吳玖榮， 李基敏， 孫連楊， 傅繼陽， 段永定

(1. 廣州大學 廣州大學-淡江大學工程結(jié)構(gòu)災害與控制聯(lián)合研究中心， 廣東 廣州 510006；2. 淡江大學 土木工程學系， 臺灣 新北 25137)

隨著我國經(jīng)濟的迅速發(fā)展和社會需要，近年來相繼建造了大量高層和高聳結(jié)構(gòu)。這類結(jié)構(gòu)具有輕質(zhì)高強、柔細化、低阻尼等特點，水平風荷載成為其結(jié)構(gòu)設計的主要控制因素。當風致響應過大時，可以采用被動結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)對高層和高聳結(jié)構(gòu)進行風振控制。采用傳統(tǒng)的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器Tuned Mass Damper (TMD)來進行結(jié)構(gòu)風振控制的工程例子已經(jīng)屢見不鮮，如臺北101等的類似單擺TMD系統(tǒng)，但此類被動結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)占據(jù)的結(jié)構(gòu)空間比較大，且需要配置額外的阻尼系統(tǒng)。另一類摩擦擺系統(tǒng)FPS(Friction Pendulum System)自1985年由美國Zayas[1]提出， FPS系統(tǒng)依靠上部物體在基礎底部隔震系統(tǒng)所設置的圓弧曲面滑道內(nèi)的摩擦滑動來耗能，以達到消能減振的目的。FPS系統(tǒng)由于其造價低、易于維護且具有良好的自限、復位、摩擦耗能等性質(zhì)[2，3]廣泛應用于橋梁工程和建筑物的基底隔震設計中。為此，部分學者已研究把地震工程中常用的摩擦擺(FPS)隔震系統(tǒng)和常用的調(diào)頻質(zhì)量阻尼器(TMD)被動控制系統(tǒng)有機結(jié)合，形成一種新型的摩擦擺調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(FPS-TMD)被動控制系統(tǒng)，放置在高層建筑與高聳結(jié)構(gòu)頂部，來達到對主體結(jié)構(gòu)進行風振控制的目的[4]。FPS-TMD系統(tǒng)可以根據(jù)被控主體結(jié)構(gòu)的雙向不同頻率設計出不同曲率半徑進行雙向風振控制，為使此類被動控制系統(tǒng)的風振控制性能達到最優(yōu)，可以采用一定的優(yōu)化算法來加以實現(xiàn)。一般來說雖然隨著FPS-TMD質(zhì)量的增加，主結(jié)構(gòu)動力響應會降低，但基于經(jīng)濟性考慮，且TMD質(zhì)量增加會增加結(jié)構(gòu)額外的負擔，故FPS-TMD系統(tǒng)的最佳設計參數(shù)中，質(zhì)量比一般不作為控制系統(tǒng)優(yōu)化設計參數(shù)。而兩個方向的滑道半徑、滑道與TMD質(zhì)量塊之間的摩擦系數(shù)，則一般可以作為此類被動控制系統(tǒng)的優(yōu)化設計參數(shù)。

在現(xiàn)有優(yōu)化算法中，基因遺傳算法作為模擬自然界生物進化過程來搜索最優(yōu)解的一種優(yōu)化方法。其擁有生物學獨特的高效、并行、全局搜索的特點。它不同于許多傳統(tǒng)算法單點搜索的搜索方式，而是采用同時處理種群中多個個體的方法，同時對搜索空間中的多個解進行評估，因此其具有較好的全局搜索性。且由于基因遺傳算法是采用適應度函數(shù)值來評估基因個體，不受連續(xù)可微的約束，因此限制條件大大縮小，使得其應用范圍大大擴展。但考慮到基本基因遺傳算法往往由于需要預先指定交叉、變異概率和懲罰系數(shù)的值，且其值在迭代過程中為定值不變，算法的尋優(yōu)效果對該值的敏感性較大，易陷入局部收斂等不足之處，本文采用了自適應基因遺傳算法，對其優(yōu)化過程中所采用的交叉、變異概率和懲罰系數(shù)值可以在迭代過程中不斷改變，克服了基本基因遺傳算法的缺點，從而更加快速地獲得全局最優(yōu)值。

