魯 琦, 鮑宏偉

(蚌埠學(xué)院 理學(xué)院, 安徽 蚌埠 233030)

目前, 關(guān)于環(huán)的內(nèi)射性推廣形式GP-內(nèi)射環(huán)的研究已有許多結(jié)果[1-5]. 文獻(xiàn)[5]給出并證明了滿足有限條件的GP-內(nèi)射環(huán)的相關(guān)性質(zhì)； 文獻(xiàn)[6]通過引入WGP-內(nèi)射環(huán)的定義, 將GP-內(nèi)射環(huán)的一些結(jié)果進(jìn)行了部分推廣； 文獻(xiàn)[7]給出了WGP-內(nèi)射環(huán)新的等價刻畫, 并舉例說明了WGP-內(nèi)射環(huán)是GP-內(nèi)射環(huán)的真推廣, 進(jìn)一步推廣了文獻(xiàn)[5-6]的相關(guān)結(jié)果. 本文在此基礎(chǔ)上考慮WGP-內(nèi)射環(huán)的零化子性質(zhì), 給出WGP-內(nèi)射環(huán)是半單環(huán)的一些充分條件. 本文考慮的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán), 環(huán)R上的模均為酉模. 用Z(RR)表示環(huán)R的左奇異理想, 用Soc(RR)表示環(huán)R的左基座, 用l(a)表示?；颦h(huán)中元素a的左零化子. 對偶地, 有右奇異理想、 右基座和右零化子的記號. 用J表示環(huán)R的Jacobson根.

1 WGP-內(nèi)射環(huán)及其性質(zhì)

如果對任意0≠a∈R, 均存在正整數(shù)n, 滿足an≠0, 且Ran到R的任意左R-同態(tài)均可延拓為R的自同態(tài), 則稱環(huán)R為左GP-內(nèi)射環(huán)[5]. 如果對任意0≠a∈R, 均存在b∈R, 滿足ba≠0, 且Rba到R的任意左R-同態(tài)均可延拓為R的自同態(tài), 則稱環(huán)R為左WGP-內(nèi)射環(huán)[6]. 類似可定義右GP-內(nèi)射環(huán)和右WGP-內(nèi)射環(huán).

命題1設(shè)R是環(huán), 則下列敘述等價：

1)R是左WGP-內(nèi)射環(huán);

2) 對任意a∈R(a≠0), 均存在b∈R, 使得ba≠0, 并對任意由Rba到R的左R-同態(tài)f, 均存在m∈R, 使得對任意r∈R, 均有f(rba)=rbam.

證明： 1)?2). 對Rba到R的任意左R-同態(tài)f, 由1)可知,f可延拓為R的自同態(tài)g. 故對任意r∈R, 有f(rba)=g(rba)=rbag(1)=rbam, 其中m=g(1).

定義1[8]如果環(huán)R的任意極小左理想到R的左R-同態(tài)可以延拓為R的自同態(tài), 則稱R為左極小內(nèi)射環(huán).

命題2設(shè)R是左WGP-內(nèi)射環(huán), 則R是左極小內(nèi)射環(huán).

證明： 設(shè)R是左WGP-內(nèi)射環(huán), 則由定義可知, 對?0≠a∈R, 存在b∈R, 滿足ba≠0, 且Rba到R的任意左R-同態(tài)可延拓為R的自同態(tài). 如果Ra是R的極小左理想, 則Ra=Rba. 顯然Ra(即Rba)到R的任意左R-同態(tài)可延拓為R的自同態(tài). 因此R是左極小內(nèi)射環(huán).

由以上結(jié)論易見, GP-內(nèi)射環(huán)?WGP-內(nèi)射環(huán)?極小內(nèi)射環(huán), 但反之不成立. 文獻(xiàn)[7]中例2.1證明了左WGP-內(nèi)射環(huán)未必是左GP-內(nèi)射環(huán). 由文獻(xiàn)[7]中例1.1可得, 整數(shù)環(huán)不是左WGP-內(nèi)射環(huán), 但Soc()=0, 所以是左極小內(nèi)射環(huán).

引理1[6]若R是左WGP-內(nèi)射環(huán), 則J?Z(RR).

文獻(xiàn)[5]研究了右Kasch右GP-內(nèi)射環(huán)的性質(zhì), 對于WGP-內(nèi)射環(huán), 有類似的性質(zhì).

