周繡佳, 馮秀琴, 張志穎, 姚治海, 王曉茜

(長春理工大學(xué) 理學(xué)院, 長春 130022)

時空混沌是非線性系統(tǒng)特有的一種狀態(tài), 廣泛存在于自然界中. 光學(xué)時空混沌是非線性光學(xué)系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象, 目前, 有關(guān)激光器的時空動力學(xué)行為[1]、 環(huán)形腔激光器系統(tǒng)[2-4]、 光學(xué)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)[5-7]、 光學(xué)相位共軛[8]、 光學(xué)參數(shù)振蕩器系統(tǒng)以及光折變振蕩器系統(tǒng)的時空混沌已取得很多研究成果[9-14]. 自White等[15]實現(xiàn)光折變振蕩器以來, 環(huán)形腔光折變振蕩器的非線性動力學(xué)研究已引起人們廣泛關(guān)注, 如利用微分方程對合作頻率鎖定[16]、 橫模巡游[17]、 光學(xué)斑圖和時空混沌[18-19]以及對稱耦合條件下光折變振蕩器的時空混沌控制與同步[20-21]等. 本文在此基礎(chǔ)上, 研究非對稱耦合條件下二維時空混沌的控制.

圖1 環(huán)形腔光折變振蕩器原理Fig.1 Schematic diagram of photorefractive ring oscillator

1 非對稱耦合環(huán)形腔光折變振蕩器的時空混沌

環(huán)形腔光折變振蕩器原理如圖1所示, 對應(yīng)的系統(tǒng)動力學(xué)行為可由如下迭代方程表示[13,22]：

非對稱耦合二維時空動力學(xué)方程為

其中:n為迭代步數(shù);i,j=1,2,…,L為二維空間平面坐標(biāo);εm(m=1,2,3,4)為空間相鄰格點間的非對稱耦合系數(shù); 函數(shù)f[In(i,j)]表示系統(tǒng)的局域動力學(xué)函數(shù), 用方程(1)～(3)表示;In(i,j)為狀態(tài)變量, 表示信號光強(qiáng).

初始條件為除激光光源外沒有其他光場存在的均勻分布的空間光場,I0(i,j)=0.3, 系統(tǒng)參數(shù)為

(8)

非對稱耦合系數(shù)分別為

ε1=0.05,ε2=0.06,ε3=0.055,ε4=0.045,

(9)

邊界條件為

In(0,j)=In(i,L+1)=In(i,0)=In(L+1,j)=0.

(10)

圖2為第(32,32)格點的時間序列和時空演化, 其中： (A)，(C),(E),(G)分別為Ωτ=0.3,0.7,1.05,1.4時格點(32,32)光強(qiáng)隨時間的變化； (B),(D),(F),(H)分別為Ωτ=0.3,0.7,1.05,1.4時光強(qiáng)的橫向分布. 由圖2可見： 當(dāng)Ωτ=0.3時, 二維空間環(huán)形腔光折變振蕩器系統(tǒng)均勻穩(wěn)定, 系統(tǒng)輸出狀態(tài)為穩(wěn)定的周期1； 當(dāng)Ωτ=0.7,Ωτ=1.05時, 系統(tǒng)的輸出狀態(tài)為倍周期狀態(tài), 從周期2、 周期4過渡到周期8狀態(tài)； 當(dāng)Ωτ=1.4時, 系統(tǒng)輸出狀態(tài)為時空混沌狀態(tài).

空間斑圖與系統(tǒng)參數(shù)和時間有關(guān). 當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)為式(8)-(9)及Ωτ=1.4, 初始條件為I0(i,j)=0.3, 邊界條件為式(10)時, 由方程(7)的數(shù)值計算結(jié)果表明, 空間非對稱耦合作用破壞了系統(tǒng)原有的對稱結(jié)構(gòu), 出現(xiàn)對稱破缺現(xiàn)象, 隨著時間的增加逐漸向中心擴(kuò)散, 最后演變?yōu)橥耆珪r空混沌狀態(tài), 如圖3所示. 由圖3可見： 當(dāng)時間步數(shù)n=50時, 時空斑圖的四角處開始出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象； 當(dāng)n=100時, 不穩(wěn)定范圍擴(kuò)大； 當(dāng)n=150時, 不穩(wěn)定范圍進(jìn)一步向中心擴(kuò)散； 當(dāng)n=200時, 系統(tǒng)呈完全時空混沌狀態(tài).