本文以廣州新電視塔為實例，以其頂部有無設置FPS-TMD系統(tǒng)的主體結(jié)構(gòu)頂部風致位移或風致加速度均方根之比最小作為風振控制優(yōu)化設計目標，采用自適應基因遺傳算法，對其頂部設置帶雙向摩擦擺TMD系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)高層建筑，進行風振控制條件下的系統(tǒng)參數(shù)(包括兩個方向的滑道半徑，滑道與TMD質(zhì)量塊之間的摩擦系數(shù))最優(yōu)化設計相關(guān)研究。

1 雙向摩擦擺型TMD的動力行為

1.1 曲面的斜率最大方向和曲面方程

因為雙向摩擦擺型TMD的質(zhì)量塊運動方向不一定在最大斜率方向上，而其恢復力卻始終在最大斜率的方向上，因此在進行風振性能分析時，需先求出最大斜率的方向,并在此方向上進行動力分析[4]。對于任意曲面方程式(1)，其示意圖如圖1所示，xd、yd分別代表卡氏座標兩方向的位移量：

圖1 雙向FPS型TMD滑動曲面

zd=f(xd,yd)

(1)

假定此曲面上任意一點的位移坐標為(xd，yd)，通過此點且平行于xd-zd平面及yd-zd平面的斜率分別為：

(2)

(3)

式中：sx為此點斜率在x方向分量，sy為此點斜率在y方向分量?？赏频米畲笮甭实南蛄咳鐖D2所示，其最大斜率Smax和向量表示形式v分別為：

圖2 雙向FPS型TMD滑動曲面最大斜率向量示意

(4)

(5)

(6)

式中：α為通過點(xd,yd)且平行于yd-zd平面及xd-zd平面的斜率之比；i,j,k分別為三個平行于坐標系主軸的單位向量。

xd，yd分別為雙向FPS型TMD兩方向之位移量，任意一個如碗狀的曲面,其示意圖如圖3所示, 其方程式可表示為公式(7)～(9)：

圖3 雙向FPS型TMD滑動曲面方程示意

(7)

(8)

(9)

式中：zd為滑動曲面上任意一點的高程；R為曲率半徑；rd為滑動曲面上任意一點(xd，yd)投影到xd-zd平面后，與坐標原點的距離；Rx，Ry分別為FPS型TMD兩方向的曲率半徑。

1.2 雙向FPS型TMD恢復力與最大摩擦力計算

在計算TMD恢復力時，其方向與最大斜率的方向相同，而最大斜率的大小恰好等于tanθ，其與xd-yd平面的夾角為θ，參考最大斜率向量示意圖2，可以推得式(10)～(12)：

(10)

(11)

(12)

TMD質(zhì)量塊在滑道上滑動時的示意圖如圖4所示，由于TMD質(zhì)量塊滑動時擺動的角度θ很小，故向心加速度很小，予以忽略。由向心方向和切線方向的動力平衡方程，可得滑動曲面上任意一點的恢復力Frθ(t)和正壓力N為：

圖4 TMD質(zhì)量塊滑動示意

(13)

(14)

式中：Md為摩擦擺的質(zhì)量。

由上述正壓力N也可求得最大摩擦力Ffθ,max(t)：

(15)

式中：μk為FPS-TMD系統(tǒng)的滑道摩擦系數(shù)。

1.3 雙向FPS型TMD的動力方程

由式(13)，(5)可知，當TMD質(zhì)量塊滑動時，其正壓力會隨著其在曲面上的位移坐標不同而改變，最大摩擦力以及恢復力均為非線性，都隨著θ的改變而改變，雙向FPS型TMD受風荷載w(t)作用時，忽略風荷載對質(zhì)量塊的作用，其運動方程可表示為：

(16)

將最大斜率的向量表達式(6)，投影至xd-yd平面后，與xd軸的夾角為φ，最大斜率向量示意圖，可以推得下面兩式：

(17)