定理1設(shè)R是左Kasch左WGP-內(nèi)射環(huán), 則:

1) 對任意x∈R,xR是極小右理想當(dāng)且僅當(dāng)Rx是極小左理想；

2) Soc(RR)=Soc(RR)；

3)J=l(S)=lr(J), 其中S=Soc(RR)=Soc(RR)；

4)Z(RR)?J?Z(RR).

證明： 1) 由文獻(xiàn)[8]中定理1.14可知, 若Rx是極小左理想, 則xR是極小右理想. 反之, 若xR是極小右理想, 則類似于文獻(xiàn)[5]中定理2.3的證明知,l(xR)=l(x)是極大左理想, 故Rx?R/l(x)是極小左理想.

2) 由1)可得.

4) 設(shè)x∈Z(RR), 則r(x)是R的本質(zhì)右理想, 顯然Soc(RR)?r(x). 故由3)可得x∈lr(x)?l(S)=J, 所以Z(RR)?J. 再由引理1知J?Z(RR), 因此Z(RR)?J?Z(RR).

定義2[9]如果環(huán)R不含非零的冪零元, 則稱R是約化的.

易知約化環(huán)是半交換的.

命題3設(shè)R是約化的左WGP-內(nèi)射環(huán),S=eRe,e2=e∈R, 則S也是約化的左WGP-內(nèi)射環(huán).

證明：S顯然是約化的. 對任意0≠a∈S, 由R是左WGP-內(nèi)射環(huán)可知, 存在b∈R, 滿足ba≠0, 且rRlR(ba)=baR. 下證0≠ebe∈S, 滿足ebea≠0, 且rSlS(ebea)=ebeaS. 先證0≠ebe∈S, 滿足ebea≠0. 否則ebe=0, 于是(ba)2=baba=ba(ebe)a=0. 由R是約化的, 可得ba=0, 矛盾, 故ebe≠0. 同理可得ebea≠0. ?x∈rSlS(ebea), 可得lS(ebea)?lS(x). ?y∈l(ba),y∈R, 可得yba=0. 由約化環(huán)是半交換的, 可得eyeba=0, 所以eyeebea=0, 即eye∈lS(ebea). 因此eyex=0. 再由(yx)2=yxeyex=0及R是約化的可得yx=0. 故證得y∈lR(x), 因此lR(ba)?lR(x). 于是x∈rRlR(x)?rRlR(ba)=baR, 即存在z∈R, 使得x=baz. 因此x=exe=ebaze=ebeaeze∈ebeaS, 從而rSlS(ebea)?ebeaS. 注意到ebeaS?rSlS(ebea), 所以rSlS(ebea)=ebeaS. 因此S是約化的左WGP-內(nèi)射環(huán).

定理2設(shè)R是半素的左WGP-內(nèi)射環(huán), 則每個極大左(右)零化子是由一個冪等元生成的極大左(右)理想.

證明： 設(shè)L是R的極大左(右)零化子, 則存在0≠a∈R, 使得L=l(a)(r(a)). 由文獻(xiàn)[5]中定理3.1的證明可知,

l(a)=l(ar), ?0≠ar∈aR.

(1)

由文獻(xiàn)[6]中定理2.1可知,L由一個冪等元生成. 記L=l(a)=l(d)(L=r(a)=r(d)),d2=d, 類似式(1)有

l(d)=l(dr), ?0≠dr∈dR

(2)

推論1[5]設(shè)R是半素的左GP-內(nèi)射環(huán), 則每個極大左(右)零化子是由一個冪等元生成的極大左(右)理想.

2 滿足有限條件的WGP-內(nèi)射環(huán)

設(shè)a1,a2,a3,…是環(huán)R的任意元, 若對升鏈l(a1)?l(a1a2)?l(a1a2a3)?…, 存在正整數(shù)m, 使得當(dāng)n≥m時, 有l(wèi)(a1a2…am)=l(a1a2…an), 則稱該升鏈?zhǔn)欠€(wěn)定的. 下面將零化子升鏈穩(wěn)定時GP-內(nèi)射環(huán)的一些結(jié)果推廣到WGP-內(nèi)射環(huán).

引理2[10]若對任意a∈Z(RR), 升鏈l(a)?l(a2)?l(a3)?…是穩(wěn)定的, 則Z(RR)?J.

定義3[11]設(shè)R是環(huán), 如果R/J半單且J是冪零的, 則稱R為半準(zhǔn)素環(huán).

