唐蓋蓋 傅祥棣 邵廣申 陳 寧
(江蘇科技大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院 鎮(zhèn)江212003)
灰色理論所要處理的問題是:利用某系統(tǒng)的已知信息去認(rèn)知這個系統(tǒng)的特性、狀態(tài)和發(fā)展趨勢,并對其未來作出預(yù)測?;疑P图椿疑碚摰奈⒎址匠棠P?。傳統(tǒng)灰色模型為GM(1,1)模型,是一個一階且一個變量的微分方程模型,因其模型結(jié)構(gòu)簡單且預(yù)測結(jié)果可信度較高而被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通領(lǐng)域的預(yù)測。由于船舶上對主要動力源柴油機安全性的關(guān)注度提高,GM(1,1)模型也逐漸被應(yīng)用于船用柴油機的故障診斷,如對船用柴油機熱工參數(shù)的預(yù)測[1-3]。但是,一般GM(1,1)模型是依據(jù)固定已知信息作為初始值建立預(yù)測模型的,對于船用柴油機長期運行機件磨損造成性能指標(biāo)降低后產(chǎn)生的問題,其預(yù)測能力較差。為進(jìn)一步提高GM(1,1)模型預(yù)測精度,很多學(xué)者提出了多種改進(jìn)方法:在灰色GM(1,1)模型和線性回歸模型的基礎(chǔ)上結(jié)合有效度原理建立新的組合模型[4],對建模序列進(jìn)行對數(shù)平滑處理,而后利用遺傳算法對背景值進(jìn)行尋優(yōu),形成改進(jìn)的新陳代謝GM(1,1)模型[5];在灰色預(yù)測的基礎(chǔ)上進(jìn)行馬爾科夫預(yù)測,利用馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣來改進(jìn)灰色系統(tǒng)模型[6]等,但其均未對GM(1,1)模型的基本構(gòu)建參數(shù)進(jìn)行修正。從根源上分析建模誤差來源;文獻(xiàn)[7-10]中對GM(1,1)模型構(gòu)造參數(shù)中的初始值以及權(quán)數(shù)進(jìn)行了修正,但沒有建立動態(tài)模型,對于長期的預(yù)測性能較弱。筆者通過新陳代謝法建立動態(tài)GM(1,1)模型,進(jìn)而修正了動態(tài)模型構(gòu)建參數(shù)中的初始值、背景值權(quán)數(shù)以及模型維數(shù),并通過仿真模型數(shù)據(jù)對其進(jìn)行了預(yù)測精度分析,證實了最終改進(jìn)后的動態(tài)GM(1,1)預(yù)測模型相對于文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[7]的GM(1,1)模型有更高的預(yù)測精度。
一般的GM(1,1)模型的建立如下:已知一組已知量序列:
(2)對 作準(zhǔn)光滑性檢驗:
當(dāng)k> 2時,若存在 < 0.5,則滿足準(zhǔn)光滑條件。
(3)對 做一般準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律檢驗:
當(dāng)k>2時,若存在 ,則滿足準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律。
(4)若滿足以上檢驗條件,則說明序列滿足一階線性微分方程:
(5)對 做緊鄰均值等權(quán)生成,得到式(4)的背景值:
(6)對參數(shù)列 做最小二乘估計[11]得:
(7)將a和u帶入GM(1,1)白化方程得時間響應(yīng)函數(shù):
式中:k≥1,得到X1的模擬值:
(8)以 做累減還原,即可得到原始序列的預(yù)測序列[12]:
(9)檢驗?zāi)P途龋?/p>
采用相對誤差(RPE)來衡量預(yù)測模型精度,RPE定義如下:
式中: 為第k個實際值, 為第k個預(yù)測值,模型最終的預(yù)測精度可由平均相對誤差(ARPE)來衡量,ARPE定義如下:
1.2.1 新陳代謝GM(1,1)模型
