劉天奇， 時新紅,*， 張建宇， 費斌軍

(1. 北京航空航天大學 航空科學與工程學院, 北京 100083； 2. 重慶大學 航空航天學院, 重慶 400044)

在工程實際中，對于承受疲勞載荷的結(jié)構(gòu)件，其危險部位往往處于多軸疲勞應力(應變)狀態(tài)。多軸疲勞是指多向應力或應變作用下的疲勞，也稱復合疲勞。多軸疲勞損傷發(fā)生在多軸循環(huán)加載條件下，加載過程中有多個應力(應變)分量獨立地隨時間發(fā)生周期性變化。這些應力(應變)分量的變化可以是同相位、呈比例的，也可以是非同相、非比例的[1]。

早期對于多軸疲勞的研究主要針對恒幅加載，并提出了許多比較有效的多軸疲勞壽命預測模型[2-4]。近些年來，變幅載荷下的多軸疲勞研究取得了較大的進展[5-8]，并對其工程應用也開展了一些研究[9-12]。變幅多軸疲勞壽命分析方法一般包含循環(huán)計數(shù)法、疲勞損傷模型及累積損傷準則，其中循環(huán)計數(shù)法和疲勞損傷模型是變幅多軸疲勞壽命分析方法的核心問題。單軸變幅疲勞中通常采用雨流計數(shù)法[13]將復雜載荷處理為簡單載荷，并結(jié)合應力(應變)-壽命曲線進行損傷計算。在多軸變幅載荷下，各應力(應變)分量均會對疲勞損傷產(chǎn)生影響，而應力(應變)主軸隨時間不斷變化導致?lián)p傷的確定更加困難[1,4-5]。此外，多個應力(應變)分量之間存在相位差導致峰谷值不同時出現(xiàn)，使得循環(huán)計數(shù)方法更加復雜。對此，不同的學者提出了不同的壽命預測方法，如積分法[14]、能量法[15]、增量損傷法[16]和臨界平面法等，其中臨界平面法是分析多軸疲勞壽命較為有效的方法。Socie[4]、Bannantine[17]等提出對不同平面上的應力(應變)-時間歷程進行循環(huán)計數(shù)，并將承受最大損傷的平面作為臨界面，采用修正的Smith-Watson-Topper損傷模型進行損傷計算，該方法臨界面的確定需要對所有可能失效的平面進行損傷計算。Wang和Brown[18-19]提出了一個基于等效應變的循環(huán)計數(shù)法，根據(jù)等效應變-時間歷程依次計數(shù)，并提出了相應的損傷模型，該方法采用等效應變計數(shù)，在某種程度上造成了應力應變符號的丟失。Shang和Wang等[20]以臨界面上的剪應變?yōu)橹饔嫈?shù)通道，采用雨流計數(shù)法進行循環(huán)計數(shù)，根據(jù)得到的剪應變?nèi)h(huán)，取該全循環(huán)下最大剪應變折返點之間的正應變的變化范圍作為一對循環(huán)計數(shù)結(jié)果。此外，Shang和Wang[21]提出了一種統(tǒng)一型多軸疲勞損傷模型進行損傷計算。王雷-王德俊方法[22-23]同樣以臨界面上的剪應變?yōu)橹饔嫈?shù)通道，在得到剪應變循環(huán)后，取每個剪應變?nèi)h(huán)對應的正應變最大變程，以此作為一對計數(shù)結(jié)果，但王雷和王德俊未提出相應的疲勞損傷模型，而是使用了Shang-Wang提出的統(tǒng)一型多軸疲勞損傷模型[23]，該方法對316L不銹鋼的預測結(jié)果偏保守。此外，還有許多基于臨界面法的壽命分析方法的提出[5,20,24]。如包名等[24]基于von Mises等效應變等效應力概念、符號修正公式以及傳統(tǒng)的單軸雨流計數(shù)法提出了一種多軸隨機載荷下的循環(huán)計數(shù)法；Meggiolaro[25]、Chen和Shang[26]等都對Wang-Brown方法進行了修正。目前工程中應用較為廣泛的主要是Bannantine-Socie方法和Wang-Brown方法。

