☉江蘇省啟東市百杏中學(xué) 浦圣妹

新課標(biāo)提出發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，培養(yǎng)更全面的人.那么，對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，我們的課堂應(yīng)該如何變化呢？筆者認(rèn)為應(yīng)該更注重學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，應(yīng)該豐富學(xué)生的體驗(yàn)，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的過程體驗(yàn).本文以無理方程的教學(xué)為例，就如何具體地實(shí)施談幾點(diǎn)思考.

一、創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)中生成概念

學(xué)生都是帶著知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)知識(shí)的，在學(xué)習(xí)無理方程之前，學(xué)生知道方程，也會(huì)“列方程”，為此，我們我們可以從學(xué)生的基礎(chǔ)出發(fā)設(shè)置問題情境，采用實(shí)驗(yàn)和師生對話的方式引出無理方程及無理方程的概念.

實(shí)驗(yàn)情境：老師給每組同學(xué)提供了一根30cm長的細(xì)鐵絲，現(xiàn)在大家嘗試著將其彎折成一個(gè)直角三角形，要求有一條直角邊長為5cm.

設(shè)計(jì)意圖：這是一個(gè)實(shí)踐類的問題，學(xué)生不加思索，借助于三角板的直角是可以實(shí)踐的，但是在彎折的過程中會(huì)出現(xiàn)困難，即另外一條直角邊從何處開始“彎折”.繼而生成新的問題.

生成問題：如何求另外一條邊長？

出現(xiàn)了一個(gè)未知量，要解決這個(gè)問題，學(xué)生很自然地會(huì)想引入未知數(shù).通常情況下，學(xué)生會(huì)想到設(shè)另一直角邊長度為x cm，借助于勾股定理，學(xué)生能夠列出方程：52+x2=（30-5-x）2，即52+x2=（25-x）2（1）.

能列出方程（1）是學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，不僅如此，從該方程中學(xué)生還能夠得到斜邊長為此時(shí)，可以采用追問的方式進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考.

追問1：除了方程（1），大家還能列出怎樣的方程？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生從總長度為30cm、一條直角邊長為5cm出發(fā)，很自然能夠聯(lián)系到斜邊長度應(yīng)該為30-5-x=25-x，可以得到新的方程：（2）.

追問2：大家觀察方程（2），從我們的原有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，想一想：方程（2）的左、右兩邊分別指的是什么？猜一猜這樣的方程有什么意義.

設(shè)計(jì)意圖：追問2是將學(xué)生得到方程（2）的思維可視化，方程（2）的左、右兩邊均可以表達(dá)彎折出來的直角三角形的斜邊，繼而很自然地歸納方程的實(shí)質(zhì)，即建立等號、列方程的意義，從兩個(gè)不同側(cè)面對數(shù)學(xué)問題中同一個(gè)量進(jìn)行表達(dá).當(dāng)然，同一個(gè)數(shù)學(xué)問題的思考點(diǎn)可以不一樣，找到的同一個(gè)量也會(huì)不同，可以進(jìn)一步追問，促進(jìn)學(xué)生對上述認(rèn)識(shí)的理解.

追問3：上述問題，如果我們換一個(gè)角度，你還可以列出怎樣的方程？

二、基于生成，比較中深化理解

學(xué)生的生成是課堂探究的重要生長點(diǎn)，通過前面的情境創(chuàng)設(shè)和引導(dǎo)，學(xué)生得到了3個(gè)方程，這里有有理方程和無理方程，我們在課堂上引導(dǎo)學(xué)生對這3個(gè)方程進(jìn)一步進(jìn)行比較，能夠深化學(xué)生對無理方程的內(nèi)涵的理解，自主比較得到無理方程的本質(zhì)特征，印象會(huì)更深刻.

師：觀察（1）、（2）、（3）三個(gè)方程，你覺得和我們前面學(xué)習(xí)的方程有怎樣的差別？

設(shè)計(jì)意圖：方程得到后，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)含有根式且根式下的內(nèi)容是包含未知數(shù)的代數(shù)式，以前沒學(xué)過，這屬于學(xué)生感興趣的地方，如果我們直接灌輸給他們，則印象不深刻，引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)更能夠深化學(xué)生對無理方程概念的理解，在學(xué)生有了初步判斷后，再拋出一些方程讓學(xué)生辨析，能夠促進(jìn)概念的理解與內(nèi)化.

練習(xí)：判斷下述方程哪些屬于關(guān)于x的無理方程.

在學(xué)生在辨析的過程中有了一定認(rèn)識(shí)后，再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生討論前文中涉及的3個(gè)方程，將學(xué)生的思維點(diǎn)轉(zhuǎn)移到此類方程如何解的探尋中來.

