◇章勤瓊

自20世紀(jì)80年代以來，“教師成為研究者”作為具有號召力的口號和教育觀念，在歐美教育界廣為流傳，許多國家都開展了相關(guān)研究。隨著新課程改革的不斷深入，教師成為研究者也成為新世紀(jì)我國教師專業(yè)發(fā)展的重要趨勢。[1]中小學(xué)教師開展的教學(xué)研究，其研究問題皆來源于學(xué)校工作和自身的教育教學(xué)實踐，研究的直接結(jié)果是學(xué)校與自身工作實踐的改進。因此，教師開展研究時往往從自身出發(fā)確定研究問題，研究的類型大致包括七類：案例研究、實驗研究、教材研究、解題研究、基于反思的研究、基于調(diào)查的研究和設(shè)計研究。[2]“教師成為研究者”雖然已成為當(dāng)前教育改革與教師專業(yè)發(fā)展的共識，但是真正能在教育教學(xué)實踐中很好落實的并不多見。

從2013年起，“一課研究”團隊在全國著名特級教師朱樂平的帶領(lǐng)下，專注于課的研究，在實踐的基礎(chǔ)上，對一節(jié)節(jié)課進行多維度深入分析，追求透過一節(jié)課的研究，在實踐中摸索適合我們小學(xué)數(shù)學(xué)一線教師的研究方法，促進教師教育教學(xué)水平提升，這在國內(nèi)引起了很大的反響。而且，從2017年1月開始，“一課研究”團隊發(fā)起了完全自發(fā)、純粹公益的網(wǎng)絡(luò)教研學(xué)習(xí)活動，開始對《小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版）》《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》等四個主要小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)期刊進行導(dǎo)讀。導(dǎo)讀采取線上交流的形式，每個期刊每月一次，活動內(nèi)容為引導(dǎo)老師們更好地閱讀各期刊上個月的主要文章。這樣的導(dǎo)讀活動對于教師的教學(xué)研究具有非常重要的作用，閱讀教學(xué)研究文章是教師成為研究者的一個重要途徑。

下面將以2018年1月份《小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版）》的導(dǎo)讀活動中對2017年第12期游迪（美國特拉華大學(xué)蔡金法教授的研究團隊）與陳銘銘合寫的文章《用圖形的面積表征分?jǐn)?shù)的優(yōu)勢與局限性》[3]（以下簡稱文[3]）為例，來談該怎樣閱讀教育教學(xué)研究論文，以及可以從中得到哪些啟發(fā)。

一般來說，從讀者的角度，閱讀一篇教育教學(xué)研究論文，可以從兩個方面切入并獲益：一是研究本身，可以看這個研究是如何提煉研究問題，如何進行設(shè)計，如何開展研究，最后又是如何分析結(jié)果得出結(jié)論的；二是所研究的具體內(nèi)容，可以從研究的視角來重新審視這些內(nèi)容，尤其是看這個研究是否探討了一些自己原來并沒有關(guān)注的問題，是否給出了一些與自己原先的認(rèn)識有所不同的結(jié)果。

一、研究的設(shè)計與實施

根據(jù)前面對教育科研論文的分類，可以認(rèn)為文[3]是一個教學(xué)案例研究，研究的緣起是在教學(xué)中遇到的題目：“如圖1所示，陰影部分占圖形的幾分之幾？請用分?jǐn)?shù)表示。”在答題中，絕大多數(shù)學(xué)生給出的答案但也有部分學(xué)生的答究竟是否可以算作一個正確答案？為什么會有學(xué)生認(rèn)正確的？針對這些問題，文[3]從與教學(xué)圖1有關(guān)的多個角度出發(fā)，深入地思考這個內(nèi)容的教學(xué)，給出了一個從三個不同角度分析教學(xué)該怎么設(shè)計的框架，并對今后的教學(xué)提出了一些啟示。

圖1

（一）數(shù)學(xué)分析。

數(shù)學(xué)分析是指對一個內(nèi)容進行教學(xué)時，首先需要從數(shù)學(xué)的角度進行深入的分析。文[3]中涉及的數(shù)學(xué)內(nèi)容肯定是分?jǐn)?shù)，但僅僅知道這一點，對于教學(xué)來說是遠遠不夠的。作為教師，還必須知道，分?jǐn)?shù)的意義是有很多層級的，Kieren就提出對分?jǐn)?shù)至少有五種理解，分別是部分—整體、商、測量、比、算子。[4]事實上，對于分?jǐn)?shù)不同意義的理解，在教材里是有非常注意的。比如，在剛學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法時，該怎么幫學(xué)生理解為什么可以直接乘以分?jǐn)?shù)，各個版本是用不同的意義來闡述的，比如