圖2 格點(32,32)的橫向分布及其隨時間的演化Fig.2 Transverse distribution of lattice (32,32) and its evolution with time

圖3 從對稱破缺向光學(xué)湍流演化的橫向斑圖Fig.3 Transverse pattern from evolution of symmetry breaking to optical turbulence

2 非對稱耦合環(huán)形腔光折變振蕩器的二維時空混沌控制

2.1 均勻外場調(diào)制控制二維時空混沌

均勻外場調(diào)制控制非對稱耦合環(huán)形腔光折變振蕩器系統(tǒng)二維時空混沌的動力學(xué)方程為

其中:f[In(i,j)]為局域動力學(xué)函數(shù);M為均勻外場調(diào)制強(qiáng)度;εm(m=1,2,3,4)為空間相鄰格點間的非對稱耦合系數(shù). 系統(tǒng)參數(shù)為式(8)-(9)及Ωτ=1.4, 初始條件為I0(i,j)=0.3, 邊界條件為式(10), 從n=600步開始加入控制, 結(jié)果如圖4所示, 其中： (A)，(C)，(E)分別為M=0.07，0.15,0.41時系統(tǒng)輸出光強(qiáng)度隨時間的變化； (B),(D),(F)分別為M=0.07,0.15,0.41時系統(tǒng)輸出光強(qiáng)度的時空分布. 由圖4可見： 當(dāng)均勻外場調(diào)制系數(shù)分別為M=0.07,0.15,0.41時, 系統(tǒng)分別被控制到周期4,2,1； 系統(tǒng)中每個格點輸出的光強(qiáng)度均不隨時間變化, 但不同格點輸出的光強(qiáng)度不同.

圖4 均勻外場調(diào)制環(huán)形腔光折變振蕩器二維時空混沌的控制結(jié)果Fig.4 Control results of two-dimensional spatiotemporal chaos by uniform external field modulation in photorefractive ring oscillator

2.2 混沌光場調(diào)制控制二維時空混沌

將環(huán)形腔激光器輸出的混沌激光作為調(diào)制信號, 調(diào)制控制二維非對稱耦合環(huán)形腔光折變振蕩器系統(tǒng)的時空混沌. 環(huán)形腔光折變振蕩系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

其中:f[In(i,j)]為局域動力學(xué)函數(shù);εm(m=1,2,3,4)為空間相鄰格點間的非對稱耦合系數(shù)；

為環(huán)形腔激光器輸出的混沌激光光強(qiáng)[4],α1為環(huán)形腔激光器的增益系數(shù),Γ為環(huán)形腔激光器的腔損耗.

系統(tǒng)參數(shù)為式(8)-(9)及Ωτ=1.4,Γ=11.0, 初始條件為I0(i,j)=0.3,X0(i,j)=0.3, 邊界條件為式(10), 從n=600步開始加入控制, 結(jié)果如圖5所示, 其中: (A),(C)分別為α1=11.75,12.5時系統(tǒng)輸出光強(qiáng)度隨時間的變化； (B),(D)分別為α1=11.75,12.5時系統(tǒng)輸出光強(qiáng)度的時空分布. 由圖5可見： 當(dāng)環(huán)形腔激光器增益參數(shù)分別為α1=11.75,12.5時, 系統(tǒng)分別被控制到周期4,2； 系統(tǒng)中每個格點輸出的光強(qiáng)度不隨時間變化, 但不同格點輸出的光強(qiáng)度不同. 數(shù)值模擬結(jié)果表明, 混沌光場調(diào)制不能將二維非對稱耦合環(huán)形腔光折變振蕩器系統(tǒng)的時空混沌控制到周期1.

圖5 混沌光場調(diào)制環(huán)形腔光折變振蕩器二維時空混沌的控制結(jié)果Fig.5 Control results of two-dimensional spatiotemporal chaos by chaotic light field modulation in photorefractive ring oscillator

綜上, 本文數(shù)值模擬了非對稱耦合環(huán)形腔光折變振蕩器的時空演化行為. 結(jié)果表明： 當(dāng)邊界條件、 初始條件以及系統(tǒng)參數(shù)取確定值時, 系統(tǒng)的輸出狀態(tài)隨時間演化逐漸擴(kuò)散到時空混沌狀態(tài); 當(dāng)調(diào)制強(qiáng)度逐漸增加時, 處于時空混沌狀態(tài)的二維非對稱耦合環(huán)形腔光折變振蕩器系統(tǒng)逐漸被控制到周期4、 周期2, 最后到穩(wěn)定的周期1狀態(tài); 隨著環(huán)形腔激光器輸出激光光強(qiáng)參數(shù)的增大, 二維非對稱耦合環(huán)形腔光折變振蕩器系統(tǒng)從混沌狀態(tài)逐漸被控制到周期4、 周期2狀態(tài), 系統(tǒng)受控后所處周期狀態(tài)與參數(shù)變化導(dǎo)致的周期狀態(tài)輸出光強(qiáng)度不同.