等.

活動(dòng)意圖通過(guò)對(duì)生活現(xiàn)象的剖析，讓學(xué)生體會(huì)到“周而復(fù)始”的本質(zhì)，即經(jīng)過(guò)一定間隔又回到開(kāi)始的地方.

教師：你能舉出三角函數(shù)中“周而復(fù)始”現(xiàn)象嗎？

學(xué)生：三角函數(shù)線旋轉(zhuǎn)重合.

學(xué)生：還有三角函數(shù)值相等：譬如sin（x+2π）=sinx.

教師：很好，兩位同學(xué)分別從“圖形”和“代數(shù)”的角度讓我們體會(huì)到了“周而復(fù)始”，其本質(zhì)是一樣的，其中代數(shù)式“sin（x+2π）= sinx”反映了任意角x的函數(shù)值等于它增加2π之后的函數(shù)值，我們把這種性質(zhì)稱為——周期性，

設(shè)計(jì)意圖在對(duì)周而復(fù)始現(xiàn)象的剖析后，轉(zhuǎn)入三角函數(shù)問(wèn)題中周而復(fù)始現(xiàn)象的探究，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)進(jìn)行問(wèn)題的延伸探討，并引導(dǎo)學(xué)生初步感受周而復(fù)始現(xiàn)象的數(shù)形兩樣特征表現(xiàn)，同時(shí)結(jié)合“sin（x+2π）=sinx”給出周期性的初步說(shuō)明.

教師：同學(xué)們能?chē)L試給出一般周期函數(shù)的定義嗎？

學(xué)生（師生一起完善）：對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零的常數(shù)T，使得對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

教師：這個(gè)定義中，哪些詞應(yīng)該引起我們的特別關(guān)注？

學(xué)生：“非零常數(shù)”，否則沒(méi)有研究?jī)r(jià)值;“每一個(gè)”體現(xiàn)了任意性，不能出意外;“f（x+T）=f（x）”這是周期性“數(shù)”的本質(zhì).

教師：同學(xué)們總結(jié)得非常到位，這些關(guān)鍵詞的理解與我們先前學(xué)習(xí)函數(shù)的奇偶性有異曲同工之處，對(duì)定義的理解也是我們進(jìn)一步研究的根基.

設(shè)計(jì)意圖 在之前問(wèn)題解決的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生用自己的語(yǔ)言嘗試提煉，進(jìn)行定義的建構(gòu)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力，并在三個(gè)方面進(jìn)行辨析理解，即表達(dá)式、間隔的非零要求、以及自變量的任意性，與奇偶性的對(duì)照理解則加深學(xué)生對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)處的認(rèn)識(shí).

追問(wèn)1：根據(jù)周期函數(shù)的定義，正弦函數(shù)還有其他周期嗎？

學(xué)生：還有，從誘導(dǎo)公式sin（x+2kπ）= sinx（k∈Z）中可以看出4π，甚至-4π也是它的周期;或者從三角函數(shù)線也可以看出，逆時(shí)針或者順時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩圈也可以重復(fù).

教師：很好，這位同學(xué)從“數(shù)”與“形”的角度發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)周期的不唯一性，但由于周期函數(shù)的重復(fù)性，我們研究一個(gè)函數(shù)，只要研究一個(gè)周期即可，因此我們規(guī)定：對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期，譬如f（x）= sinx的最小正周期就是2π——其證明可參考課本的“鏈接”，以后我們研究函數(shù)的周期，如果不特別說(shuō)明，都指最小正周期.

設(shè)計(jì)意圖：借助三角函數(shù)線、誘導(dǎo)公式發(fā)現(xiàn)其他周期，進(jìn)而引出最小正周期概念，說(shuō)明最小正周期的研究合理性：一個(gè)周期的特征足以描述其他范圍內(nèi)函數(shù)的特征.