在實際情況中,針對船舶柴油機這個連續(xù)系統(tǒng),隨著時間推移,會不斷產(chǎn)生新的數(shù)據(jù)以及新的未知波動,使系統(tǒng)的發(fā)展情況受到影響。從發(fā)展的角度看,隨著系統(tǒng)長期發(fā)展,偏離時間點越遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)對系統(tǒng)的描述是越弱的,所以在實際建模中,將不斷地以新的數(shù)據(jù)替換之前的已知數(shù)據(jù)作為GM(1,1)預(yù)測模型初始值,也就實現(xiàn)了數(shù)據(jù)的新陳代謝,即新陳代謝GM(1,1)模型,對傳統(tǒng)模型的長期性預(yù)測能力進(jìn)行了有效的改進(jìn)。建模方式如下:
像這樣隨著原始數(shù)據(jù)序列變化而更新的預(yù)測模型即為新陳代謝 GM(1,1)模型[13-14]。
1.2.2 模型構(gòu)建參數(shù)修正
最小二乘估計法是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù),它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳匹配函數(shù),可簡便地求得未知的數(shù)據(jù),并使這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。為此,筆者將使用最小二乘法統(tǒng)一修正模型結(jié)構(gòu)參數(shù)。
1.2.2.1 背景值權(quán)值修正
一般的GM(1,1) 預(yù)測模型在生成背景值時,為方便計算,采用等權(quán)生成,即 的相鄰兩項權(quán)值μ1和μ2均為 0.5(μ1+μ2=1),實際應(yīng)用中并沒有文獻(xiàn)證明在μ1=μ2= 0.5時的預(yù)測模型精度最高。因此,筆者認(rèn)為應(yīng)在建模時用式(15)替換式(5),以μ1在[0, 1]內(nèi)自增0.01的步長進(jìn)行迭代尋優(yōu)確定最優(yōu)權(quán)值。
1.2.2.2 初始值修正
一般GM(1,1) 預(yù)測模型默認(rèn)預(yù)測初始值為原始序列第一項 ,但實際上,該做法并不能保證針對各種應(yīng)用條件下都能使模型預(yù)測誤差最小,因此,根據(jù)最小二乘法原理進(jìn)行修正初始值,修正方法如下:
(1)根據(jù)式(6),設(shè)最佳初始值為m,則GM(1,1)模型得出的原始序列估計方程為:
(2)模型預(yù)測值為:
(4)計算預(yù)測值與實際值的方差和S:
模型背景值和初始值并行修正算法見圖1。
圖1 模型初始值和背景值權(quán)值修正算法
1.2.2.3 維數(shù)修正
新陳代謝GM(1,1)模型雖然實現(xiàn)了隨原始序列變化而更新,但其維數(shù)往往是一個人為設(shè)定的定值,易受到系統(tǒng)階躍性數(shù)據(jù)的影響,民致模型預(yù)測精度降低。對于該問題筆者認(rèn)為,應(yīng)適當(dāng)?shù)乇A魩孜粴v史數(shù)據(jù),可以使預(yù)測模型更為平滑,受系統(tǒng)的階躍性數(shù)據(jù)影響減小。在保證模型預(yù)測值與實際值方差最小的情況下,通過對歷史數(shù)據(jù)的迭代建模進(jìn)行尋優(yōu),從而確定預(yù)測模型最佳維數(shù),尋優(yōu)方法如下:
(2)第k次建模所取參數(shù)序列為:A1X0t={x01,x02,…,x0k+n},A2X0t={x02,x03,…,x0k+n},…,AkX0t={x0(k),x0k+1,…,x0k+n},然后修正初始值和背景值權(quán)值并建立GM(1,1)模型。
(3)分別計算所有模型的預(yù)測值與實際值的方差,取預(yù)測值和實際值誤差的平方和最小的模型作為最優(yōu)模型。
利用AVL Boost[15]仿真計算軟件建立6100型船用柴油機仿真模型,其初始狀態(tài)依據(jù)柴油機廠家提供的結(jié)構(gòu)參數(shù)和實驗臺架數(shù)據(jù)設(shè)定。仿真模型圖見圖2,柴油機部分結(jié)構(gòu)參數(shù)和初始參數(shù)值見下頁表1。
圖2 柴油機仿真模型
表1 柴油機主要結(jié)構(gòu)參數(shù)和部分初始參數(shù)值
