邱 亮

(河南省駐馬店市基礎(chǔ)教學研究室 463000)

一、問題背景

在我國，隨著基礎(chǔ)教育課程的改革，初中數(shù)學教材存在人教版、北師大版、浙教版、蘇科版、冀教版等多種版本，不同版本數(shù)學教材的出現(xiàn)使得各個地區(qū)根據(jù)自己的特點選擇適合自己地區(qū)的教材，同時也為各地教師提供了更加寬廣的教學空間.因此教材的改革與完善對于保證基礎(chǔ)教育質(zhì)量和組織學生學習、實施課堂教學具有重要作用.本文選取“人教版”與“北師大版”中的“勾股定理”這一節(jié)進行比較研究.

1.勾股定理的名稱

勾股定理是個基本的幾何定理，在西方國家，一般稱勾股定理為畢達哥拉斯定理，因為人們相信是畢達哥拉斯最早提出并證明了這一定理.并且據(jù)說，他在發(fā)現(xiàn)這一結(jié)論時，欣喜若狂，殺牛百只以供奉神靈.因而這一定理又有了“百牛定理”的稱法.在法國和比利時這個定理被稱為“驢橋定理”.在中世紀的阿拉伯國家和印度，這一定理還有一個綽號，叫“新娘圖”.至于綽號由來，現(xiàn)代人眾說紛紜，莫衷一是.

在我國以前也稱這一定理為畢達哥拉斯定理.五十年代初，曾展開過關(guān)于這一定理命名的討論.有人主張叫“商高定理”.因這一結(jié)論的在我國最早是由西周初的商高提出的.在數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》一書中，記載有商高與周公的對話，其中商高提出了“勾三股四弦五”的說法.不過據(jù)推斷，他還只是了解三邊滿足3：4：5關(guān)系的特例情況，普遍性的結(jié)論，由陳子提出.他說：“……勾股各自乘，并而開方除之……”這是普遍勾股定理在我國的最早記載.故有人主張應稱為“陳子定理 ”.后來決定不用人名，而稱為 “勾股定理”.單就名稱之多，勾股定理就可創(chuàng)下一項平面幾何之最了.

2.勾股定理的意義

勾股定理是直角三角形的一條非常重要的性質(zhì)，它通過數(shù)與形的結(jié)合，揭示了直角三角形三條邊之間的關(guān)系,是后面學習解直角三角形、余弦定理的基礎(chǔ)，是三角形知識的深化.

二、比較方法

1.體系結(jié)構(gòu)

按照人教版八年級下冊，北師大版八年級上冊、八年級下冊中“勾股定理”的相關(guān)內(nèi)容的具體章節(jié)編排順序，繪制表格如下：

表1 人教版與北師大版教材中勾股定理內(nèi)容

從表1可以看出，兩個版本的教材包含的基本知識點都符合《課程標準》的要求，包含勾股定理、勾股定理的逆定理.

但從教材編排上看，人教版教材將勾股定理的相關(guān)內(nèi)容安排在八年級下冊,而且是在學完二次根式之后學習勾股定理，這樣編排緊湊，避免出現(xiàn)計算上的問題.北師大版將勾股定理的相關(guān)內(nèi)同安排在八年級上冊,二次根式在本章之后，由于學生沒有學習二次根式，在編制習題時需要注意運算結(jié)果如何保留，但是在八年級下冊三角形的證明一章中,直角三角形這一節(jié)又對勾股定理相關(guān)知識進行了復習，這樣編排比較分散，但是知識點的反復出現(xiàn)，促進了學生對相關(guān)知識點的鞏固強化.

在勾股定理內(nèi)部章節(jié)安排上，人教版分為兩節(jié)：勾股定理、勾股定理的逆定理，各個小節(jié)名稱條目清晰明確，教材編寫更具知識的系統(tǒng)性、完整性，比如每個命題都有詳細的證明過程，之后再呈現(xiàn)定理和逆定理的概念，注重知識發(fā)生過程，利于培養(yǎng)學生思維能力.北師大版分為三節(jié)：探索勾股定理、一定是直角三角形嗎、勾股定理的應用，各個小節(jié)名稱洋溢著幾分活潑的生機，彰顯數(shù)學需要探索、更需要實際應用的理念，然而北師大版通過做一做活動直接呈現(xiàn)定理的概念，缺失必要的證明過程.

2.插圖配置

《課程標準》指出教材的呈現(xiàn)方式應該多樣化，可以將圖片、文字、表格、動漫、視頻等呈現(xiàn)方式結(jié)合起來，使學生能夠積極主動參與到整個教學過程中，從而增強學生學習數(shù)學的興趣. 插圖配置在數(shù)學教材中必不可少，它對數(shù)學教學的順利推進以及學生正確理解所學的知識等都具有重要的作用.