本文對3種基于臨界平面法的變幅多軸疲勞壽命分析方法進行了編程實現(xiàn)，并針對飛機上某結(jié)構(gòu)危險部位的應力(應變)-時間歷程，采用3種多軸疲勞壽命分析方法和單軸的Manson-Coffin方程[13]進行了壽命分析。對預測結(jié)果進行對比分析，研究變幅多軸疲勞壽命分析方法在飛機結(jié)構(gòu)中的適用性。

1 變幅多軸疲勞壽命分析方法

變幅多軸疲勞壽命分析方法一般包含3個步驟：首先進行多軸載荷下的循環(huán)計數(shù)，將復雜載荷簡化為簡單的循環(huán)載荷；其次采用疲勞損傷模型對每個循環(huán)進行疲勞損傷計算；最后基于累積損傷理論對多軸疲勞壽命進行預測[4]。其中循環(huán)計數(shù)法和疲勞損傷模型是變幅多軸疲勞壽命分析方法的核心問題。

1.1 Bannantine-Socie方法

Bannantine-Socie方法是一種比較早的方法，其包含循環(huán)計數(shù)法和疲勞損傷模型2個部分。其中循環(huán)計數(shù)法是基于臨界面原理提出的一種計數(shù)方法。該計數(shù)方法認為疲勞破壞發(fā)生在最大損傷平面上，并將最大損傷平面作為臨界面，計算臨界面上的應變-時間歷程，采用雨流計數(shù)法對該平面上的應變進行循環(huán)計數(shù)，得到簡單循環(huán)。疲勞損傷模型由Smith-Watson-Topper損傷模型推廣得到，提出以最大正應變幅平面上的正應變變程和當前循環(huán)中的最大法向應力的乘積作為多軸疲勞損傷參量，所建立的多軸疲勞損傷模型為

(1)

1.2 Wang-Brown方法

Wang-Brown方法同樣包含循環(huán)計數(shù)法和疲勞損傷模型兩部分。其中循環(huán)計數(shù)法基于相對等效應變的概念，因此也稱為相對等效應變計數(shù)法。通過該方法，可將隨機加載的多軸應變-時間歷程折合成一個相對等效應變的時間歷程，之后對該相對等效應變進行計數(shù)?；静襟E如下：

1) 對于多軸疲勞加載應變歷程εij(t)、應力歷程σij(t)，計算von Mises等效應變εeq(t)為

(2)

式中：ν′為有效泊松比；ε11、ε22和ε33為3個正應變大小；γ12、γ13和γ23為3個切應變大小。

(3)

記錄此時相對等效應變由0點到最高點所對應的加載歷程起始點和終止點為一個循環(huán)。

3) 對剩下的等效應變-時間歷程重復上述步驟，直到記錄下所有的循環(huán)為止。

Wang-Brown方法根據(jù)所提出的多軸循環(huán)計數(shù)方法，提出壽命預測模型：

(4)

式中：Δγmax為一個加載歷程中的剪應變增量；Δεn為從起點至終點的連續(xù)歷程區(qū)間中最大剪應變平面上的正應變變化量；S為材料常數(shù)(鋼材料通常取1.5～2.0，對于6061-T6鋁合金材料[27]其值約為1.0)，可由多軸疲勞試驗測得；σn,mean為最大剪應變平面上的平均法向應力。

