☉江蘇省鄭集高級中學 王 鵬

教學過程中，學生需要借助習題的練習來鞏固對知識的理解，并由此來發(fā)展自己的數(shù)學思維和問題解決能力，教師在此過程中也要提供適當?shù)囊龑Ш蛶椭?下面筆者結合一道向量習題的教學處理，談談自己的認識.

一、探索一題多解，全方位分析問題

師：在前面的復習過程中，我們回顧了平面向量的概念以及坐標表示方法，特別是關于向量問題的分析過程中，我們一直在強調怎樣的數(shù)學思想？

生：數(shù)形結合.

師：很好，我來看下面這樣一個問題.

師：這是一個將向量作為載體的面積問題，它的思路切入點在什么位置呢？大家要積極發(fā)掘相關條件之間的關系，并尋求問題的解決方法.

學生進行思考，并積極討論，將自己對問題的基本看法展示出來.

生2：可以從幾何的方法來處理，對向量進行平移，畫出四邊形ABCD（如圖1所示），因此有

圖1

師：通過比較，我們發(fā)現(xiàn)這個方法顯然沒有用到之前的隱含條件，它從數(shù)形結合的角度著手，完成了問題的處理.那么這個方法是否存在普遍性呢？現(xiàn)在，我們有這樣一個問題：明確告訴你A—→C與B—→D沒有垂直關系，如何求解四邊形ABCD的面積？

反思：這個問題的解題過程是我們引導學生進行說題的過程，所謂“說題”，這是一個相對新穎的教學名詞，在概念上有點類似于“說課”.但是和“說課”卻也有所差別，說題的主體可以是老師，比如教師在討論命題設想，或是討論試題評講時，我們經常會通過“說題”的方法探討相關問題有什么優(yōu)勢或特點，在講評過程中存在什么注意點等，從這一層面來講，說題和說課存在相通之處.和說課不同的地方是，說題也可以是一種學生行為，面對一個問題，學生從自己認識的角度著手，對問題情境展開分析，并將自己的思路展示出來，學生的說題過程也是一種交流和討論的過程，他們在彼此交流中互相啟發(fā)，并最終形成認識和理解.

在上述問題分析過程中，如果學生將自己的思路定格為第一種處理方法，則很容易讓學生形成思維定式，這也導致如果下次學生遇到問題：明確告知A—→C與B—→D沒有垂直關系，求解四邊形的面積.學生很可能在思維上陷入停滯，而我們在習題教學的過程中引導學生展開分析和討論，這樣的處理可以讓學生形成更加深刻的認識.

很多學生在學習過程中經常止步于一個答案，貌似這樣處理，問題就已經全部解決.但是，這樣可能在一定程度上制約了他們思維的發(fā)展，因此一題多解往往都是我們引導學生展開探索的重要手段.一題多解的研究能夠推動學生將思路向更深層次發(fā)展，這可以讓學生的思維更加靈活多變，也有助于學生思維品質的提升.

二、變式處理，活化學生的數(shù)學思維

在上述問題的基礎上，我們對問題進行變式處理，由此來推動學生，讓他們的思維向更加活躍的層面推進和發(fā)展.比如在處理上述問題的過程中，我們可以用以下做法來進行變式.

師：現(xiàn)在這個題目中已經不存在原先題目中的垂直條件，因此原本的第一種方法已經無法繼續(xù)使用，我們該如何處理呢？

生3：可以進行向量的平移，如圖2所示，可得S四邊形ABCD=S梯形ABED-S△CDE=

圖2

生4：還可以這么處理，S四邊形ABCD=

師：不錯，我們可以類比之前同學的處理方法，對向量進行平移，最終得到四邊形的面積.你們還有其他的做法嗎？

學生繼續(xù)討論，又給出了一些其他的處理方法.

反思：在課堂教學的過程中，我們要力爭讓學生真正成為學習的主人，我們也要充分尊重學生的個人見解，對他們的創(chuàng)新意識和發(fā)散思維進行保護，同時也有效拓展學生的探究空間.我們要讓學生能夠自我感受到數(shù)學探究過程中的那份專注和激情，也讓學生能夠感受到挑戰(zhàn)帶來的喜悅和興奮.

上述案例其實是對原先例題的發(fā)展，直接給出一個不垂直的條件，為學生的探究提供了一個新的平臺.學生在處理過程中將充分運用向量的夾角公式、三角轉化公式等等.如此則能促使學生的認識得到發(fā)展和提升.

三、有效拓展，引導學生思維向縱深發(fā)展

對于上述問題，教師繼續(xù)進行拓展：在一個四邊形ABCD中，A—→C=（a，b），B—→D=（c，d），則四邊形ABCD的面積是多少？

師：結合上述問題，我們是否可以推導出四邊形ABCD的面積公式？

生5：我們對圖形進行適當轉化，如圖3所示，S四邊形ABCD=S△ABD+S△DBC=

圖3

生6：我還有這樣一個想法，S四邊形ABCD=

師：很好！這兩種方法都能非常好地解決問題，同時還能充分體現(xiàn)出數(shù)形結合的基本思想.由此我們通過對最先那個問題的處理，得到了一個一般性的結論：在一個四邊形ABCD中

反思：在上述教學過程中，我們在經過一題多解、變式處理之后，果斷引導學生進行拓展，讓學生在更進一步的思考和討論中完成結論的總結.這一過程流暢而自然，很容易讓學生產生深刻的印象.事實上，如果我們將預設的結論強加在學生的身上，他們將相當勉強，而且很可能第二天就忘掉，所以讓學生在自主探索時形成認識和理解，這樣才是真正屬于學生的認識.

四、總結歸納，促使學生獲得更大提升

就學生的數(shù)學學習而言，我們不能讓他們的研究止步于一個結論的獲得，結論探索過程中所產生的思維方法或數(shù)學思想，這些都是我們在教學過程中需要重點關注的.比如，在上述問題討論之后，我們安排學生展開總結歸納，交流經驗和體會.

師：通過剛才的研究，你們有什么體會嗎？

生7：經過剛才的思考和研究，我感到特別有成就感.

生9：數(shù)形結合的思想真是太奇妙了.

師：在上述問題的分析和研究中，我們抓住兩個主要角度來進行分析研究，其一是向量的坐標運算，其二是向量的幾何意義，最終完成了四邊形面積的求解，而且我們還由數(shù)量積的計算發(fā)展到向量夾角公式的研究，最后通過數(shù)形結合思想的運用得到了更加普遍的結論.

反思：在學生完成探索和研究之后，教師要引導學生展開分析，要鼓勵學生結合自己學習中的感受來提煉學習經驗，這是相當重要的.正所謂“實踐出真知”，如果只有實踐，而缺乏一個總結和提煉的過程，學生的真知將很難自己浮出水面，所以這一過程需要老師引導學生在總結中概括出來.

綜上所述，在有限的數(shù)學學習時間中，教師要為學生提供說題、探索、發(fā)現(xiàn)、總結的機會，讓學生能夠在主動研究和分析中獲得真知，完成能力的飛躍.