首先，教師可以通過插圖來推進本節(jié)課所學的知識.例如：人教版八年級下冊第十七章的章前圖，該圖中的左側(cè)圖案是2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會的會徽，它與勾股定理有著密切的關(guān)系，從而引入本章主題勾股定理.

其次，插圖的編排對于調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性以及學習興趣產(chǎn)生積極作用.生動形象的插圖，是學生枯燥的學習中的調(diào)味劑.

本文將插圖分為兩類：數(shù)學插圖和裝飾性圖案.數(shù)學插圖是指與數(shù)學有關(guān)對文字內(nèi)容起到補充說明或表明數(shù)學內(nèi)容的背景以幫助學生理解數(shù)學內(nèi)容的插圖；裝飾性插圖是指與數(shù)學內(nèi)容沒有多大的關(guān)系，只是為了讓教科書更美觀、增加教科書可讀性的插圖.

下面就人教版和北師大版勾股定理一章中正文的插圖數(shù)量進行比較：

表2 人教版與北師大版教材中勾股定理中插圖數(shù)量統(tǒng)計

通過表2中統(tǒng)計的數(shù)量可知，人教版數(shù)學插圖數(shù)量略大于北師大版，說明在勾股定理這一章中人教版更注重文字與圖形結(jié)合，讓學生更好地理解勾股定理相關(guān)證明.同時人教版這一章中使用裝飾性插圖，而北師大版沒有，說明在本章中人教版更注重頁面的美化，可讀性，更吸引學生的興趣.

3.習題配置

習題是初中數(shù)學教學的重要組成部分，是學生學習過程中不可或缺的重要環(huán)節(jié)，高質(zhì)量的課堂教學必須有較高的習題質(zhì)量作基礎(chǔ).這里僅對兩個版本中勾股定理一章習題、復習題的分類進行比較分析.在習題的分類上，北師大版將習題和復習題分為四類：知識技能、數(shù)學理解、問題解決、練習拓廣.人教版將習題和復習題分為三類：復習鞏固、綜合運用、拓廣探索.說明：這里不包含“練習”(或“隨堂練習”).將兩個版本中勾股定理章節(jié)習題數(shù)量統(tǒng)計如下：

表3 人教版習題、復習題分類

表4 北師大版習題、復習題分類

通過表3、表4數(shù)據(jù)可知，人教版習題、復習題包含復習鞏固、綜合運用、拓廣探索三種類型，滿足了學生不同程度的需求，對已有知識進行了復習鞏固，靈活運用；北師大版習題、復習題基本上知識技能、數(shù)學理解、問題解決、練習拓廣四種類型都包含，滿足學生不同層級的需求，促進學生對課堂上所學知識的理解、掌握與運用.由于勾股定理的應用一節(jié)是對前兩節(jié)所學知識的應用，本節(jié)習題沒有包含數(shù)學理解和練習拓廣也是合理的.這兩個版本雖然習題分類不一樣，但實質(zhì)上北師大版的知識技能與數(shù)學理解等價于人教版的復習鞏固，問題解決等價于綜合運用，練習拓廣等價于拓廣探索，它們都滿足了學生的學習需求.

4.數(shù)學史融入比較

由于勾股定理有著深厚的歷史淵源，講解勾股定理必然要插入相關(guān)的數(shù)學史，下面統(tǒng)計人教版和北師大版量勾股定理一章中插入的數(shù)學史的相關(guān)知識情況.統(tǒng)計范圍貫穿從主題頁到復習題整個章節(jié)中.

表5 人教版與北師大版教材中勾股定理中數(shù)學史融入情況統(tǒng)計

通過表5中數(shù)據(jù)可知，人教版教材融入數(shù)學史的內(nèi)容明顯多于北師大版教材，人教版融入數(shù)學史的內(nèi)容共有7處，分別位于第17章章節(jié)主題頁、節(jié)內(nèi)容、習題和閱讀與思考這幾個環(huán)節(jié)；北師大版融入數(shù)學史的內(nèi)容只有4處，出現(xiàn)在習題和讀一讀中.

通過比較，人教版涉及數(shù)學史內(nèi)容豐富，出現(xiàn)的位置也多樣化，貫穿勾股定理各個環(huán)節(jié)中，分布均勻；北師大版相比較則內(nèi)容單調(diào)，分布位置單一.總的來說人教版比較重視數(shù)學史融入教材的理念，讓學生全面了解勾股定理發(fā)展的全過程，體會勾股定理形成的歷史，然而過多的數(shù)學史插入又會增加課堂教學的容量，有些活動只能在課下讓學生自主完成.這一方面北師大版做得稍微合理些，將數(shù)學史與課后習題相結(jié)合，學生在課下查閱資料做題，提升學生課下自主學習的趣味性，同時合理安排學生課堂時間，提高教與學的效率.