(18)

根據(jù)式(17)，(18)，即可求得雙向FPS型TMD在兩方向的恢復力，先投影至xd-yd平面后，再分解至xd，yd兩坐標方向，如式(19)，(20)所示：

(19)

(20)

式(16)為一組左邊無剛度的運動方程，由于動力分析的需要，將恢復力分成兩部分，一部分由TMD線性剛度所提供的線性恢復力，置于等號左邊，另一部分則以式(19)，(20)所表示的總非線性恢復力扣除線性恢復力部分，置于等號右邊從而可得運動方程：

(21)

2 頂部加裝雙向FPS型TMD系統(tǒng)的主體結(jié)構(gòu)動力分析

2.1 頂部加裝雙向FPS型TMD系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動力方程的建立

設主體結(jié)構(gòu)為n層，每層具有2個側(cè)向自由度，將FPS-TMD系統(tǒng)加裝于該主體結(jié)構(gòu)的頂部，變?yōu)?n+2個自由度系統(tǒng)，如圖5所示。則該系統(tǒng)整體剛度矩陣由TMD線性剛度和主體結(jié)構(gòu)剛度共同組成。

圖5 主體結(jié)構(gòu)頂部帶雙向FPS型TMD系統(tǒng)

其運動方程表示為：

(22)

2.2 頂部加裝雙向FPS型TMD系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動力方程的求解

利用狀態(tài)空間法求解運動方程(22)，轉(zhuǎn)換成連續(xù)時間系統(tǒng)下之狀態(tài)空間方程式：

(23)

則在離散周期Δt下，離散時間系統(tǒng)狀態(tài)空間方程式的離散解為：

(24)

式中：Ad,2(2n+2)×2(2n+2)=EAΔt為離散時間系統(tǒng)矩陣；Bd,2(2n+2)×2=A-1(Ad-I)Bc為離散時間摩擦力與部分恢復力配置矩陣；Ed,2(2n+2)×2=A-1(Ad-I)E為離散時間荷載配置矩陣；對于質(zhì)量塊與滑道之間摩擦力，在滑動狀態(tài)時滑動面之摩擦力即為最大靜摩擦力，但FPS-TMD的相對速度為未知值；而在非滑動狀態(tài)時，滑動面之摩擦力未知，但TMD相對速度可以從動力方程求出。

3 自適應基因遺傳算法

為使高層建筑頂部帶FPS-TMD被動控制系統(tǒng)的性能達到最優(yōu)，本文采用改進的自適應基因遺傳算法，對其頂部設置帶雙向摩擦擺TMD系統(tǒng)的高層建筑，進行風振控制條件下的系統(tǒng)參數(shù)(包括兩個方向的滑道半徑、滑道與TMD質(zhì)量塊之間的摩擦系數(shù))最優(yōu)化設計，利用精英保存策略、自適應交叉和變異算子，以及自適應罰函數(shù)處理對基本基因遺傳算法進行相應的改進。

3.1 精英保存策略

為了防止最優(yōu)解在迭代過程中丟失和破壞，本文采用精英保存策略進行處理。即若當前找到的群體中某個體的適應度值比進化至目前出現(xiàn)的最好個體的適應度值還要好，此時就保留進化到目前最好的個體；反之則就找到當前最差的個體，然后用進化至目前出現(xiàn)的最好個體直接替換找到的最差個體，完成保存策略。

3.2 自適應交叉和變異算子

基本基因遺傳算法中所采用的交叉概率Pc和變異概率Pm為定值，在優(yōu)化過程中不變化。因此對于多變量的優(yōu)化問題，搜索效率往往并不高，容易陷入局部收斂，從而造成“早熟”的結(jié)果。本文采取自適應交叉和變異算子的相關(guān)算法，使其根據(jù)個體適應度值與種群的最小適應度、平均適應度和最大適應度之間的相互關(guān)系，來動態(tài)調(diào)整交叉和變異概率。從而在整個優(yōu)化過程中能夠保證局部和全局搜索能力并重。達到既能在確定包含最優(yōu)解的區(qū)域后收斂于最優(yōu)解，又能在全局最優(yōu)解的搜索過程中探索新的解空間區(qū)域。其中交叉概率Pc和變異概率Pm按如下公式進行調(diào)整[5]：

