◇陳為強

很多教師認(rèn)為復(fù)習(xí)課的主要目的只是為了鞏固知識、強化技能，缺乏對復(fù)習(xí)課有效性的深入研究，導(dǎo)致復(fù)習(xí)課效率低下。其實在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上不必求全，但要求聯(lián)，讓知識形成系統(tǒng)；不必求全，但要求活，引發(fā)學(xué)生思考；不必求全，但要求變，在變化中觸摸數(shù)學(xué)本質(zhì)；不必求全，但要求延，激發(fā)學(xué)生探究熱情。

一 求聯(lián)：整理知識，形成結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識往往不是整體呈現(xiàn)，通常散落在各個不同的學(xué)段。這就要求教師在復(fù)習(xí)時，要有意識地組織學(xué)生對知識進(jìn)行整理，把碎片化、散落的知識串成線、結(jié)成鏈，構(gòu)成一棵具有層次性、結(jié)構(gòu)化和具有發(fā)展力的“知識樹”，以便于新知的“生長”和“嫁接”。

學(xué)生在三年級上學(xué)期學(xué)習(xí)了“長方形、正方形的周長”，三年級下學(xué)期學(xué)習(xí)了“長方形、正方形的面積”，這樣的安排導(dǎo)致許多學(xué)生不能辨析“周長”和“面積”之間的區(qū)別，往往將二者混為一談。于是教師在課前布置學(xué)生對長方形、正方形周長和面積相關(guān)的知識進(jìn)行整理，為深入復(fù)習(xí)提供知識基礎(chǔ)。

【教學(xué)片段一】

師：昨天老師要求同學(xué)們對長方形周長和面積的相關(guān)知識進(jìn)行整理，哪位同學(xué)愿意與大家分享？

生：我是這樣整理的（如圖1），周長和面積表示的含義不同，周長展開是一條線段（加粗的部分），面積是里面灰色的部分，是看長方形包含多少個相同的面積單位，所以周長和面積的求法也不一樣。當(dāng)長等于寬時長方形就變成正方形，所以正方形的周長和面積公式都可以從長方形的周長和面積公式推導(dǎo)出來。

圖1

生：我是用列表整理方式對長方形、正方形周長和面積進(jìn)行區(qū)分的（如表1），它們有三點不同，分別是：意義不同、公式不同、單位不同，具體的可以看表格。

表1 周長和面積的區(qū)別

學(xué)生通過思維導(dǎo)圖和列表整理，明晰周長和面積的區(qū)別：周長是圍在封閉圖形周圍一條線的長度，是從一維的角度來刻畫的；而面積是從二維的角度對長方形進(jìn)行刻畫。思維導(dǎo)圖呈現(xiàn)出正方形是特殊的長方形，利用長方形的周長和面積計算公式以及長方形和正方形之間的關(guān)系推導(dǎo)出正方形的周長和面積計算公式，體現(xiàn)出了一般和特殊的關(guān)系。通過梳理，使得知識之間條分縷析，增強關(guān)聯(lián)度。

二 求活：由式思圖，促發(fā)思考

教師在進(jìn)行練習(xí)設(shè)計時，可以對習(xí)題進(jìn)行改編，促發(fā)學(xué)生思考，消除思維的壁壘，打破慣性思維的障礙，促使學(xué)生的思維從單一走向多元、從封閉走向開放。

