☉江蘇省西亭高級中學(xué) 馬宇杰

一、問題的提出

維果茨基在二十世紀(jì)二三十年代就提出了教育學(xué)應(yīng)以兒童發(fā)展的明天作為方向的言論，前蘇聯(lián)教育家贊科夫在他提出的“最近發(fā)展區(qū)理論”的基礎(chǔ)之上也深入剖析了傳統(tǒng)教學(xué)的弊端，贊科夫提出了以“學(xué)生的發(fā)展”為本的教學(xué)理論.人們隨著社會(huì)發(fā)展的日益加快也越發(fā)關(guān)心教學(xué)與發(fā)展.我國教育專家裴娣娜一直持學(xué)生發(fā)展依賴發(fā)展性教學(xué)的觀點(diǎn)，她認(rèn)為發(fā)展性教學(xué)理論與社會(huì)要求以及課程標(biāo)準(zhǔn)是能夠匹配且相互適應(yīng)的.

很多數(shù)學(xué)概念、公式的形成因?yàn)榘l(fā)展性教學(xué)的實(shí)施而變得更為清晰和具體，學(xué)生在清晰而具體的認(rèn)知過程中也更易對學(xué)習(xí)對象形成深刻的理解.學(xué)生在理解教學(xué)活動(dòng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)與進(jìn)程的基礎(chǔ)上往往更易對知識形成完整的構(gòu)建，不僅如此，還能在學(xué)習(xí)的過程中尋得適合自己的學(xué)習(xí)方法并不斷提升自學(xué)能力.高中生已經(jīng)具備了一定的抽象邏輯思維，學(xué)生也逐步開始在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)理論的概括且逐步走向成熟.本文結(jié)合兩角和與差的余弦公式進(jìn)行了發(fā)展性教學(xué)的思考與探索，發(fā)展性教學(xué)下對這一內(nèi)容的研究往往能夠提升學(xué)生對兩角和與差的余弦公式的理解并促進(jìn)其數(shù)學(xué)思維發(fā)展.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.創(chuàng)設(shè)情境

師：三角函數(shù)的定義是我們已經(jīng)學(xué)過的內(nèi)容，一些特殊角的三角函數(shù)值也是我們同學(xué)清晰記得的，如，那么我們是否可得出cos15°=cos（45°-30°）=？大家來猜想一下吧，這一式子的結(jié)果會(huì)不會(huì)等于cos45°-cos30°呢？

生1：不可能，因?yàn)閏os15°是正的，但cos45°-cos30°是負(fù)的，因此不會(huì)相等的.

師：說得不錯(cuò)，那么這種猜想不對的話，正確的結(jié)果應(yīng)該是什么呢？

（學(xué)生都陷入了思考中）

師：這個(gè)結(jié)果確實(shí)也不是我們同學(xué)能力范圍內(nèi)的，不過通過本課的學(xué)習(xí)，大家應(yīng)該能夠知道了，今天我們就來研究cos（α-β）的值應(yīng)該怎樣確定，看看它和α，β的三角函數(shù)值會(huì)不會(huì)有什么關(guān)系.大家可以嘗試一些特殊的情況對這一公式的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行大膽猜想.

由此可見，我們所要討論的公式形式和cosα，cosβ以及sinα，sinβ應(yīng)該都有關(guān)系，那么它們之間究竟存在著什么樣的代數(shù)關(guān)系呢？

2.學(xué)生活動(dòng)

師：請大家看一下此題并進(jìn)行解題嘗試.

若向量a=（cos75°，sin75°），b=（cos15°，sin15°）.請大家運(yùn)用數(shù)量積的定義與坐標(biāo)方法分別計(jì)算：a·b=|a||b|cosθ及a·b=x1x2+y1y2.請大家對兩次計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行比較并看看能否發(fā)現(xiàn)什么？

生2：向量的數(shù)量積有兩種表達(dá)形式，根據(jù)這兩種不同的表達(dá)形式可得cosθ=cos75°cos15°+sin75°sin15°，θ是a，b兩個(gè)向量的所成角，即θ=75°-15°，因此可得cos（75°-15°）=cos75°cos15°+sin75°sin15°.

師：太棒了，大家有沒有從這一特例中獲得一點(diǎn)啟發(fā)并將這一結(jié)論進(jìn)行推廣？

同學(xué)們面對這一問題紛紛躍躍欲試并展開了熱烈的討論，爭取將問題一般化并運(yùn)用特例進(jìn)行一般結(jié)論的猜想.

3.公式的構(gòu)建

生3：可以猜想到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

師：生3的這個(gè)猜想對不對呢？

生4：可以運(yùn)用特殊值來進(jìn)行驗(yàn)算，如α=30°，β=60°；α=90°，β=45°；α=240°，β=30°，用這三組特殊值驗(yàn)算可以發(fā)現(xiàn)猜想是對的.

師：大家如果覺得該公式是對的，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性大家也是都知道的，那么是否能夠?qū)ζ溥M(jìn)行一番證明呢？請同學(xué)們對上述兩式的構(gòu)成要素與結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行仔細(xì)的觀察，看看大家是否有什么啟發(fā)、聯(lián)想或者發(fā)現(xiàn).

……

生5：從上述特例cos（45°-30°） 以及cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ這一式子左右的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)，其右邊和向量數(shù)量積公式的坐標(biāo)表示是十分相近的，不僅如此，我們可以聯(lián)想構(gòu)造終邊與單位圓的交點(diǎn)分別是A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），結(jié)合向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方式即可得到以上恒等式.

