陽喜成，師 蔚

(上海工程技術大學,上海 201600)

0 引 言

在永磁電機中由于電機齒槽的存在，定子磁動勢的非正弦分布及定子繞組相電流有高次諧波等各種因素的影響，從而會在氣隙磁場中產生空間和時間諧波分量，這些諧波成分會在轉子永磁體產生渦流損耗[1-2]。在一些高密度永磁電機中轉子的散熱條件苛刻，溫度損耗會導致永磁體有較大的溫升，嚴重時將導致永磁體的不可逆退磁，影響電機的正常工作[3-4]。

在永磁電機永磁體渦流損耗的研究中，主要有解析法、二維及三維有限元法。文獻[5-7]給出了考慮槽口效應的永磁體渦流損耗解析計算方法，但是均無考慮相電流引起的時間諧波對永磁體渦流損耗的影響。文獻[8]通過二維有限元法分別求解了空載和負載時永磁體內的渦流損耗。文獻[9]利用二維有限方法得到了一個考慮開槽效應的永磁體渦流損耗分析模型。然而二維有限元方法計算永磁體渦流損耗時無法考慮永磁體渦流損耗軸向分布的不均勻。為了改善二維有限元法的缺點，文獻[10-11]利用三維有限元法對永磁體的渦流損耗進行研究，克服了二維有限元法無法計及軸向不均的問題，提高了計算精度，但三維有限元法計算時間隨電機體積的增大而變長。本文針對永磁同步電機永磁體渦流損耗，研究了一種基于圖像理論的三維解析法，此方法同時考慮空間諧波和時間諧波，能夠快速準確地計算得到永磁體的渦流損耗值，既能保證精度，又能節(jié)約大量的時間。最后，通過建立三維有限元電機模型對本方法進行驗證。

1 渦流源圖像理論

根據法拉第電磁定律，給定時刻磁體中的渦流密度J取決于磁通密度B隨時間的變化率，可以看作是由S表示的源分布[12]，關系式可表示：

×J=σS

(1)

×A=J

(2)

2A=-σS

(3)

如圖1所示的永磁體，x表示切向方向，y表示徑向方向，z表示軸向方向，磁體在3個方向上的尺寸分別l,b,h。溫度場由二維時變磁場引起，通過忽略任何曲率效應，磁體近似為矩形。磁通密度具有與z分量無關的x分量和y分量,因此，源矢量S僅具有兩個分量Sx和Sy。

圖1永磁體渦流場示意圖

為了將永磁體三維渦流場與永磁體6個邊界面相結合，渦流場激勵源S1(x,y,z) 位于永磁體內部，如圖2所示。原始源和映射圖像源的圖案將被擴展到無限三維空間，圖像分別分布在x,y和z方向，3個矢量分量具有相同的幅度，方向垂直于邊界平面的矢量分量將具有與源相同的符號，另外2個矢量分量具有與源相反的符號。然而，如果磁場是二維的，則只需要考慮2個分量。由原始源和7個圖像組合的圖像首先經過右xz平面反射、再經過上yz平面反射及最后經過前xy平面反射形成第一反射組合源，在0

圖2以永磁體6個邊界面為邊界條件時的圖像源分布

(4)

式中：Kx=+i-j;Ky=-i+j;Kz=-i-j；r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8分別為原始源和各個映射源在三維坐標系中所處位置的域空間。

r1：0

r2：0

r3：l

r4：l

r5：0

r6：0

r7：l

r8：l

原始源和邊界條件在6個平面的組合效應最終得到的等效源S3-D(x,y,z,t)以三維周期形式表示：

(5)

由原始源和邊界條件在6個平面組合效應的數學表達式可知，永磁體內的渦流源分布可以進行三維傅里葉分解，得到渦流場信息的三維空間分布，進而可以得到考慮空間諧波的永磁體渦流損耗數學模型。

2 渦流損耗數學模型

2.1 考慮空間諧波時渦流損耗數學模型

采用時間步進的二維有限元分析方法，可以得到轉子磁體中的磁飽和，開槽和空間諧波的渦流源分布，進而可以通過以下形式的三維傅里葉級數展開為三維空間：

(6)

(7)

