江文奇, 祁晨晨

(1. 南京理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院, 江蘇 南京 210094; 2. 江蘇產(chǎn)業(yè)集群決策咨詢(xún)研究基地, 江蘇 南京 210094)

0 引 言

直覺(jué)模糊型多準(zhǔn)則決策問(wèn)題是近年來(lái)多準(zhǔn)則決策研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。傳統(tǒng)的直覺(jué)模糊集(intuitionistic fuzzy sets, IFSs)采用隸屬度、非隸屬度和猶豫度表征評(píng)估值,但是忽視了決策信息的模糊性和決策者認(rèn)知的局限性[1]。區(qū)間直覺(jué)模糊集(interval-valued intuitionistic fuzzy sets,IVIFSs),使用區(qū)間值來(lái)表示隸屬度、非隸屬度和猶豫度,增強(qiáng)了表達(dá)信息的不確定性能力,可以有效處理數(shù)據(jù)的不確定性和模糊性[2]。

IFSs相似性測(cè)度是直覺(jué)模糊型多準(zhǔn)則決策的重要環(huán)節(jié),在模式識(shí)別等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[3]。文獻(xiàn)[4-5]最先提出了IFSs相似性測(cè)度距離模型,文獻(xiàn)[6]分析了這兩個(gè)模型的缺點(diǎn)并進(jìn)行了改進(jìn)。2002年,李登峰等提出了IFSs的相似性測(cè)度模型,被國(guó)際學(xué)者命名為登峰-春田相似性測(cè)度,為相似度設(shè)計(jì)奠定了研究基礎(chǔ)[7-8]。文獻(xiàn)[9]基于直接算子重新定義了相似性測(cè)度。文獻(xiàn)[10]則根據(jù)反直覺(jué)的案例重新定義了相似性測(cè)度模型。文獻(xiàn)[11]運(yùn)用幾何距離模型重新定義了連續(xù)距離和相似性測(cè)度。文獻(xiàn)[12]拓展了基數(shù)測(cè)度,設(shè)計(jì)了基于t范數(shù)的相似性測(cè)度。文獻(xiàn)[13]則基于Hausdorff距離計(jì)算IFSs間的距離進(jìn)而提出新的相似性測(cè)度模型。文獻(xiàn)[14]指出一些相似性測(cè)度并不有效,提出了幾種新的測(cè)度模型。文獻(xiàn)[15]運(yùn)用歐式距離進(jìn)行相似性度量;文獻(xiàn)[16]將IFSs轉(zhuǎn)化為直角三角形,基于重心提出相似性度量模型。

IVIFSs相似性測(cè)度分成兩類(lèi),第一類(lèi)設(shè)計(jì)借鑒IFSs相似性測(cè)度思想。文獻(xiàn)[17]分別利用區(qū)間數(shù)中點(diǎn)值和Hausdorff距離定義相似性測(cè)度。文獻(xiàn)[18]結(jié)合IFSs的Hamming距離和補(bǔ)集提出了IVIFSs相似性測(cè)度。文獻(xiàn)[19]設(shè)計(jì)包含猶豫度的IVIFSs歐氏距離公式。文獻(xiàn)[20]分別將文獻(xiàn)[11]中IFSs相似度拓展至IVIFSs相似性測(cè)度中。

另一種類(lèi)型是設(shè)計(jì)全新的相似性測(cè)度模型。文獻(xiàn)[21-23]構(gòu)建了IVIFSs的熵和相似性測(cè)度的關(guān)聯(lián)性,進(jìn)而設(shè)計(jì)了基于熵的相似性測(cè)度。文獻(xiàn)[24]采用shapely函數(shù)定義了幾個(gè)賦權(quán)的shapely相似性測(cè)度模型。文獻(xiàn)[25]對(duì)IVIFSs進(jìn)行約簡(jiǎn),進(jìn)而提出了Dice相似性測(cè)度。文獻(xiàn)[26]考慮了猶豫度因素并運(yùn)用相關(guān)系數(shù)表示相似度。文獻(xiàn)[27]考慮了猶豫度對(duì)隸屬度和非隸屬度的影響,結(jié)合TOPSIS構(gòu)建相似性模型。文獻(xiàn)[28]考慮隸屬度、非隸屬度和區(qū)間中點(diǎn)的影響并定義了新的相似度。文獻(xiàn)[29]分別考慮隸屬度與非隸屬度的距離,提出了新的相似性模型。