追問(wèn)2：周期函數(shù)圖象有什么特征？原因是？

學(xué)生：循環(huán)，重復(fù)出現(xiàn)，因?yàn)楹瘮?shù)值的相等！

教師：很好，函數(shù)值的相等反映在圖形上就是重復(fù)出現(xiàn)，之前在研究函數(shù)的奇偶性時(shí)，我們先觀察到圖形關(guān)于y軸對(duì)稱或者原點(diǎn)對(duì)稱，從而反映x和-x函數(shù)值的相等或者相反，即由形到數(shù)，后續(xù)我們則利用函數(shù)的周期性來(lái)研究三角函數(shù)的圖象，即由數(shù)到形.

設(shè)計(jì)意圖充分挖掘代數(shù)問(wèn)題背后的圖形特征，進(jìn)行直觀想象，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)完整的數(shù)形結(jié)合思想，并與函數(shù)的奇偶性研究思路進(jìn)行對(duì)比：后者是先圖形，再有數(shù)量的刻畫(huà)，而周期性則是先有數(shù)量的刻畫(huà)再有圖形的特征.

環(huán)節(jié)2 知識(shí)應(yīng)用

問(wèn)題1：若鐘擺的高度h（mm）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示.

（1）求該函數(shù)的周期;

（2）求t=10s時(shí)鐘擺的高度.

學(xué)生：從圖象可以觀察出，周期為1.5s;

設(shè)函數(shù)為h（t），因?yàn)橹芷跒?.5s，

所以h（10）= h（6x1.5+1）= h（1）=20.

設(shè)計(jì)意圖在第（1）問(wèn)通過(guò)實(shí)際問(wèn)題讓學(xué)生感受周期性圖象的特點(diǎn)，體會(huì)其中的數(shù)形結(jié)合思想;第（2）問(wèn)則引導(dǎo)學(xué)生在求值中應(yīng)用周期性，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的功能，體會(huì)周期性在求解函數(shù)值中的作用.

問(wèn)題2：我們知道三角函數(shù)是刻畫(huà)圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，那么周期性在三角函數(shù)中怎么體現(xiàn)呢？

探究：函數(shù)f（x）= cos2x的周期是？

學(xué)生回答（教師板演）：設(shè)f（x）的周期為T(mén)，則f（x+T）=f（x），即cos2（x+T）=cos2x，亦即cos（u+2T）= cosu對(duì)任意u恒成立，則2T=2π，即周期為π.

教師：很好，抓住周期函數(shù)的定義是這個(gè)問(wèn)題解決的關(guān)鍵，同時(shí)也利用整體思想，結(jié)合誘導(dǎo)公式得到了2T= 2π，繼而解決問(wèn)題.

追問(wèn)：請(qǐng)同桌之間互相出題，給出一個(gè)三角函數(shù)，并求出其周期.

教師：通過(guò)黑板上同學(xué)板演的三道題，結(jié)合你們自己的問(wèn)題，能總結(jié)出一般的規(guī)律嗎？

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)前面問(wèn)題的研究，來(lái)到本節(jié)課的主題：三角函數(shù)的周期性，由于前面問(wèn)題的研究，以及學(xué)生在此之前已有的知識(shí)儲(chǔ)備，此處的問(wèn)題解決將顯得自然，讓邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力得到提升，探究和互相出題問(wèn)題的解決，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的思維過(guò)程，提升數(shù)據(jù)分析能力，總結(jié)得出正余弦函數(shù)周期性的一般性結(jié)論.

環(huán)節(jié)3 回顧總結(jié)，提升認(rèn)識(shí)

學(xué)生總結(jié)、教師點(diǎn)撥，完成本節(jié)課的知識(shí)和思想方法提煉.

知識(shí)層面：了解了什么是周期函數(shù)，形和數(shù)的特點(diǎn);掌握周期的求法：定義法，圖象法，公式法;

思想方法層面：體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，整體思想，從特殊到一般等等.

教師：研究了周期性，那么三角函數(shù)本身的圖象有何特征？后面我們將利用周期性來(lái)研究.