數(shù)學(xué)分析，除了需要知道所教的數(shù)學(xué)內(nèi)容是什么，還要單純以數(shù)學(xué)的角度來看結(jié)果是否正確。從文[3]中的題目來其實也是正確無誤的，數(shù)學(xué)上的解釋如圖2，將圖2c看作1份，那么整體一共是6份，陰影部分為其中的2份。

圖2

（二）認(rèn)知分析。

作為教師，單純從數(shù)學(xué)上分析一個結(jié)果對或者不對是不夠的，更重要的是從認(rèn)知的角度來分析學(xué)生可能是怎么理解“平均分”的。從學(xué)生的認(rèn)知來分當(dāng)然沒有問題了，那為什么會出現(xiàn)？是不是按照我們前面數(shù)學(xué)分析中提到的，像圖2c這樣把三角形和弓形切成2份來的呢？雖然文[3]中沒有明確指出是否對學(xué)生進行過后續(xù)的訪談，但容易知道學(xué)生以這樣復(fù)雜的方式去思考這個題目的可能性不大。

更可能的是以下兩種情況：第一種是直觀認(rèn)為三角形和弓形面積看起來差不多，應(yīng)該是相等的。這些學(xué)生，他們在理解“平均分”時，并不要求形狀、面積完全相同。但事實上，文[3]對這一種認(rèn)識的分析并不充分。對于有這樣認(rèn)識的學(xué)生，應(yīng)該進一步追問：比如明確告知這兩個陰影部分的面積不相等，那么是否還可以表示？通過這樣的問題，可以更加明晰學(xué)生到底是如何理解平均分并得如果明確告知面積不相等后，有學(xué)生改變了看法，認(rèn)為不再那就說明這些學(xué)生認(rèn)為平均分形狀可以不同，但面積必須一樣。但如果有學(xué)生認(rèn)為仍然可以表示，說明他們在理解平均分時，不僅形狀可以不同，面積也可以不等。那么，很可能他們是以下面這樣的第二種方式來理解“平均分”的，認(rèn)為整個圖形被分成了6份，陰影部分是其中的2份。這種認(rèn)識以及前面提到的第一種認(rèn)識是不一樣的，前面對“平均分”的理解必須以“等積”為基礎(chǔ)，而在第二種認(rèn)識中，并不一定非要以“等積”來計算份數(shù)。這才引起了本文討論的主體內(nèi)容。也就是說到底應(yīng)該以怎樣的方式來理解“份數(shù)”或者說“平均分”。

事實上，對于“份數(shù)”或者“平均分”的理解是可以有不同方式的。第一種是面積或者分量相等，而我們用圖形面積表征分?jǐn)?shù)時，也總是有這樣的一個潛在假設(shè)的。但事實上，還有另外一種理解方式，而這種方式我們也都是普遍能接受的。比如文[3]圖7中，圖a和圖b的蘋果顯然大小不一樣，但我們還是愿意把它們理解成是可以當(dāng)成一樣的個體來理解部分和整體的。當(dāng)然還有其他的例子，比如文[3]圖3中不同大小的格子。

所以，通過認(rèn)知分析，我們知道，哪怕是在“份數(shù)”這一層意義上來理解分?jǐn)?shù)時，學(xué)生對于怎樣為1份的具體理解也是存在不同的方式的。

（三）教學(xué)分析。

我們可以從文[3]中清晰地看出，老師對這一內(nèi)容的教學(xué)，不是憑自己的經(jīng)驗與主觀感覺進行設(shè)計的，而是基于前面的數(shù)學(xué)分析和認(rèn)知分析。數(shù)學(xué)分析是關(guān)注教什么和學(xué)什么，認(rèn)知分析就是分析怎么學(xué)，而教學(xué)分析就是考慮怎么教。從研究的角度來看，數(shù)學(xué)分析、認(rèn)知分析與教學(xué)分析這個框架的最大意義是對教學(xué)的思考應(yīng)該是一貫的、連續(xù)的，沒有前面的數(shù)學(xué)分析和認(rèn)知分析，直接來談教學(xué)分析，可能會成為無本之木，無源之水。而如果有了前面的數(shù)學(xué)分析和認(rèn)知分析，接下來的教學(xué)分析就是水到渠成的事情了。這樣的一個研究框架，也給高校的教育教學(xué)研究者與一線教師的合作提供了很好的結(jié)合點。