1.3 王雷-王德俊方法

王雷和王德俊[22-23]提出了一種多軸循環(huán)計數(shù)法，采用統(tǒng)一型多軸疲勞損傷模型進行損傷折算。王雷和王德俊[22-23]所提出的循環(huán)計數(shù)法基于臨界平面法，認為多軸疲勞破壞的主要原因是臨界剪切面上的交變剪應力，同時垂直于該平面的正應力對疲勞損傷也有貢獻。該循環(huán)計數(shù)法認為剪應變2個半循環(huán)的物理意義相同，不區(qū)分加載半循環(huán)和卸載半循環(huán)，其處理過程主要為根據(jù)某點的應變-時間歷程計算臨界平面上的剪應變、正應變時間歷程，對剪應變進行雨流法循環(huán)計數(shù)，對應得到剪應變的全循環(huán)和折返點信息，提取每個全循環(huán)中剪應變折返點對應的正應變最大變程，以此作為一次循環(huán)計數(shù)。

臨界面采用權(quán)值平均最大剪應變平面為臨界面，該臨界面的確定如下：

1) 對于最大剪應變序列中的有效峰值點γmax(ti)，其所在平面的法向單位向量為pi。

2) 利用式(5)計算權(quán)值。

(5)

式中：τ-1為剪切疲勞極限；G為剪切模量；Di為相應剪應變下的損傷值(采用Manson-Coffin方程計算)；k可以取0.3。對應的該時刻的加權(quán)值，用矢量來表示為

w(ti)=wipi

(6)

可以看到在權(quán)值計算公式中，忽略了較小的剪應變值造成的損傷。

3) 對于計算得到各時刻的加權(quán)矢量進行疊加，最終得到的方向矢量單位化即為臨界平面的法方向。

(7)

王雷-王德俊方法未提出相應的多軸疲勞損傷模型，采用Shang和Wang提出的統(tǒng)一性多軸疲勞損傷模型[21]進行損傷計算。該模型提出一個與加載路徑無關(guān)的多軸疲勞損傷參量(式(8))，基于該損傷參量，提出的壽命預測模型如式(9)所示。

(8)

(9)

對于以上3類變幅多軸疲勞壽命分析方法，得到各循環(huán)的損傷后采用Minner線性累積損傷準則進行最終的壽命預測。

2 壽命預測分析

2.1 編程實現(xiàn)

對于第1節(jié)中的3種變幅多軸疲勞壽命分析方法，主要包括5個步驟：

1) 確定臨界面。

2) 計算臨界面上的應變-時間歷程。

3) 對應變-時間歷程循環(huán)計數(shù)。

4) 計算每個循環(huán)下的損傷。

5) 采用累積損傷準則計算最終的疲勞壽命。

在編程實現(xiàn)過程中，臨界面的確定和循環(huán)計數(shù)法是核心問題。而循環(huán)計數(shù)法的核心即雨流計數(shù)法，計數(shù)法的流程參照文獻[9]中的流程進行編程，此處不再贅述。

3種方法中，Bannantine-Socie方法需要計算臨界面上的正應變和正應力；Wang-Brown方法需要計算最大剪應變，正應變及正應力；王雷-王德俊方法需要計算應變-時間歷程中的最大剪應變值及其方向。

Bannantine-Socie方法需要通過計算所有平面上的損傷來確定最大損傷面。在三維直角坐標體系下，任意平面的法向向量與3個坐標軸的夾角分別為θ、φ及ξ，則該平面的單位法向向量為

l=(cosθ,cosφ,cosξ)

(10)

根據(jù)幾何關(guān)系可知：

(11)

對于給定的某點的三向應變狀態(tài)εij，在該點處任意平面上的正應變?yōu)?/p>

εn=lεijlT

(12)

因此，處于三向應變狀態(tài)的某點處任意方向平面上正應變都可以由2個參數(shù)θ、φ來確定，且θ、φ的變化范圍為0～π?？梢杂上蛄縧確定平面方向后，計算該方向上的應變、應力時間歷程，進行循環(huán)計數(shù)，并計算損傷。Bannantine-Socie方法流程如圖1所示，對θ、φ每隔5°進行一次計算，共得到1 296個平面上的損傷值，取所有平面中最大的損傷值作為最終的預測結(jié)果。圖1中θ或φ每增加5°則i的值加1，因此不同的i值對應不同的平面方向，D(i)表示該平面上的損傷。