(25)

(26)

式中：f′，favg,fmin,fmax分別為個體適應度、種群的平均適應度、種群的最小適應度、種群的最大適應度。

3.3 自適應罰函數(shù)

為考慮各類約束條件對優(yōu)化過程求解的影響，本文采取自適應罰函數(shù)來處理優(yōu)化過程中出現(xiàn)的非線性隱性約束問題。利用當前群體中可行解的比例來衡量約束條件的違反程度，從而使得在優(yōu)化過程中懲罰項準確發(fā)揮作用而不會發(fā)生懲罰項過大或過小的情況。與其他罰函數(shù)比，它結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)少易于調(diào)整，且能夠非常有效地處理各種約束優(yōu)化問題，具有較強的穩(wěn)定性。其具體形式如下：

fitness(x)=ranking(f(x)+C×G(x))

(27)

C(ρ)=10β(1-ρ)

(28)

式中：ranking()是一個基于排序的適應度分配函數(shù)[6]；f(x)為目標函數(shù)值；G(x)為個體x違反約束條件的程度；ρ為本次優(yōu)化過程中當前群體可行解的比例；β>0是一個需要調(diào)整的常量參數(shù)，具體可取1～10之間的一個整數(shù)；很明顯懲罰系數(shù)C是隨種群可行解的比例變化而改變的，如果可行解比例大那么C值就小，反之C值則較大，可以看出本文的方法是動態(tài)的、自適應的，在優(yōu)化過程中C值不會過大或過小[7]。

4 計算實例及風振控制優(yōu)化模型

本部分以廣州新電視塔為實例，假設將雙向摩擦擺TMD系統(tǒng)置于結(jié)構(gòu)主塔頂部用于風振控制，并采用自適應基因遺傳算法，對其進行FPS-TMD系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化分析。廣州塔建筑總高度600 m，其中主塔體高450 m，天線桅桿高150 m，由于廣州新電視塔有限元模型的動力自由度數(shù)非常龐大(圖6a)，因此對它采取簡化、降階處理，得到包含37個節(jié)點，每個節(jié)點含有5個自由度，分別是兩個水平方向的平動(x,y)及三個方向的轉(zhuǎn)動(θx,θy,θz)[8～10]，總共185個自由度的糖葫蘆串模型，如圖6b所示。

圖6 廣州新電視塔與簡化模型

廣州新電視塔簡化模型的動力特性與原三維有限元模型對比如表1所示[10]。結(jié)果表明，簡化模型的頻率及振型與原三維模型在前6階基本保持一致，且因高聳結(jié)構(gòu)的風致響應以整體前幾階響應為主，因此采用簡化模型進行廣州新電視塔的風振分析是可靠的。

本文所輸入的外部風荷載激勵時程w(t)，是通過采用諧波疊加法，對廣州新電視塔在90°風向角沿塔體高度豎向分布的順風向風荷載進行了模擬，設定時間步長0.5 s，持續(xù)1024 s。而脈動風速譜采用沿高度變化的Von Karman譜，并結(jié)合快速傅立葉變換和諧波疊加法，進而得到沿結(jié)構(gòu)高度分布的順風向脈動風速時程，再依據(jù)風洞實驗得到的風荷載體型系數(shù)把脈動風速轉(zhuǎn)化成風荷載后輸入結(jié)構(gòu)體系中[8,9,11]。通過模擬得到100年和10年重現(xiàn)期設計風速對應的順風向風荷載時程后，對上式(22)所示的動力方程組采用狀態(tài)空間法求解。本文采用100年重現(xiàn)期風荷載進行主體結(jié)構(gòu)頂部風致位移分析，10年重現(xiàn)期風荷載進行主體結(jié)構(gòu)頂部風致加速度(舒適度)分析。