總體上看,IFSs的相似性測(cè)度主要以距離測(cè)度為主,采用左右端點(diǎn)分別比較的方式確定任意兩個(gè)IFSs的隸屬關(guān)系[30]。在含有IVIFSs的決策環(huán)境下,難以采用IFSs左右端點(diǎn)進(jìn)行直接比較,因此提高了相似性測(cè)度特征匹配的難度。同時(shí),IVIFSs相似性測(cè)度大部分考慮區(qū)間端點(diǎn)和中點(diǎn)值,容易造成信息損失,導(dǎo)致相似度測(cè)度模型可能不滿(mǎn)足相似度性質(zhì),存在著反直覺(jué)現(xiàn)象,且部分IVIFSs相似性區(qū)分度不高,難以展現(xiàn)決策方案的差異性。于是,基于IVIFSs的特點(diǎn),本文首先提出其相似性解釋框架,分析現(xiàn)有IVIFSs相似性測(cè)度與解釋框架匹配性難度,通過(guò)轉(zhuǎn)換IVIFSs進(jìn)而提出了一種新的IVIFSs相似性測(cè)度模型,并說(shuō)明其科學(xué)性和應(yīng)用價(jià)值。

1 IVIFSs相似性測(cè)度性質(zhì)

定義1[1]設(shè)X是一給定論域,IFSA={〈x,μA(x),vA(x)〉|x∈X}。其中μA(x)和vA(x)分別為X中元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度。μA:X→[0,1],vA:X→[0,1],且滿(mǎn)足條件0≤μA(x)+vA(x)≤1,x∈X。稱(chēng)πA(x)=1-μA(x)-vA(x)為X中x屬于A的猶豫度。

定義3[7]如果映射S:IVIFS(X)×IVIFS(X) →[0,1],稱(chēng)S(A,B)為IFSA∈IVIFS(X)和B∈IVIFS(X)間的相似度,且滿(mǎn)足5個(gè)特征條件:

① 0≤S(A,B)≤1;

②S(A,B)=1當(dāng)且僅當(dāng)A=B;

③S(A,B)=S(B,A);

④S(A,B)=0當(dāng)且僅當(dāng)A=〈[0,0],[1,1]〉,B=〈[1,1],[0,0]〉或A=〈[1,1],[0,0]〉,B=〈[0,0],[1,1]〉;

⑤ 如果A?B?C,則S(A,C)≤S(A,B),S(A,C)≤S(B,C)。

⑥SA≤SB≤SC。

⑦ 如果SA=SB=SC,則HA≤HB≤HC。

假設(shè)A=〈[0.3,0.5],[0.1,0.3]〉,B=〈[0.4,0.6],[0.2,0.4]〉,C=〈[0.4,0.6],[0.1,0.3]〉,采用區(qū)間數(shù)中點(diǎn)表示隸屬度和非隸屬度,A,B,C支持比率分別為0.667、0.625、0.714,故A和B相似度高于A和C,不滿(mǎn)足條件⑤中A?B?C,采用條件⑥有SA=0.1,SB=0.2,SC=0.3,即S(A,C)

2 現(xiàn)有IVIFSs相似性測(cè)度分析

(1) 基于Hamming距離的相似度為

(1)

(2) 基于歐氏距離的相似度為

(2)

(3) 基于Hausdorff距離與Hamming距離的相似度為

(3)

(4) 基于Hausdorff與歐氏距離的相似度為

(4)

(5) 分別利用區(qū)間數(shù)中點(diǎn)值和Hausdorff測(cè)度等相似性測(cè)度方法[17],得到

(5)

(6)

(7)

(8)

(6) 基于熵測(cè)度的相似度[22]為

(9)

(7) Meng[24]改進(jìn)了Wei的相似度,提出SM為

(10)

(8) 在歐式距離中考慮猶豫度,有相似度[19]為

(11)

(9) 結(jié)合TOPSIS的思想構(gòu)建的相似度模型為

(12)

式中

(10) 用相關(guān)系數(shù)表示相似度，即

(13)

式中

CIVIFS(A,B)=

EIVIFS(A)=

EIVIFS(B)=

(11)相似度為

(14)

(12) 結(jié)合歐氏距離和Hausdorff距離的相似度為

(15)

(13) Dügenci[20]拓展了文獻(xiàn)[16]的相似度為

(16)

3 現(xiàn)有IVIFSs相似性測(cè)度性質(zhì)分析

(1)SH,SE,SHH,SHE只考慮了4個(gè)參數(shù)絕對(duì)值或平方,若他們相等則相似度相同,因此均不滿(mǎn)足條件⑥。如當(dāng)A=〈[0.25,0.35],[0.25,0.35]〉,B=〈[0.35,0.45],[0.35,0.45]〉,C=〈[0.25,0.35],[0.35,0.45]〉,D=〈[0.35,0.45],[0.25,0.35]〉時(shí)SH(A,B)=SH(C,D)=0.9,SE(A,B)=SE(C,D)=0.9;SHH(A,B)=SHH(C,D)=0.975,SHE(A,B)=SHE(C,D)=0.95,然而根據(jù)記分函數(shù)有C