Wang-Brown方法基于等效應變計數(shù)，對于一對計數(shù)結(jié)果，需要計算最大剪應變變程所在的平面。然而在變幅多軸加載歷程中，任意平面上的剪應變歷程大小和方向都發(fā)生變化。因此，需要分別計算任意平面上所有方向的剪應變，確定最大的剪應變變程。對于一點處任意平面，假設(shè)其方向為l，建立直角坐標系，設(shè)單位向量n2，n3位于該平面上且互相垂直，如圖2所示。

對于該平面上任意方向的單位向量可以由式(13)表示，由l和m即可計算得到該平面上與向量m方向一致的剪應變，變換α的值即可計算任意方向上的剪應變γn，如式(14)所示。

m=n2cosα+n3sinα

(13)

γn=2n1εijmT

(14)

Wang-Brown方法對于一對計數(shù)結(jié)果，其造成的損傷計算流程圖如圖3所示，同樣θ、φ以5°作為增量。在圖3中，θ每增加5°則i的值加1，φ每增加5°則j的值加1。對于一個固定的平面(θ，φ不變)，需要計算該平面上最大剪應變，α每增加5°則k的值加1。以D(i,j,k)表示每次計算得到的損傷，最后取D(i,j,k)中最大值作為最終的損傷值。

王雷-王德俊方法臨界面的確定需要計算最大剪應變平面的方向。對于三維應變狀態(tài)下的最大剪應變采用如下公式計算：

圖3 Wang-Brown方法流程圖Fig.3 Flowchart of Wang-Brown method

γmax=ε1-ε3

(15)

式中：ε1和ε3分別為第一主應變和第三主應變。主應變采用特征方程求解：

|εij-λδij|=0

(16)

其中：δij為單位矩陣;λ為特征值。式(16)對應的3個特征值即為3個主應變，3個特征向量為3個主應變的方向。設(shè)3個主應變ε1>ε2>ε3對應的方向向量分別為q1、q2和q3，則最大剪應變平面方向的單位向量r可以表示為

(17)

通過計算最大剪應變值及其方向，可以得到權(quán)值最大平均應變平面，確定王雷-王德俊方法的臨界面方向，之后同樣采用式(13)、式(14)對臨界面上任意方向的剪應變歷程進行計算，循環(huán)計數(shù)并確定損傷最大的方向。王雷-王德俊方法流程圖如圖4所示，α每增加5°則i的值加1，D(i)表示對應不同i值的損傷，共計算36次損傷，取損傷最大的方向作為最終預測結(jié)果。

2.2 算 例

飛機某結(jié)構(gòu)在飛機服役過程中承受著隨機載荷作用。該結(jié)構(gòu)設(shè)計使用材料為7B04鋁合金材料，其基本力學性能如表1所示，其中σ0.2為屈服極限，σu為強度極限，ν為泊松比。

對于一個起落，載荷施加順序為：著陸起轉(zhuǎn)、著陸回彈、著陸振蕩、第2次著陸撞擊、著陸滑跑、中等剎車、最大剎車、著陸曲線滑行、轉(zhuǎn)彎、牽引、起飛曲線滑行、發(fā)動機試車及起飛滑跑。該結(jié)構(gòu)的設(shè)計載荷譜按著陸輕重程度的不同分為A、B、C和D 4個類型，以20個起落為一個加載循環(huán)譜塊，對應20個飛行小時，載荷譜的排列順序如表2所示。

圖4 王雷-王德俊方法流程圖Fig.4 Flowchart of Wang L-Wang D J method

力學性能數(shù) 值E/GPa 70σ0.2/MPa449σu/MPa490ν0.3σ′f/MPa916b-0.0803ε′f0.2316c-0.8734

對該結(jié)構(gòu)進行有限元分析，得到該結(jié)構(gòu)危險部位如圖5所示。對于不同類型的起落，該危險部位的6個應變分量及應力分量的時間歷程如圖6、圖7所示。其中：s11、s22、s33分別為3個正應力分量大??；s12、s23、s13分別為3個切應力分量大小。