師：請你將整個(gè)證明過程在黑板上板演一下，其他同學(xué)在稿紙上完成證明.

證明：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A和B，則=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=cosαcosβ+sinαsinβ.

圖1

所以cos（α-β）=cosβcosα+sinβsinα（0≤α-β≤π）.

師：生6，生5的解答過程跟你的是否一致？

生6：我漏寫了（0≤α-β≤π）.

師：大家覺得這一條件是否一定要注明呢？

生5：我認(rèn)為是必需的，畢竟兩個(gè)向量的夾角是［0，π］.

師：生5的回答完全正確，但大家有沒有想過這一公式是不是只能在（0≤α-β≤π）這一條件下成立呢？

學(xué)生在座位上竊竊私語起來：假如一定需要這一條件，這個(gè)公式實(shí)際應(yīng)用的局限性好像很大啊.

①當(dāng)α-β∈［0，π］時(shí)，則α-β=θ，cos（α-β）=cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ；

②當(dāng)α-β?［0，π］時(shí)，則存在k，m∈Z，使得α-β=2kπ+θ或β-α=2mπ+θ.

不管何種情況，都有cos（α-β）=cosθ，即cos（α-β）=cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ.

這里需要同學(xué)們尤其注意公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的觀察，這能有助于我們同學(xué)記憶，同時(shí)，公式的逆向運(yùn)用也是我們需要注意的.

變式：

①cos25°cos20°-cos65°cos70°=______.

②cos58°sin37°+sin122°sin53°=______.

師：大家還有其他方法能夠推導(dǎo)出兩角差的余弦公式嗎？這個(gè)問題請大家參考教材中的探究模塊并自主完成.

4.例題講解

教材中的例題講解略.

師：角的拆分是此題中我們需要注意的，比如：

（1）已知角2α，β的正余弦值，則2α+β的三角函數(shù)值應(yīng)怎樣求出？

（2）已知角α+β，α-β的正余弦值，則2β的三角函數(shù)值應(yīng)怎樣求出？

5.課后作業(yè)（略）

三、教學(xué)評價(jià)

高考對于高中整個(gè)階段的教學(xué)來說只是一個(gè)階段性的評價(jià)，考分雖然能夠?qū)W(xué)生的學(xué)習(xí)作出一定的客觀反映，但它并不是唯一的衡量指標(biāo).以學(xué)生發(fā)展為本并倡導(dǎo)學(xué)生的整體與持續(xù)發(fā)展是發(fā)展性教學(xué)理論一直強(qiáng)調(diào)的，因此，教師應(yīng)將學(xué)生的思想品德、文化知識、勞動(dòng)技能、身體素質(zhì)等多個(gè)方面內(nèi)容均考慮進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)評價(jià)中.國家對創(chuàng)新型人才的需求也是對當(dāng)今教育教學(xué)所提出的要求.國際上已經(jīng)將不會(huì)主動(dòng)探求新知或不會(huì)實(shí)踐應(yīng)用知識的人歸結(jié)為文盲，隨著國際間的交流增多，知識更新加快，教育教學(xué)也必須順應(yīng)形勢才能使學(xué)生能夠不斷增強(qiáng)應(yīng)變能力以適應(yīng)社會(huì)環(huán)境的變幻莫測.高中學(xué)生因?yàn)樽陨硪曇暗木窒尥幢啬軌蚩紤]良多，但教師應(yīng)該能夠認(rèn)清社會(huì)發(fā)展的形勢，應(yīng)將學(xué)生的認(rèn)知因素、情感、意志等內(nèi)容的評價(jià)置于學(xué)生的綜合評價(jià)之中，一改過去依賴考分評價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)情況的片面性，使學(xué)生能夠在知識學(xué)習(xí)、能力達(dá)成、情感表現(xiàn)等各個(gè)方面均得到客觀的評價(jià)，使學(xué)生能夠在不斷的實(shí)踐探索、創(chuàng)新思維中增進(jìn)知識、情感、價(jià)值觀等多方面的綜合發(fā)展.

教師在本課的教學(xué)活動(dòng)中不斷引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索、猜想、發(fā)現(xiàn)與推導(dǎo)，兩角差的余弦公式在學(xué)生猜想、推導(dǎo)得出的過程中也令學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯推理能力大大提升，學(xué)生體驗(yàn)探究樂趣的同時(shí)也大大鍛煉了數(shù)學(xué)素質(zhì)，學(xué)生在兩角差余弦公式的運(yùn)用中學(xué)會(huì)了簡單的求值、化簡證明并體會(huì)到了化歸思想的運(yùn)用，這有助于學(xué)生辯證看待問題的良好習(xí)慣的養(yǎng)成.

教師的教學(xué)藝術(shù)如果緊緊局限在傳授知識的層面，那必然是狹隘的，更為藝術(shù)的是對學(xué)生的激勵(lì)，學(xué)生在愉快和諧、自由思考的氛圍中往往能夠獲得更多的思想火花與知識情感.因此，教師在情境創(chuàng)設(shè)、探究設(shè)計(jì)等各個(gè)環(huán)節(jié)都應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，使學(xué)生能夠在浩瀚繁雜的知識中進(jìn)行關(guān)系的探尋、數(shù)學(xué)思想的挖掘以及知識體系的構(gòu)建，讓學(xué)生在教師的啟發(fā)與引導(dǎo)下學(xué)會(huì)思考并真正獲得數(shù)學(xué)素質(zhì)的全面發(fā)展.W