師：我們大家再來觀察前面得到的三個(gè)方程，看看（2）和（3）之間存在的聯(lián)系，（1）和（2）之間存在什么聯(lián)系？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生再一次對方程進(jìn)行比較，比較的過程就是實(shí)踐的過程，而且行有所獲，最終學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)代數(shù)式的變化過程，將方程（3）等價(jià)變形可以得到方程（2），將方程（1）的兩邊同時(shí)開方可以得到方程（2），在此基礎(chǔ)上，為了防止學(xué)生的思維出現(xiàn)片面性，可以進(jìn)一步追問.

追問4：若a2=b2，則a=b，大家覺得這一判斷對嗎？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生前面思維出現(xiàn)障礙，如果我們直接灌輸正確的結(jié)果可能印象不深，下次還是會(huì)錯(cuò)，怎么辦？借助于追問4，學(xué)生在分析：如果a2=b2，有a=b或a=-b兩種情況時(shí)，很自然地就會(huì)發(fā)現(xiàn)前面的說法“方程（1）兩邊同時(shí)開方可以得到方程（2）”是有問題的.

追問5：那么應(yīng)該怎么說呢？若a=b，則有a2=b2，這樣說對嗎？

學(xué)生有了上述思考，對于如何解無理方程就清晰了：將方程兩邊平方，將其轉(zhuǎn)化成有理方程再求解.

三、實(shí)踐體悟，引導(dǎo)在應(yīng)用中感悟

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)離不開應(yīng)用過程，應(yīng)用的過程是實(shí)踐，是進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展的過程，前面對概念的理解程度和思維狀態(tài)都會(huì)在概念應(yīng)用的過程中暴露出來，并有新的感悟.

1.設(shè)置例題，感悟方法

設(shè)計(jì)意圖：例2給出的是兩個(gè)不同的方程，但是最終的根是一樣的，自然地將思維轉(zhuǎn)向：這里面有怎樣的關(guān)聯(lián)呢？促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步比較與思考，很快在觀察與比較中感悟到方程的非同解變形會(huì)使方程根的范圍擴(kuò)大，此時(shí)怎么辦？很自然地生成驗(yàn)根的需要，這恰恰也是我們教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)所在.

2.自主練習(xí)，比較“通法”和“巧法”

我們在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，要謹(jǐn)防學(xué)生出現(xiàn)思維定式，同時(shí)要注意對學(xué)生發(fā)散性思維的引導(dǎo)，對于解無理方程而言，我們通常的方法是“平方法”，這樣的通法在教學(xué)中當(dāng)然要練習(xí)和鞏固，但不要將“平方法”作為唯一路徑，要滲透巧法，讓學(xué)生的思維品質(zhì)獲得有效提升.

設(shè)計(jì)意圖：上述四個(gè)方程，學(xué)生借助于平方法很快可以解決，從學(xué)生完成的情況看，我們要提醒學(xué)生對于第（2）小題，不能把“2”的平方疏忽掉；在解決（3）、（4）兩個(gè)特殊的無理方程時(shí)，學(xué)生如果進(jìn)行簡單的平方就容易出現(xiàn)問題，學(xué)生在自主嘗試并解決問題后，對解決無理方程的方法會(huì)有新的感悟，這是我們幫助學(xué)生有效克服思維定式負(fù)遷移的最好辦法.

四、總結(jié)歸納，引導(dǎo)學(xué)生在聯(lián)想中關(guān)聯(lián)

知識(shí)之間是有聯(lián)系的，我們每學(xué)習(xí)一個(gè)概念和方法，都應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生將其歸納到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，在聯(lián)想中關(guān)聯(lián)，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的建構(gòu)式發(fā)展.

1.類比分析化歸思想

這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，得出結(jié)論，如圖1所示.

圖1

2.引導(dǎo)學(xué)生在“方程”和“式”的比較中感悟知識(shí)內(nèi)在關(guān)聯(lián)，比較中得出方程的知識(shí)結(jié)構(gòu).

圖2

教育家馬登曾經(jīng)發(fā)表過學(xué)習(xí)就是鑒別的著名觀點(diǎn)，鑒別又必須建立在比較的基礎(chǔ)之上，學(xué)習(xí)者自身必須具備一定的認(rèn)知，才能從物質(zhì)的、文化的、感知的世界中對某些特征進(jìn)行辨認(rèn)和察覺.筆者認(rèn)為，初中數(shù)學(xué)教學(xué)，就應(yīng)該讓學(xué)生在原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上進(jìn)行“比較”，這是發(fā)展學(xué)生認(rèn)知和實(shí)踐意識(shí)，提高學(xué)生解決實(shí)際問題能力的不二法門.