二、具體內(nèi)容的教學(xué)

對老師們而言，在讀教育教學(xué)研究論文時，除了從研究的視角來看，還有一個非常重要的角度，即可以怎樣思考具體內(nèi)容的教學(xué)。我們知道分?jǐn)?shù)是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個難點，而對分?jǐn)?shù)不同意義的理解重視不夠，是導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)困難的重要原因。比如，以前面提到的Kieren的分?jǐn)?shù)的五種意義來說，單單份數(shù)這么一種意義，現(xiàn)在也出現(xiàn)了不同層次的理解。那么在準(zhǔn)備教學(xué)時，該怎么應(yīng)對？根據(jù)前面的數(shù)學(xué)分析和認(rèn)知分析，馬上就能得到三種不同的教學(xué)設(shè)計：

1.強調(diào)每一份面積完全相等，要避免或者淡化各份之間面積不相等的情況出現(xiàn)。

2.強調(diào)每一份面積完全相等，但如果有學(xué)生認(rèn)為各份之間可以面積不相等時，并不糾正。

3.刻意突出各份之間不相等的情況。

相應(yīng)地，在具體教學(xué)行為的選擇上也會不同。以這道題為例，如果有教師持第一種觀點，那么他顯然會認(rèn)不對的，是需要糾正的。如果持第二種觀點，當(dāng)學(xué)生出時候，他可能就會采取冷處理的方式。而如果持第三種觀點，老師大概會設(shè)計專門的教學(xué)任務(wù)來幫助學(xué)生理解為什么可以表示。

顯然，文[3]所持的是第三種觀點，也就是在教平均分的時候，是允許并且需要幫助學(xué)生以不同方式理解份數(shù)的。所以才有下面的一系列相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計與行為。

首先在對平均分的意義的理解上，就用了如圖3這樣很不尋常的非常開放的素材，“請問：左上角被圈出的部分占整體的幾分之幾？為什么你會認(rèn)為這個分?jǐn)?shù)代表它？”對于這個題目，既可以按照方框的個數(shù)或面積來計算份數(shù)，也可以按照人數(shù)，而人的總數(shù)還可以有不同的考慮，甚至還可以同時考慮方框和人數(shù)。

圖3

其次是對分?jǐn)?shù)進行計數(shù)，這里其實是如何對份數(shù)和總數(shù)進行計數(shù)。上面這兩個活動主要就是為了強調(diào)：“我們在理解分?jǐn)?shù)時總是要求等分，但這個等分可以是個數(shù)的等分、面積的等分、體積的等分、質(zhì)量的等分……所以，在觀察一個圖形時，要了解使用分?jǐn)?shù)所要表征或突出的是圖形的哪一種特征，而不能將所有的特征混為一談。”[3]

再次是對部分和整體的進一步理解。這有兩個目的：一是，讓學(xué)生對部分和整體不僅有數(shù)量上的認(rèn)知，還有對具體內(nèi)容的感受。如文[3]中提到的30塊巧克力的例子，其中分出來的每份可以有不同的樣子，而這些份組成的整體樣子也可以不同。二是，不管什么樣不同的形狀，只要分給同樣多的人，最后表示出來的分?jǐn)?shù)還是一樣的。

當(dāng)學(xué)生對“什么是平均分？如何對分?jǐn)?shù)進行計數(shù)？誰是整體、誰是部分”這些關(guān)鍵問題有了理解后，最后回到圖形面積這里，是為了讓學(xué)生明要有對具體意義的理解。更要認(rèn)識到，針對圖形的不同特征進行計數(shù)，所得到的結(jié)果可能都是有道理的，并且不會因為這兩種方式所得到的結(jié)果存在差異而產(chǎn)生混淆。

三、結(jié)語

閱讀文[3]這樣的教育教學(xué)研究論文，對老師們可以有很多啟發(fā)：一是這樣一個教學(xué)分析框架，可以為老師們進行教學(xué)設(shè)計提供一種很好的思路；二是對這一內(nèi)容的深度研究，對分?jǐn)?shù)意義的理解，需要關(guān)注不同層級的意義，甚至在同一層級上，也還可以做更進一步的分析，在這一點上，光看教材的處理可能是不夠的，需要老師們以研究的視角更深入地思考相應(yīng)的問題。

最后需要強調(diào)的是，教育教學(xué)研究論文不是“寫”出來的，而是“做”出來的。教師若能以研究的視角更多看待、思考自己的教學(xué)，而把這個思考的過程按照一定的規(guī)范記錄下來，就是一篇教育教學(xué)研究論文。