定理3設(shè)R是左WGP-內(nèi)射環(huán), 若對R中任意無限個元素a1,a2,a3,…, 均有升鏈l(a1)?l(a1a2)?l(a1a2a3)?…是穩(wěn)定的, 則: 1)R是半準(zhǔn)素環(huán)； 2)R是左、 右完全環(huán)； 3)R是左、 右Kasch環(huán).

證明： 1) 先證R/J是von Neumann正則環(huán). 對a1∈R, 若a1?Z(RR), 則l(a1)不是R的本質(zhì)左理想. 于是存在R的非零左理想I1, 使得l(a1)⊕I1是R的本質(zhì)左理想. 取0≠b1∈I1, 則l(a1)∩Rb1=0, 故b1a1≠0. 因?yàn)镽是左WGP-內(nèi)射環(huán), 所以存在c1≠0, 使得c1b1a1≠0, 且Rc1b1a1到R的任意左R-同態(tài)可延拓為R的自同態(tài). 若rc1b1a1=0, 則rc1b1∈l(a1)∩Rb1=0, 即rc1b1=0. 故可定義左R-同態(tài)：

l(a1)?l(a2)?l(a3)?…,ai+1=ai-aidiai,i=1,2,….

記b1=a1,b2=1-c1a1,…,bi+1=1-ciai,i=1,2,…, 則a1=b1,a2=b1b2,…,ai=b1b2…bi,i=1,2,…, 因此可得升鏈

l(b1)?l(b1b2)?l(b1b2b3)?…,

再證J是冪零的. 否則, 對任意n+1∈+, 存在x1,x2,…,xn+1∈J, 滿足x1x2…xn+1≠0. 因?yàn)镴=Z(RR), 故l(xn+1)是R的本質(zhì)左理想, 所以l(xn+1)∩Rx1x2…xn≠0. 于是存在0≠rx1x2…xn∈l(xn+1)∩Rx1x2…xn, 故rx1x2…xnxn+1=0, 進(jìn)而可得l(x1x2…xn)?l(x1x2…xnxn+1). 由于l(xn)也是R的本質(zhì)左理想, 故類似可得l(x1x2…xn-1)?l(x1x2…xn). 因此有升鏈

l(x1)?l(x1x2)?…?l(x1x2…xn)?l(x1x2…xn+1).

該升鏈中正整數(shù)n的選取是任意的, 與假設(shè)條件升鏈?zhǔn)欠€(wěn)定的矛盾. 故J是冪零的. 因此,R是半準(zhǔn)素環(huán).

2) 由于半準(zhǔn)素環(huán)是左、 右完全環(huán), 故可得結(jié)論.

3) 由2)及文獻(xiàn)[11]中命題28.4知, 任意非零左R-模包含一個極小子模. 由于R是左WGP-內(nèi)射環(huán), 自然是左極小內(nèi)射環(huán), 故由文獻(xiàn)[8]知R是左minfull環(huán), 且由文獻(xiàn)[8]中定理3.7可知R是左、 右Kasch環(huán).

推論2[5]設(shè)R是左GP-內(nèi)射環(huán), 若對R中任意無限個元素a1,a2,a3,…, 均有升鏈l(a1)?l(a1a2)?l(a1a2a3)?…是穩(wěn)定的, 則R是左完全環(huán).

定理4設(shè)R是左WGP-內(nèi)射環(huán), 若對R中的任意無限個元素a1,a2,a3,…, 均有升鏈l(a1)?l(a1a2)?l(a1a2a3)?…是穩(wěn)定的, 則下列敘述等價： 1)R是半素環(huán)； 2)R是左非奇異環(huán)； 3)R是半單環(huán).

證明： 3)?1)顯然.

1)?2). 先證Z(RR)詣零. 設(shè)存在0≠a∈Z(RR), 則對任意n∈+, 有an≠0. 由a2≠0得a?l(a). 因?yàn)閘(a)是本質(zhì)左理想, 所以l(a)∩Ra≠0. 于是存在0≠xa∈l(a)∩Ra, 故xa2=0, 從而l(a)?l(a2). 又因?yàn)閘(a)∩Ra2≠0, 類似可推出l(a2)?l(a3). 重復(fù)以上步驟, 可得升鏈l(a)?l(a2)?l(a3)?…, 與假設(shè)條件升鏈?zhǔn)瞧椒€(wěn)的矛盾. 因此Z(RR)詣零.