三、結(jié)論

1.體系結(jié)構(gòu)方面.兩個版本教材的知識點都按照勾股定理、勾股定理的逆定理的形式展開，但編排順序存在較大差別.在章與章之間的安排上，人教版教材編排嚴謹，先學二次根式，再學勾股定理，注重知識之間的連貫性和邏輯性，減少學生學習的負擔；北師大版先學勾股定理，再學二次根式，不利于學生學習勾股定理時開方計算，給學生的計算帶來負擔，但在下冊學習直角三角形一節(jié)中又復習了勾股定理，彌補了不足.在章內(nèi)安排上，人教版教材的編寫更具有系統(tǒng)性、完整性，比如每個命題都有詳細的證明過程，之后再呈現(xiàn)定理和逆定理的概念，注重知識發(fā)生過程，利于培養(yǎng)學生思維能力；而北師大版教材知識結(jié)構(gòu)體系層次性較強，章節(jié)設置合理，尤其第3小節(jié)勾股定理的應用，體現(xiàn)出數(shù)學教學知識緊密聯(lián)系實際的實用價值.

2.插圖配置方面.兩版本教材都使用了大量插圖來豐富教材內(nèi)容，圖文并茂，符合學生的年齡特征和認知規(guī)律.人教版相較北師大版更注重文字與圖形結(jié)合，讓學生更好地理解勾股定理相關(guān)證明.

3.習題配置方面.在習題的分類上，兩版本雖然略有不同，但實質(zhì)上是等價的，都滿足了學生的需求.

4.數(shù)學史融入比較方面.兩個版本都嘗試使用數(shù)學史輔助教學，便于學生好地理解掌握勾股定理.但人教版涉及的數(shù)學史融入的內(nèi)容較多，北師大版則比較單調(diào)，但位置稍合理些，節(jié)省教學時間.人教版數(shù)學史融入的內(nèi)容豐富，包含8個數(shù)學史資料，促進學生理解和掌握勾股定理的發(fā)展和證明，同時對于培養(yǎng)學生的閱讀能力和情感內(nèi)涵也有強烈提升價值；北師大版融入數(shù)學史的內(nèi)容雖然只有4處，但其引用數(shù)學史的位置分布較為合理些，4處均屬于課下自主學習部分，有利于合理安排學生課堂時間，保證教學時間，提升課堂效率.

四、建議

1.對教材編寫的建議

在體系結(jié)構(gòu)上，人教版編排緊湊，邏輯嚴謹，但在章內(nèi)安排上可以做一些調(diào)整，比如將知識點的編排可以適當進行細化，特別是針對學生難以理解的內(nèi)容可以采取螺旋上升的方式進行編排；北師大版在章與章的整體框架上建議二次根式的相關(guān)內(nèi)容放在勾股定理之后進行學習，這樣更符合學生的認知規(guī)律.

在插圖配置上，兩個版本的裝飾性圖都過少，建議合理地增加裝飾性的數(shù)量，注重頁面的美化，可讀性，從而提高學生的學習興趣.

在習題配置上，兩個版本都有大量習題，而勾股定理的逆定理的相關(guān)習題均過少，可以適量地增加這方面的習題；人教版的習題類型分配比較常規(guī)化：復習鞏固、綜合運用、拓廣探索，而北師大版的習題分類則更符合學生的認知：知識技能、數(shù)學理解、問題解決、練習拓廣，人教版可以學習北師大版將習題的分類進行細化.

在數(shù)學史融入上，人教版數(shù)學史內(nèi)容豐富，但分布比較分散，應考慮學生課堂時間安排的合理性.北師大版數(shù)學史過少，且都放在課下，在節(jié)中未提及證明方法，這種編排有助于學生進行自主探索，但不利于知識過程的完整性和緊密性.相反人教版將命題與證明相結(jié)合，讓學生只管的感受了定理的證明過程.

2.對教學的建議

對于教材的使用者，可以以本地區(qū)所使用的教材為基礎(chǔ)，同時可以引入其它版本教材的內(nèi)容作為補充.在教學過程中應該學會利用自身優(yōu)勢，對不同版本的教材中的內(nèi)容進行參考，集百家之長，取長補短.比如人教版講授勾股定理時，可以學習北師大版將知識點細化，更有助于學生對知識的理解.北師大版講授勾股定理時，可以注重知識的系統(tǒng)性和完整性，將勾股定理的證明方法適當?shù)拇┎迤渲?，便于學生理解和掌握勾股定理的證明方法.

在習題的選取上，教師可以結(jié)合兩個版本的習題，靈活分配不同類型的習題；在數(shù)學史的閱讀上，重視數(shù)學史發(fā)展趨勢的完整性，適當?shù)脑鰷p內(nèi)容以輔助教學，提高教學效率，同時寓教于樂，增加學生學習內(nèi)容的趣味性.