仿真模型主要包括:2個系統(tǒng)邊界(SB1,SB2),空氣冷卻器,3個穩(wěn)壓腔(其中PL1為進(jìn)氣腔,PL2和PL3為排氣腔),6個氣缸模型C1~C6,一個渦輪增壓器TC1,發(fā)動機主機E1,18個連接管,8個測點(MP1~MP8)。缸內(nèi)熱傳民選用的Woschni1978,缸內(nèi)燃燒模式為單VIBE函數(shù),增壓模型選擇簡易模型(Simplified Model)。
在外特性范圍內(nèi),將仿真數(shù)據(jù)與試驗臺架數(shù)據(jù)做對比,結(jié)果見圖3。其中(a)為缸內(nèi)壓力對比曲線,數(shù)值誤差低于5%;圖(b)為平均有效壓力對比曲線,數(shù)值誤差低于3%;圖(c)為額定轉(zhuǎn)速2500 r/min下的燃油消耗率對比曲線,吻合程度高。從以上結(jié)果可看出仿真數(shù)據(jù)與實驗臺架數(shù)據(jù)吻合較好,該模型滿足仿真實驗需求。
對滿負(fù)荷、額定轉(zhuǎn)速工況下的柴油機仿真模型,通過調(diào)整其噴油量來模擬柴油機運行負(fù)荷的變化,負(fù)荷變化范圍為100%~107%,增量為1%。計算完成后,提取部分柴油機熱工參數(shù),包括1缸內(nèi)爆發(fā)壓力P1,增壓渦輪入口壓力P2及進(jìn)口溫度T1,1缸排氣溫度T2及排氣壓力P3,共8組。其詳細(xì)數(shù)據(jù)見下頁表2。
圖3 仿真數(shù)據(jù)與試驗臺架數(shù)據(jù)對比
以表2的前4組數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù)分別建立一般G(1,1)模型、修正參數(shù)的G(1,1)模型以及修正參數(shù)的新陳代謝G(1,1)模型,然后取后4組數(shù)據(jù)來驗證模型的預(yù)測精度。
(1)首先對建模數(shù)據(jù)做準(zhǔn)光滑性檢驗和一般準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律檢驗,結(jié)果見下頁表3。
由表3可看出,5種熱工參數(shù)在取前4項作為建模初始數(shù)據(jù)時,當(dāng)k>2時,存在 <0.5,滿足準(zhǔn)光滑條件;當(dāng)k>2時,存在 ,滿足準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律,因此均滿足G(1,1)模型的建模要求。
表2 柴油機部分熱工參數(shù)值
表3 建模數(shù)據(jù)檢驗結(jié)果
(2)三種預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果見表4 -表6。
由表4 -表6可看出,一般G(1,1)模型、修正參數(shù)的G(1,1)模型以及修正參數(shù)的新陳代謝G(1,1)模型這三種模型的預(yù)測精度依次提高,修正參數(shù)的G(1,1)模型雖然較一般G(1,1)模型精度有所提升,但幅度較小,而修正參數(shù)的新陳代謝G(1,1)模型的預(yù)測精度較之前兩種有較大改進(jìn),因為其“動態(tài)”不但體現(xiàn)在有新數(shù)據(jù)的實時更新,而且還有建模維數(shù)的自動修正,使預(yù)測結(jié)果更加精確。
表4 一般G(1,1)模型預(yù)測結(jié)果
表5 修正參數(shù)的G(1,1)模型預(yù)測結(jié)果
通過對一般G(1,1)模型的初始值、背景值的權(quán)值修正,再基于新陳代謝原理建立了動態(tài)的G(1,1)模型,而后對動態(tài)模型的建模維數(shù)進(jìn)行修正,形成最終改進(jìn)的動態(tài)G(1,1)預(yù)測模型。而后,利用AVL Boost仿真計算軟件建立柴油機仿真模型,在驗證了仿真模型精度滿足要求后,通過調(diào)整其噴油量來模擬柴油機運行負(fù)荷的變化,并提取部分熱工參數(shù)作為驗證預(yù)測模型的數(shù)據(jù)源,通過對三種預(yù)測模型計算結(jié)果的分析,結(jié)果表明最終改進(jìn)的動態(tài)G(1,1)預(yù)測模型精度有很大提高,可以應(yīng)用于實際柴油機維護(hù)中。