分別采用上述3種變幅多軸疲勞壽命分析方法對該結(jié)構(gòu)危險部位進行壽命預測。同時，為了比較多軸載荷對結(jié)構(gòu)件疲勞壽命的影響，采用單軸低周疲勞的Manson-Coffin方程對結(jié)構(gòu)件進行壽命預測。Manson-Coffin方程描述應變-壽命曲線的公式為

(18)

表2 飛機某結(jié)構(gòu)危險部位載荷譜排列順序

圖5 結(jié)構(gòu)的應力云圖及危險部位Fig.5 Stress contour and critical site of structure

圖6 飛機某結(jié)構(gòu)危險部位承受的應變-時間歷程Fig.6 Strain-time history of an aircraft structure’s dangerous part

圖7 飛機某結(jié)構(gòu)危險部位承受的應力-時間歷程Fig.7 Stress-time history of an aircraft structure’s dangerous part

使用Manson-Coffin方程進行壽命預測時，針對結(jié)構(gòu)危險部位的應變-時間歷程編程實現(xiàn)，主要分以下4個步驟：

1) 分別計算不同平面上的正應變時間歷程，平面方向同樣由包含θ、φ的向量表示。

2) 對所有平面上的正應變時間歷程進行雨流計數(shù)得到各平面上的正應變循環(huán)。

3) 采用Manson-Coffin方程分別對所有平面上每個循環(huán)進行損傷計算，采用Minner線性累積損傷準則計算每個平面的壽命。

4) 取所有平面中最短的壽命為最終的壽命預測結(jié)果。

4種不同的壽命預測方法的預測結(jié)果如表3所示。

文獻[28]中給出了殲8Ⅰ型、殲8Ⅱ型及殲8白天型飛機結(jié)構(gòu)相關(guān)部位的首翻期大約是1 500～1 800飛行起落，修理間隔為1 350～1 500飛行起落，總壽命約3 900～4 500飛行起落。

若以殲8各型號飛機相關(guān)部位的首翻期壽命為參照，Wang-Brown方法中當系數(shù)S取1.0～1.5之間時，壽命預測結(jié)果較為合理；王雷-王德俊方法的預測結(jié)果則會偏于保守；而Bannantine-Socie方法預測結(jié)果較其他2種方法偏大，這是因為該方法雖然以最大損傷平面作為臨界面，但其損傷模型形式導致在最大損傷平面上其忽略了剪應變對疲勞損傷的影響。此外，若采用單軸疲勞壽命分析方法(Manson-Coffin方程)來預測承受多軸載荷的結(jié)構(gòu)件，計算得到的疲勞破壞壽命遠大于多軸計算模型所預測的結(jié)果。

表3 各方法疲勞壽命預測結(jié)果

3 結(jié) 論

針對常用的3種變幅多軸疲勞壽命預測方法進行編程實現(xiàn)，并通過對承受多軸疲勞載荷的飛機某結(jié)構(gòu)危險部位進行壽命預測發(fā)現(xiàn)：

1) 采用單軸疲勞壽命分析方法(Manson-Coffin方程)對其進行壽命分析會有較大的誤差。

2) Wang-Brown方法中,當系數(shù)S取1.0～1.5之間時，壽命預測結(jié)果較為合理；王雷-王德俊方法的預測結(jié)果則會偏于保守；而Bannantine-Socie方法預測結(jié)果較其他2種模型偏大。

3) Bannantine-Socie方法預測結(jié)果之所以偏大是因為較其他2種方法，該方法忽略了某些循環(huán)存在的剪應變對疲勞損傷的影響，導致預測結(jié)果偏大。