溫鮮　霍海峰

摘 要 研究非仿射隨機波動率模型的歐式障礙期權定價問題時，首先介紹了非仿射隨機波動率模型，其次利用投資組合和It引理，得到了該模型下擴展的Black-Schole偏微分方程.由于這個方程沒有顯示解，因此采用對偶蒙特卡羅模擬法計算歐式障礙期權的價格.最后，通過數(shù)值實例驗證了算法的可行性和準確性.

關鍵詞 概率論；期權定價；蒙特卡洛模擬

中圖分類號 F830.9；O211.6 文獻標識碼 A

Abstract Under non-affine stochastic volatility model， the pricing problem of an European Barrier option is considered in this paper. First， the non-affine stochastic volatility model is introduced. Secondly， by constructing a portfolio and using It lemma， the extension of Black-Scholes parti-al differential equation is obtained. Due to this equation has not a formula solution， the Monte Carlo simulation with antithetic variables is used to calculate the price of European barrier option. Finally， the feasibility and accuracy of the algorithm are verified by numerical examples.

Key words probability； pricing options； Monte Carlo simulation

1引 言

經(jīng)典Black-Schools模型的市場假設在實際金融市場中很難滿足.為了更準確的描述金融市場，有效的對期權進行定價，許多學者開始關注隨機波動率模型，例如Hull-White隨機波動率模型，Heston隨機波動率模型等.在Hull-White隨機波動率模型下，即波動率是一個隨機過程，且波動率過程與股票價格相關時，溫鮮、鄧國和[1]（2016）給出了對偶蒙特卡洛模擬歐式障礙期權價格的算法，并通過例子計算說明了數(shù)值模擬的可行性和準確性.在Heston隨機波動率模型下，即標的資產(chǎn)價格滿足擴散過程，且波動率與現(xiàn)金存款收益之間滿足任意相關性，張素梅[2]（2017）利用非均勻網(wǎng)格的有限差分方法計算了歐式障礙期權的價格，并通過蒙特卡洛方法驗證了計算結果的準確性.在跳躍擴散模型下，即標的資產(chǎn)價格滿足帶有跳躍點的幾何布朗運動，張利花、張衛(wèi)國和許文坤[3]（2013）通過最小二乘擬蒙特卡羅法模擬了美式障礙期權的價格.在分數(shù)Black-scholes模型下，即標的資產(chǎn)價格服從幾何分數(shù)布朗運動時，霍海峰、溫鮮和鄧國和[4]（2009）通過求解偏微分方程得到了歐式障礙期權價格的封閉解，并驗證了封閉解的準確性.沈明軒等[5]（2012）在巨災指數(shù)滿足分數(shù)跳-擴散模型時，即巨災指數(shù)滿足帶有跳躍情形的幾何分數(shù)布朗運動，通過保險精算法得到了巨災期權的價格.

自從Christopher等[6]（2003）利用實際數(shù)據(jù)檢驗了非仿射波動率模型刻畫股票行為比其它市場模型更優(yōu)越之后，越來越多的學者開始關注非仿射隨機波動率模型.為了擺脫傳統(tǒng)的BS模型、隨機波動率模型、跳躍擴散模型中對波動率施加的限制，Chourdakis[7]（2004）在非仿射對數(shù)方差模型下，利用連續(xù)時間馬爾科夫鏈模擬波動率過程，并給出了期權定價的一種數(shù)值方法.Chourdakis[8]（2011）在非仿射隨機波動率模型下提出了一種新的估計隨機波動率的方法，并通過實證說明了非仿射波動率模型相比傳統(tǒng)的平方根隨機波動率模型的優(yōu)越性.Shi[9]（2016）等在股票價格滿足非仿射隨機波動率模型時，通過差分法求解偏微分方程進行期權定價.在非仿射波動率模型下，吳鑫育[10]（2013）應用快速傅里葉變換方法討論了標準歐式期權的定價.張霞[11]（2014）在非仿射波動率模型中使用傅里葉變換法對歐式認股權證進行了定價.

5 結 論

由于非仿射隨機波動率模型比經(jīng)典的 Black-Scholes模型具有更高的定價精確性，與仿射隨機波動率模型相比，能夠更好的描述資產(chǎn)價格的運動，故在該模型下研究期權定價很具實際意義.這里考慮非仿射隨機波動率模型的歐式障礙期權定價，首先利用投資組合和It引理，得到歐式障礙期權在該模型下滿足的擴展Black-Scholes偏微分方程.由于很難得到該方程的公式解，考慮采用數(shù)值計算方法.在此運用對偶蒙特卡洛模擬法計算歐式障礙期權的價格，并給出了具體的算法.最后，在數(shù)值實例中，對比已有文獻[10]中歐式看漲期權價格的計算結果驗證了對偶MC法的準確性，從而可利用此法計算下降敲出歐式看漲障礙期權的價格，其它各類障礙期權的價格也可類似計算.另外，該方法也可推廣應用于非仿射隨機波動率模型的其它新型期權的定價中.由于障礙期權是路徑依賴型期權，這類期權的其它數(shù)值定價方法例如二叉樹法，差分法有待進一步研究.

參考文獻

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