表1 簡化模型與三維模型自振頻率對比

通過模擬得到100年和10年重現(xiàn)期設計風速所對應的風荷載時程作用于簡化模型中，以有或無FPS-TMD系統(tǒng)的主塔結(jié)構(gòu)頂部雙向合成位移(加速度)均方根之比最小為目標函數(shù)，利用自適應罰函數(shù)處理其層間位移約束(100年風荷載下求得)、頂層位移(100年風荷載下求得)和頂層加速度約束(10年風荷載下求得)，采用自適應基因遺傳算法對本實例進行風振控制作用下的雙向FPS-TMD系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化分析，優(yōu)化設計變量則取為雙向FPS-TMD系統(tǒng)的滑道摩擦系數(shù)μk、兩個方向的滑道半徑Rx、Ry。

本文采用的層間最大位移與樓層高度之比e1(x)、頂層最大位移與樓層總高度之比e2(x)、頂層最大加速度e3(x)約束的限值分別為不大于1/500，1/500，0.25 m/s2。上述三個約束因為均是非線性隱性約束，采用一般優(yōu)化方法較難處理。本文所采用的自適應基因遺傳算法可以很好地解決此類問題。對應于上述三類約束的函數(shù)表達式G(x)如下所示：

G(x)=[e1(x)/(1/500)+e2(x)/(1/500)+e3(x)/0.25]

(29)

從上式可以看出G(x)為個體x違反約束的程度且其為一個無量綱值。目標函數(shù)的表達式如式(30),(31)所示。

式(30)，(31)分別為100，10年重現(xiàn)期設計風速對應的模擬風荷載作用于頂部時，有無設置雙向FPS-TMD系統(tǒng)的主塔結(jié)構(gòu)，其頂部合位移(加速度)均方根之比的目標函數(shù)。x、y分別為雙向摩擦擺TMD所控制的兩個方向。

(30)

(31)

5 雙向摩擦擺TMD系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化結(jié)果分析

以廣州新電視塔為算例，以頂部有無設置FPS-TMD系統(tǒng)的主體結(jié)構(gòu)頂部風致位移或風致加速度均方根之比最小為風振控制優(yōu)化設計的目標函數(shù)，采用前述的改進自適應基因遺傳算法，利用精英保存策略、自適應交叉和變異算子，以及自適應罰函數(shù)處理被控制系統(tǒng)的風致層間位移約束、頂層風致位移和頂層風致加速度響應約束條件。對其進行風振控制條件下的系統(tǒng)參數(shù)(包括兩個方向的滑道半徑、滑道與TMD質(zhì)量塊之間的摩擦系數(shù))優(yōu)化設計進行分析。

5.1 100年重現(xiàn)期風荷載作用下風振位移控制的雙向摩擦擺TMD系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化分析

在100年重現(xiàn)期設計風荷載作用下，假設將雙向摩擦擺TMD系統(tǒng)置于廣州新電視塔主塔頂部，采用上述自適應基因遺傳算法對雙向FPS-TMD系統(tǒng)的滑道摩擦系數(shù)μk、兩個方向的滑道半徑Rx，Ry進行參數(shù)優(yōu)化分析。其中結(jié)構(gòu)阻尼比ξ采用1.5%，TMD的質(zhì)量Md與結(jié)構(gòu)總體質(zhì)量Ms之比取為1%，目標函數(shù)取式(30)。自適應基因遺傳算法的部分設置如下：種群的數(shù)量pop_size為20個；最大代數(shù)max_gen為100代；編碼方式為格雷編碼，每個變量的格雷編碼位數(shù)為8，總長度為24；Pc1，Pc2，Pc3，Pm1，Pm2，Pm3分別為0.8，0.6，0.3，0.12，0.08，0.03；β取為1.3。由此可以得到目標函數(shù)的迭代圖如圖7所示：