3 教學(xué)思考

3.1 發(fā)展核心素養(yǎng)要激活學(xué)生思維

課堂上學(xué)生活躍而投入的思維是發(fā)展核心素養(yǎng)的基石，只有從主觀上愿意去探究、接受新知，才有可能在此過(guò)程中讓核心素養(yǎng)得到訓(xùn)練和提升，而激活思維一方面取決于學(xué)生先天對(duì)學(xué)科的認(rèn)同和對(duì)知識(shí)的好奇，另一方面也取決于教師對(duì)問(wèn)題和情境的設(shè)計(jì)，本節(jié)課在教學(xué)伊始提出“周幾現(xiàn)象”、“用成語(yǔ)刻畫(huà)”、“生活中其他例子”，一下子把學(xué)生的思維提高到一定的興奮點(diǎn)，進(jìn)而引入到數(shù)學(xué)內(nèi)部本身，同時(shí)在定義的生成過(guò)程中與函數(shù)的奇偶性進(jìn)行對(duì)比研究，也是基于學(xué)生已有的認(rèn)知水平，通過(guò)類比研究讓學(xué)生覺(jué)得新知并不陌生，只是同一類知識(shí)的不同表現(xiàn)，因此激活思維首要是合理地設(shè)計(jì)情境和問(wèn)題，讓學(xué)生克服新知學(xué)習(xí)的畏難情緒，具備探究新知的良好心理狀態(tài).

3.2 發(fā)展核心素養(yǎng)仍需立足“四基”

基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（俗稱“四基”）是課堂教學(xué)的首要任務(wù)，而“四基”教學(xué)是發(fā)展核心素養(yǎng)的有機(jī)載體，把發(fā)展核心素養(yǎng)融入在“四基”教學(xué)中，因此我們?cè)趩?wèn)題的設(shè)計(jì)和處理中要一如既往地立足于“四基”的教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生掌握基本知識(shí)和方法、體會(huì)基本數(shù)學(xué)思想、總結(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，促使學(xué)生核心素養(yǎng)的不斷提升和發(fā)展，本節(jié)課在情境引入中體現(xiàn)出數(shù)學(xué)抽象，定義之后的追問(wèn)則引發(fā)了直觀想象，問(wèn)題1則是數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算，同時(shí)讓學(xué)生感悟到數(shù)形結(jié)合的思想方法，而在問(wèn)題2的研究中則讓邏輯推理能力得到了提升，在幾個(gè)題目的剖析后通過(guò)總結(jié)得到周期的公式則是基于數(shù)學(xué)分析能力，也感受到從特殊到一般的數(shù)學(xué)處理方法.

3.3 發(fā)展核心素養(yǎng)要?jiǎng)?chuàng)設(shè)探究活動(dòng)

波利亞說(shuō)過(guò)：“學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑都是由自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深刻，也最容易掌握其內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系”，因此發(fā)展核心素養(yǎng)要盡可能地給予學(xué)生探究的空間和時(shí)間，本節(jié)課在周期公式的探究中，通過(guò)之前的鋪墊，讓學(xué)生之間互相出題解決，激發(fā)了學(xué)生的熱情，并通過(guò)學(xué)生的展示去總結(jié)歸納，這樣的效果肯定比我們教師簡(jiǎn)單的傳授效果要好，印象要深刻，正所謂“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行”！在平常的教學(xué)過(guò)程中要通過(guò)局部的探究活動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)難點(diǎn)和重點(diǎn)的突破，而且是學(xué)生的主動(dòng)突破，這也是教師在備課時(shí)要加以考慮的一個(gè)環(huán)節(jié).

3.4 發(fā)展核心素養(yǎng)要基于教材分析

每一節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程和內(nèi)容都是我們發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有機(jī)載體，如何最大化地發(fā)揮問(wèn)題、活動(dòng)的效益是教師備課時(shí)必須考慮的，如果問(wèn)題僅限于問(wèn)題本身，可能也就失去了研究的價(jià)值，或者說(shuō)限于教師的能力，由于自己對(duì)題目理解的局限性而影響了學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解，因此教師需仔細(xì)研讀教材，領(lǐng)會(huì)教材編寫(xiě)者設(shè)置例題的意圖，體會(huì)其與已有知識(shí)、方法的聯(lián)系，甚至在數(shù)學(xué)思想等方面的深度和高度，以自己的高度引領(lǐng)學(xué)生的高度，去設(shè)計(jì)合理的情境，挖掘例題的功能，組織科學(xué)的學(xué)生活動(dòng)等等.