【教學(xué)片段二】

師：你能依據(jù)算式畫出它所表達(dá)的含義嗎？

（1）師出示算式：10+8+5。

生：我畫的是三角形（圖略），10、8和 5分別是三角形的三條邊的長度，三個數(shù)相加求的是三角形的周長。

（2）師出示算式：5×4。

（學(xué)生動手畫圖，幾分鐘后開始展示）

生：我畫的是正方形（圖略），5表示正方形的邊長，4表示正方形邊長的數(shù)量，5×4這個算式表示正方形的周長。

生：我把5看成長方形的長，4看成了長方形的寬（圖略），5×4表示這個長方形中包含著20個同樣大小的正方形，20也是這個長方形的面積。

生：我畫的是正五邊形（圖略），4表示邊長，5表示五邊形的邊數(shù)，5×4表示正五邊形的周長。

（其他同學(xué)聽到這位同學(xué)的講解，情不自禁地鼓起掌來，贊賞他從四邊形想到五邊形）

師：能否對上述圖形進(jìn)行分類？

生：可以分為兩類，一類是表示周長，算式可以表示正方形和正五邊形的周長，另一類是表示圖形的面積。

生：我也是分為兩類，一類畫出的圖形和四邊形有關(guān)，另一類和五邊形有關(guān)。

師：對于這三個圖形，采用不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類結(jié)果是不同的。對于同一個算式從不同角度思考畫出的圖形也是不同的。

（師出示算式：6×2+5×2。生獨立思考，畫圖后展示）

生：6×2+5×2 表示長方形的周長（圖略），6和5分別是長方形的長和寬，2表示長方形長和寬的數(shù)量。

生：還可以換一個角度思考（如圖 2），6×2表示的是長為6、寬為2的長方形的面積，5×2表示的是長為5、寬為2的長方形的面積，6×2+5×2表示用這兩個長方形組合成的一個圖形的面積。

圖2

師：這兩個圖形最大的區(qū)別是什么？

生：最大不同就是算式中2表示的意義不同，如果把2看成是長方形長和寬的數(shù)量，那么這個算式表示長方形的周長；如果2表示長方形的寬，那么6×2+5×2就表示組合圖形的面積。

上述教學(xué)改變了以前看圖列式的呈現(xiàn)方式，采用由式思圖的形式，由于大家的思考角度不同，對同一個算式進(jìn)行畫圖表征，畫出的圖形也是不同的。有的數(shù)據(jù)能在圖形中標(biāo)注，有的則隱藏在圖形中；有的是從周長的角度進(jìn)行思考，有的是從面積的角度展開想象；有的關(guān)注的是單個圖形，有的聯(lián)想到組合圖形；有的算式只能表征一個圖形，有的則對應(yīng)多個。學(xué)生在畫圖中感受到了算式的簡約和對應(yīng)圖形的豐富。整個由式思圖的活動，激活了學(xué)生的思維，學(xué)生畫出的圖形甚至超出教師的想象，課堂呈現(xiàn)出別樣的精彩。

三 求變：深度思考，觸摸本質(zhì)

復(fù)習(xí)課的習(xí)題訓(xùn)練一定要有所變化，可以增加條件訓(xùn)練學(xué)生搜集信息、篩選信息、分析信息的能力；可以減少條件或者對顯性條件進(jìn)行隱蔽化處理，啟發(fā)學(xué)生觀察思考，主動尋找條件之間的關(guān)系；也可以把習(xí)題變靜為動，采用多種方式呈現(xiàn)習(xí)題的變化。變式訓(xùn)練往往更聚焦數(shù)學(xué)的本質(zhì)，引發(fā)學(xué)生的深度思考，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

【教學(xué)片段三】

師：能求出這個長方形（如圖3的“原圖”）的周長嗎？（以下圖形單位均為“厘米”）

（學(xué)生順利求出來）

師：如果從這個圖形中挖掉一塊（如圖3），現(xiàn)在的周長是多少？

生：把陰影部分各條邊的長度加起來，10+6+3+2+4+2+3+6＝36（cm）。

生：把各條邊逐個相加比較麻煩，可以把4厘米這條邊向上平移（圖略），可以看出，現(xiàn)在圖形周長比原來長方形的周長多兩個2cm，周長為32+2+2＝36（cm）。

師：借助平移求不規(guī)則圖形的周長確實方便，也能清楚發(fā)現(xiàn)變化后圖形的周長與原來圖形的周長之間的關(guān)系。我們現(xiàn)在把圖形變一變[見圖3，從變化（1）逐漸變化為（2）、（3）、（4）、（5）]。請同學(xué)們求出變化（1）到變化（5）的周長，然后和原圖相比較，有什么發(fā)現(xiàn)？想想為什么。