(2)SHH和SHE不滿(mǎn)足條件④。當(dāng)A=〈[1,1],[0,0]〉,B=〈[0,0],[1,1]〉時(shí),SHH(A,B)=0.75,SHE(A,B)=0.5, 而A和B表示全部支持和全部反對(duì),即S(A,B)=0,故SHH和SHE不合理。

(3)SHoM和SHuM違反了條件②、條件④和條件⑤。使用區(qū)間中點(diǎn)替代整個(gè)區(qū)間,會(huì)丟失原區(qū)間信息。如當(dāng)A=〈[0.2,0.6],[0.2,0.4]〉,B=〈[0.4,0.4],[0.3,0.3]〉時(shí),SHoM(A,B)=SHuM(A,B)=1,而A≠B;當(dāng)A=〈[1,1],[0,0]〉,B=〈[0,0],[0,0]〉時(shí),SHuM(A,B)=SHuH(A,B)=0,兩者相似度為0并不合理;當(dāng)A=〈[0.2,0.3],[0.4,0.6]〉,B=〈[0.3,0.4],[0.4,0.6]〉,C=〈[0.3,0.4],[0.3,0.5]〉,根據(jù)條件⑤有A?B?C,然而SHuM(A,B)=SHuM(A,C)=SHuH(A,B)=SHuH(A,C)=0.9。

(4)SHoM,SHoH,SHuM,SHuH違反條件⑥。如A=〈[0.35,0.45],[0.15,0.25]〉,B=〈[0.45,0.55],[0.25,0.35]〉,C=〈[0.45,0.55],[0.15,0.25]〉,由記分函數(shù)可得A

(5)SW違反條件⑥。熵到相似度轉(zhuǎn)換過(guò)程中使用的函數(shù)在某些情況下非區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù),反例同(4)。

(6)SM不滿(mǎn)足條件④和條件⑥。改進(jìn)后的相似度可以保證轉(zhuǎn)換中的函數(shù)為IVIFSs,但當(dāng)A=〈[1,1],[0,0]〉,B=〈[0,0],[0,0]〉時(shí),SM(A,B)=0;其次不滿(mǎn)足性質(zhì)條件⑥,反例同(4)。

(7)SE′違反了條件④:當(dāng)A=〈[1,1],[0,0]〉,B=〈[0,0],[0,0]〉時(shí),SE′(A,B)=0;此外不滿(mǎn)足性質(zhì)條件⑤和條件⑥,反例同(3)與(4)。

(8)SAB違反了條件④:當(dāng)A=〈[0,0],[1,1]〉,B=〈[1,1],[0,0]〉時(shí),SAB(A,B)=0.414≠0;也同樣違反了條件⑥,反例同(4)。

(9)SIVIFS違反條件④?？紤]猶豫度,克服距離測(cè)度造成的信息混淆。但當(dāng)A=〈[1,1],[0,0]〉,B=〈[0,0],[0,0]〉時(shí),SIVIFS(A,B)=0;違反了條件⑥,反例同(4)。

(10)SX違反條件①和條件④:A=〈[1,1],[0,0]〉,B=〈[0,0],[0,0]〉時(shí),SX(A,B)=-1;違反條件⑥,反例同(4)。

(11)SWa滿(mǎn)足前5條性質(zhì),但違背條件⑥,反例同(4)。

如用“√”表示滿(mǎn)足該性質(zhì),“×”表示不滿(mǎn)足該性質(zhì),則上述分析結(jié)果可以總結(jié)如表1所示。

表1 現(xiàn)有文獻(xiàn)滿(mǎn)足約束條件情況

4 新的IVIFSs相似性測(cè)度設(shè)計(jì)

現(xiàn)有的IVIFSs相似性測(cè)度沒(méi)有充分考慮式(5)中IVIFSs的隸屬關(guān)系的局限性,故未能完全滿(mǎn)足相似度性質(zhì)。盡管從記分函數(shù)角度出發(fā)來(lái)刻畫(huà)式(5),但仍然無(wú)法滿(mǎn)足其特征要求,有必要重新設(shè)計(jì)一個(gè)新的相似度函數(shù)。借鑒文獻(xiàn)[16]將IFS轉(zhuǎn)換為三角模糊數(shù)而獲取相似度的研究思路,本文考慮了IVIFSs端點(diǎn)不一致情形,將其轉(zhuǎn)化為三角模糊數(shù)而設(shè)計(jì)相似度測(cè)度,具體設(shè)計(jì)如下。

