馬慧莉, 薛 蓉

(1. 西北師范大學 商學院, 蘭州 730070； 2. 西北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 蘭州 730070)

偏差分方程在偏微分方程數(shù)值解、 數(shù)學物理問題、 經濟學和材料力學等領域應用廣泛[1-4]. 偏差分方程振動性的研究目前已得到廣泛關注[5-8]. 文獻[5]借助Z-變換研究了時滯偏差分方程

解的振動性, 其中:p,qi為實數(shù);ki,li∈N0,i=1,2,…,μ;Nt={t,t+1,…};μ是正整數(shù); 文獻[6]用包絡理論研究了偏差分方程

Un+2,m+Un,m+2+aUn+1,m+bUn,m+1+cUn,m=0

解的振動性, 其中:a,b,c為實數(shù);m,n為非負整數(shù); 文獻[7]用包絡理論研究了超前型偏差分方程

pUm+2,n+qUm,n+2+Um+1,n+Um,n+1+rUm,n=0

解的振動性, 其中:p,q,r為實數(shù)且p2+q2+r2≠0;m,n為非負整數(shù). 但關于時滯與超前型混合偏差分方程振動性的研究目前文獻報道較少. 基于此, 本文考慮二階雙參數(shù)混合型偏差分方程

pUm+2,n+qUm,n+2-Um,n+Um+σ,n-τ=0,

(1)

其中:σ,τ為正整數(shù);m,n為非負整數(shù);p,q為實數(shù). 借助包絡理論得到了二階混合型偏差分方程(1)振動的充要條件.

定義1[8]若對m,n∈N+, 有實的雙參數(shù)序列{Um,n}滿足方程(1), 則稱{Um,n}是方程(1)的解.

定義2[8]若存在M,N∈N+, 使得當m≥M,n≥N時, 有{Um,n}>0(或{Um,n}<0), 則稱{Um,n}是最終正(或負)的. 若{Um,n}既不是最終正的也不是最終負的, 則稱{Um,n}是振動的. 若方程(1)的所有解都是振動的, 則稱方程(1)是振動的.

引理1[8]下列敘述等價：

1) 方程(1)的每個解都是振動的；

2) 方程(1)的特征方程pλ2+qμ2-1+λσμ-τ=0沒有正根.

引理2[9]設f(x,y),g(x,y)和v(x,y)是(-∞,+∞)×(-∞,+∞)上的可微函數(shù), 令Γ是由方程f(λ,μ)x+g(λ,μ)y=v(λ,μ)定義的雙參數(shù)平面直線族, 其中λ,μ為參數(shù). 設Σ是Γ的包絡線, 則方程f(λ,μ)a+g(λ,μ)b=v(λ,μ)無實根當且僅當無Σ的切線通過xy-平面內的點(a,b).

證明： 設方程(1)的特征方程為

f(p,q,λ,μ)=pλ2+qμ2-1+λσμ-τ=0.

(2)

根據(jù)包絡理論可知, 由方程(2)定義的包絡線方程滿足方程組：

(3)

類似地, 當τ+2-σ>0,τ-σ>0時, 可得如下定理：

例1考慮混合偏差分方程

-Um+2,n+0.5Um,n+2-Um,n+Um+1,n-2=0,

(4)

圖1 方程(4)的振動圖像Fig.1 Oscillatory image of equation (4)

例2考慮混合偏差分方程

-Um+2,n-Um,n+2-Um,n+Um+4,n-1=0,

(5)

即當p=-1,q=-1,σ=4,τ=1時, 定理1的振動圖像. 易證p=-1<0,q=-1<-22/1×1×(-1)4/1/44/1=-1/43,τ+2-σ<0, 滿足定理1的條件, 由定理1知, 方程(5)的每個解都振動, 從而驗證了定理1的正確性. 方程(5)的振動圖像如圖2所示.

例3考慮混合偏差分方程

-Um+2,n+Um,n+2-Um,n+Um+3,n-2=0,

(6)

圖2 方程(5)的振動圖像Fig.1 Oscillatory image of equation (5)

圖3 方程(6)的振動圖像Fig.3 Oscillatory image of equation (6)