圖3

生：通過平移，可以發(fā)現(xiàn)變化（1）、（2）、（3）的周長相等，都是在原長方形的周長上增加兩個2厘米，周長都是36cm。變化（4）的周長和原長方形周長相等，都是32cm，變化（5）的周長比原長方形的周長增加兩個 4cm，周長為32+4+4＝40（cm）。

生：都是從原長方形中挖去相同的長方形，變化之后圖形周長可能增加，也可能不變。如果從頂點挖去圖形，周長不變；如果在每條邊的中間挖去長方形，利用平移的辦法，剩下圖形的周長比原圖的周長多兩條挖去圖形的長或者寬。

師：觀察得很仔細(xì)，思考得很全面，如果從面積的角度思考呢？

生：無論怎樣變化，變化（1）-（5）的形狀雖然不同，但陰影部分的面積是相等的，都是從原來長方形的面積中減去小長方形的面積，算式是10×6-4×2=52（cm2）。

師：能從變化中找到不變，很好！還有別的發(fā)現(xiàn)嗎？并舉例說明。

生：周長相等的圖形面積不一定相等。例如原圖和變化（4）的圖形。

生：面積相等的圖形，周長可能相等，如變化（1）、（2）、（3）。

生：面積相等的圖形周長也可能不相等。如變化（4）和（5）。

生：周長大的圖形面積不一定大，如變化（5）和原圖。

師：這幾位同學(xué)很善于觀察、對比、思考，發(fā)現(xiàn)許多很有價值的結(jié)論。如果同學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)中多觀察、多對比、多思考，一定會有更多的發(fā)現(xiàn)。

對一道題（原圖）進(jìn)行不斷的變化，引發(fā)了學(xué)生的深度思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)無論怎樣變化，變化后圖形的面積都是相同的，都是用“原圖形的面積減去小長方形的面積”這個數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計算，在變中找到了不變。也發(fā)現(xiàn)變化之后圖形的周長有可能是不同的，在不同位置挖去同一個圖形后，剩下圖形的周長不一定相同，甚至還出現(xiàn)面積減少但周長增加的情況。通過學(xué)生的觀察、對比、思考得到“周長相等的圖形面積不一定相等”“面積相等的圖形周長也可能不相等”“周長大的圖形面積不一定大”等許多具有思辨色彩的結(jié)論，深化學(xué)生對圖形周長和面積的認(rèn)識，也增加了數(shù)學(xué)課堂的厚度。

四 求延：拓展延伸，展開想象

復(fù)習(xí)課不能在原地打轉(zhuǎn)，只拘囿學(xué)生已有的知識，還要站在高處，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力進(jìn)行適度拓展，不僅立足于“當(dāng)下”，還要著眼于“未來”，利用知識的延展性，激起學(xué)生探究新知的學(xué)習(xí)熱情。

【教學(xué)片段四】

師：剛才大家通過對一道算式從不同的角度進(jìn)行樂此不疲地思考，找到了不同的圖形。如果再給你一道算式6×5×3，你能想到什么？

（學(xué)生思考）

生：我想到的是3個長為6，寬為5的長方形拼成的一個組合圖形的面積（如圖4）。

圖4

生：我想到的是6個長為5、寬為3的長方形拼成的一個組合圖形的面積，還可能是5個長為6、寬為3的長方形拼成的一個組合圖形的面積。

生：受魔方的啟發(fā)，我想到了一幅立體圖形（如圖 5），長為 6、寬為 5，前后擺了 3 層。這個立體圖形共有90小塊。

圖5

師：同學(xué)們真富有想象力，同一道算式，不僅想到平面圖形的組合，更難得的是還想到了立體圖形。

利用學(xué)生生活經(jīng)驗和已經(jīng)積累的思考活動經(jīng)驗，借助想象，引發(fā)學(xué)生的思維從一維（線）拓展到二維（面），然后延伸到三維（體），發(fā)展學(xué)生的空間觀念。課雖已止，但思未盡，數(shù)學(xué)本身的魅力引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和探究欲望。適度的拓展延伸，增加課堂教學(xué)的深度。