令

則轉(zhuǎn)化后的區(qū)間三角模糊數(shù)為

定義4A與B的相似度為

S(A,B)=[1-d(A,B)]×(1-|xA-xB|)

(17)

式中

d(A,B)=

(18)

重心分別為

/4

于是,證明定義4滿(mǎn)足上述7個(gè)性質(zhì)。

(3)S(A,B)=S(B,A)顯然成立。

由以上可得S(A,C)≤S(A,B)。同理可得S(A,C)≤S(B,C)。

(6) 由SA≤SB≤SC,得

≤0

6S(A,B)=

{1-(SB-SA)/2}=

{6-[2(HB-HA)+SB-SA]}×{1-(SB-SA)/2}=

6-4(SB-SA)-

2(HB-HA)+(HB-HA)(SB-SA)+(SB-SA)2/2

則

6(S(A,B)-S(A,C))=

(SC-SB)[8-(SB+SC-2SA)]/2+[HB(SB-SA)+

HA(SC-SB)-HC(SC-SA)+2(HC-HB)]

其中

HB(SB-SA)+HA(SC-SB)-

HC(SC-SA)+2(HC-HB)=

(HB-HC)(SB-SA-2)+

HC(SB-SC)+HA(SC-SB)≥

(HA-HC)(SB-SA-2)+

(SC-SB)(HA-HC)=

(HA-HC)(SC-SA-2)

得

12(S(A,B)-S(A,C))≥

(SC-SB)[8-(SB+SC-2SA)]+

2(HA-HC)(SC-SA-2)

因?yàn)?4≤SB+SC-2SA≤4,得8-(SB+SC-2SA)≥0,即有:(SC-SB)[8-(SB+SC-2SA)]≥0。又HA-HC≤0,0≤SC-SA≤2,所以:(HA-HC)(SC-SA-2)≥0。因此有S(A,B)-S(A,C)≥0,即S(A,C)≤S(A,B)。

同理,S(A,C)≤S(B,C)。如果SA≤SB≤SC,如果為其他兩種情形,也可以證明S(A,C)≤S(A,B),S(A,C)≤S(B,C)。

證畢

5 新的IVIFSs相似性分析與驗(yàn)證

6S(A,B)=

6[1-(SA-SB)/2]2

則

S(A,B)-S(B,C)=

[1-(SA-SB)/2]2-[1-(SB-SC)/2]2=

[(SA-SB)2-(SB-SC)2]/4-(SA-2SB+SC)=

(SA-2SB+SC)[(SA-SC)/4-1]

針對(duì)文獻(xiàn)[31]的相似性測(cè)度式(16),當(dāng)t=2,p=1時(shí),

(A,B)=12-

12-6(SA-SB)

D1=|S(A,B)-S(B,C)|=

|(SA-2SB+SC)|×(1-(SA-SC)/4)

因?yàn)?1≤SA≤1,-1≤SC≤1,有-2≤SA-SC≤2,0.5≤1-(SA-SC)/4≤1.5,因此D1≥D2,相比文獻(xiàn)[31],本文的相似性測(cè)度具有較強(qiáng)的區(qū)分度和辨別能力。

接著本文擬從實(shí)證角度進(jìn)行分析。將本文的方法與16種相似度測(cè)度進(jìn)行比較,具體見(jiàn)表2。其中p=1,t=2,數(shù)字后有(×)表示不滿(mǎn)足。

表2 區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)之間的各種相似度量方法比較

續(xù)表2

6 結(jié) 論

IVIFSs中的相互包含關(guān)系在現(xiàn)實(shí)中出現(xiàn)概率較低,導(dǎo)致其相似性測(cè)度模型很難與這種包含關(guān)系完全匹配。為了有效分析IVIFSs的隸屬關(guān)系對(duì)相似性測(cè)度設(shè)計(jì)的影響,本文采用記分函數(shù)和精確函數(shù)來(lái)加以刻畫(huà),提出了新的IVIFSs的相似性測(cè)度性質(zhì)解釋框架,接著分析對(duì)比了現(xiàn)有相似性測(cè)度的缺陷,以本文構(gòu)建的性質(zhì)框架為切入點(diǎn),將IVIFSs轉(zhuǎn)換為區(qū)間三角模糊數(shù),結(jié)合三角模糊數(shù)的距離和重心定義一個(gè)新的相似性測(cè)度函數(shù),并通過(guò)理論證明驗(yàn)證本文提出的相似性測(cè)度不僅可以滿(mǎn)足現(xiàn)有的和改進(jìn)的相似性測(cè)度性質(zhì),而且比現(xiàn)有的相似性測(cè)度有更高的區(qū)分度。