圖7 風振位移控制目標函數(shù)的迭代圖

從圖7可以看出，風振位移控制目標函數(shù)最終迭代到第42次時收斂，其取值為0.563736。相應的滑道摩擦系數(shù)μk、兩個方向的半徑Rx，Ry值分別為0.0067，24.0588 m，16.8627 m。當目標函數(shù)取最優(yōu)值所對應的上述三個參數(shù)時，雙向摩擦擺TMD的風振位移控制減振效率高達43.6264%。優(yōu)化過程中種群最優(yōu)個體目標函數(shù)值與種群目標函數(shù)均值的差異較大，說明種群在迭代過程中基因庫豐富，種群中個體差異性明顯，目標函數(shù)未陷入局部收斂，體現(xiàn)出自適應基因遺傳算法的優(yōu)越性。

5.2 10年重現(xiàn)期風荷載作用下風振加速度控制的雙向摩擦擺TMD系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化分析

在10年重現(xiàn)期設計風荷載作用下，假設將雙向摩擦擺TMD系統(tǒng)置于廣州新電視塔主塔頂部，采用上述自適應基因遺傳算法對雙向FPS-TMD系統(tǒng)的滑道摩擦系數(shù)μk、兩個方向的滑道半徑Rx，Ry進行參數(shù)優(yōu)化分析。其中結(jié)構(gòu)阻尼比ξ為1.5%，TMD的質(zhì)量md與結(jié)構(gòu)總體質(zhì)量ms之比取為1%，目標函數(shù)取式(31)。而自適應基因遺傳算法的部分設置如下：種群的數(shù)量pop_size為20個；最大代數(shù)max_gen為100代；編碼方式為格雷編碼，每個變量的格雷編碼位數(shù)為8，總長度為24；Pc1，Pc2，Pc3，Pm1，Pm2，Pm3分別為0.7，0.5，0.3，0.1，0.08，0.03；α為0.9。得到目標函數(shù)的迭代圖如圖8所示：

圖8 風振加速度控制目標函數(shù)的迭代圖

從圖8可以看出風振加速度控制目標函數(shù)迭代到第18次時即收斂，其取值為0.607443。相應的摩擦系數(shù)μk、兩個方向的半徑Rx，Ry值分別為0.0035，21.0588 m，9.1176 m。當取目標函數(shù)最優(yōu)值所對應的上述三個參數(shù)時，雙向摩擦擺TMD的風振加速度控制減振效率達39.2557%。在迭代過程中，盡管迭代收斂速度快，但種群最優(yōu)個體的目標函數(shù)值與種群的目標函數(shù)均值之間的差異較大，說明種群在迭代的過程中基因庫豐富，種群中個體差異性明顯，目標函數(shù)并未陷入局部收斂。從而反映出本算法的可行與優(yōu)越的性能。

對比上述兩種工況可知，在不同重現(xiàn)期設計風速對應的設計風荷載作用下，對于本算例采用的頂部FPS-TMD系統(tǒng)而言，風振位移控制和風振控制加速度目標函數(shù)的最優(yōu)值是不同的，其所對應的雙向摩擦擺TMD系統(tǒng)的優(yōu)化參數(shù)值亦不同。當結(jié)構(gòu)設計人員在進行高層建筑頂部設置FPS-TMD系統(tǒng)的風振控制初步設計時，很難取到一個比較好的值，如若利用本文的自適應基因遺傳優(yōu)化方法，可方便、快速而準確地得到雙向摩擦擺TMD的最佳參數(shù)值，供設計使用。

6 結(jié) 論

雙向摩擦擺TMD系統(tǒng)其造價低、易于維護且具有良好的自限、復位、摩擦耗能，安裝于高層建筑或高聳結(jié)構(gòu)頂部，不失為一種新型有效可行的減振方式。為使其風振控制減振效率盡可能達到最優(yōu)，需對其系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)進行優(yōu)化分析。本文所用的自適應基因遺傳算法擁有強大的全局搜索能力，能夠保證種群中優(yōu)秀個體得以保存，同時又增強了種群的局部搜索能力，使目標函數(shù)順利而準確地得到最優(yōu)解，是一種有效可行的雙向摩擦擺TMD系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化方法，為設計人員初步設計提供了一種新的操作方便而準備可行的控制系統(tǒng)優(yōu)化設計方案。