下證若Z(RR)≠0, 則存在0≠b∈Z(RR), 使得

l(b)=l(bt), ?0≠bt∈bR.

(3)

否則, 存在0≠bt1∈bR, 使得l(b)?l(bt1). 對bt1≠0, 存在t2∈R, 使得l(bt1)?l(bt1t2). 重復(fù)以上步驟, 可得l(b)?l(bt1)?l(bt1t2)?…, 與升鏈?zhǔn)瞧椒€(wěn)的矛盾. 故當(dāng)Z(RR)≠0時式(3)成立.

最后證Z(RR)=0. 若Z(RR)≠0, 則存在0≠b∈Z(RR). 由R是半素的知, 存在c∈R, 使得bcb≠0. 因?yàn)镽是左WGP-內(nèi)射環(huán), 故存在u≠0, 使得ubcb≠0. 若rubcb=0, 則由式(3)知,ru∈l(bcb)=l(b), 故rub=0. 因此可定義左R-同態(tài):

于是存在v∈R, 使得ub=ubcbv, 即ub(1-cbv)=0. 由于Z(RR)=J, 可得1-cbv可逆, 故ub=0, 矛盾. 因此Z(RR)=0.

2)?3). 由文獻(xiàn)[7]中定理2.1可知R是半單環(huán).

定理4是文獻(xiàn)[5]中定理3.6和文獻(xiàn)[6]中定理2.2的推廣.

定理5設(shè)R是左非奇異的左WGP-內(nèi)射環(huán), 若R不包含無限多個非零左理想的直和, 則R是半單環(huán).

證明： 對任意0≠a1∈R, 由R是左非奇異的可知,l(a1)不是本質(zhì)左理想, 于是存在非零左理想I1, 使得l(a1)⊕I1是R的本質(zhì)左理想. 取0≠b1∈I1, 得l(a1)∩Rb1=0, 故b1a1≠0. 因?yàn)镽是左WGP-內(nèi)射環(huán), 所以存在c1≠0, 使得c1b1a1≠0, 且Rc1b1a1到R的任意左R-同態(tài)可延拓為R的自同態(tài). 若rc1b1a1=0, 則rc1b1∈l(a1)∩Rb1=0, 即rc1b1=0. 故可定義左R-同態(tài)：

于是存在d1∈R, 使得c1b1=f(c1b1a1)=c1b1a1d1. 進(jìn)而可得c1b1(a1-a1d1a1)=0, 即c1b1∈l(a1-a1d1a1). 記a2=a1-a1d1a1, 注意到l(a1)∩Rc1b1=0, 因此l(a1)⊕Rc1b1?l(a2). 若a2≠0, 則l(a2)不是本質(zhì)左理想, 類似上述證明, 可得

l(a2)⊕Rc2b2?l(a3),a3=a2-a2d2a2,

于是l(a1)⊕Rc1b1⊕Rc2b2?l(a3). 重復(fù)以上步驟, 可得

l(a1)⊕Rc1b1⊕Rc2b2⊕…⊕Rcibi?l(ai+1).

由假設(shè)條件知,R不包含無限多個非零左理想的直和, 所以存在an+1=0, 再由an+1=an-andnan可依次推出an,an-1,…,a1是正則元, 故R是von Neumann正則環(huán).

設(shè)e1,e2,…是非零正交冪等元的無限序列, 記ai=1-(e1+e2+…+ei)(i=1,2,…), 則

ai=(1-e1)(1-e2)…(1-ei) (i=1,2,…),

且eiai+1=0,ei+1ai=ei+1≠0,ei+1ai+1=0. 若l(ai)∩Rei≠0, 則存在0≠rei∈l(ai)∩Rei, 可得rei=reiai=0, 矛盾. 故l(ai)∩Rei=0. 于是l(ai)⊕Rei?l(ai+1), 可得

l(a1)⊕Re1⊕Re2⊕…⊕Rei?l(ai+1),i=1,2,….

與R不包含無限多個非零左理想的直和矛盾. 所以R不包含非零正交冪等元的無限序列, 由文獻(xiàn)[12]中推論2.16知,R是半單環(huán). 證畢.

如果環(huán)R不包含無限非零左理想獨(dú)立族, 則稱R為左有限維數(shù)環(huán)[13]. 由定理5的證明易得以下推論.

推論3[7]設(shè)R是左非奇異的左WGP-內(nèi)射環(huán), 若R是左有限維數(shù)環(huán), 則R是半單環(huán).