式中：m,n,k分別是x,y,z方向的諧波階數，渦流源系數a(m,n,k)和c(m,n,k)通過對渦流源進行三維傅里葉分解得到。三維傅里葉變換是建立在永磁體的邊界條件和×A=0的基礎上。式(6)和(7)意味著磁體內的源分布在三維空間中周期性地重復，由滿足式(3)泊松分布的式(6)及式(7)可以得到電流矢量勢切向分量Ax和徑向分量Ay的分布如下：

(8)

(9)

式中：d(m,n,k)和e(m,n,k)是與(m,n,k)次諧波有關的矢量電勢系數。根據式(2)可以得到渦電流密度的切向分量Jx徑向分量Jy以及軸向分量Jz如下：

(10)

(11)

(12)

式中：系數h(m,n,k)，q(m,n,k)，p(m,n,k)分別為x，y，z方向上的渦流密度系數，可以根據a(m,n,k)和c(m,n,k)推導出來。

根據渦流分布，給定時刻空間諧波產生的總渦流損耗就是與每個諧波分量相關的損耗之和：

p3(m,n,k) +p4(m,n,k) +p5(m,n,k)]

(13)

式中：p1～p5為永磁體尺寸和所有諧波階數的算術函數，表示永磁體總渦流損耗。

p1(m,n,k) =c2(m,n,k)·

p2(m,n,k) =a2(m,n,k)·

p3(m,n,k) =c2(m,n,k)·

p4(m,n,k) =a2(m,n,k)·

2.2 考慮時間諧波時渦流損耗數學模型

除了定子開槽等產生的空間諧波會在永磁體上感應出渦流效應，電機激勵源輸入的PWM波相電流也會在永磁體上感應出渦流損耗。某特定頻率下單位體積永磁體的渦流損耗數學模型可表示[13]：

(14)

(15)

式(13)和式(15)分別是考慮空間諧波和時間諧波的永磁體渦流損耗數學模型。因此，同時考慮空間諧波和時間諧波的總渦流損耗數學模型：

p3(m,n,k) +p4(m,n,k) +p5(m,n,k) ]+

(16)

3 計算分析

3.1 永磁電機參數

將上述的三維解析法應用于一臺90 kW,48槽8極的內置式永磁電機，用于計算轉子永磁體上的渦流損耗，原型電機的參數和材料屬性如表1所示，電機模型如圖3所示。

表1 電機基本數據

圖3永磁電機模型

3.2 二維有限元法提取渦流場信息

通過采用廣義圖像理論分析，給定時刻磁體中的渦流密度J取決于磁通密度B隨時間變化率的原始源S1(x,y,t)和邊界條件的組合效應可以由S3-D(x,y,z,t) 表示，其在x,y和z向上是周期的。

為了能夠得到原始源S1(x,y,t)的信息，需要在永磁體上構建網格來提取磁密值形成磁密矩陣，矩陣中的磁密值應該對應于連接到磁體的x-y坐標給定位置處的源?？紤]到電機在圓周方向的對稱性，可以僅在電機一極的永磁體上進行手動劃分后構建網格，網格上的每個交點都會形成渦流場信息的x和y坐標。x方向和y方向的離散數量決定了渦流分布的準確性，離散的數量越多,則渦流場分布的準確度越高。

然而，由于捕獲的磁通密度值(Bx1和By1)是在初始轉子位置處附著于磁體的靜態(tài)(x1和y1)坐標系中提到的, 因此需對這些值進行變換，確保渦流源(Sx1=-?Bx1/?t和Sy1=-?By1/?t)在轉子坐標系中被引用。從而，相對于在時間t附著于永磁體的旋轉坐標系(xr1和yr1)的角位置ωt處的通量密度值(Bxr1和Byr1)可以表示：

Bxr1=Bx1cos(ωt)-By1sin(ωt)

(17)

Byr1=Bx1sin(ωt)+By1cos(ωt)

(18)

渦流源(Sx，Sy)可以通過二維有限元法在兩個連續(xù)時間間隔得到的磁通密度值來獲取，再通過分別對Sx和Sy進行三維傅里葉變換，可以得到渦流源系數a(m,n,k)和c(m,n,k)，其中，m,n,k分別是x,y,z方向的諧波階數。

3.3 PWM波電流

為了考慮時間諧波對永磁體渦流損耗的影響，采用從現場測試實驗輸入永磁電機的PWM波進行計算，電流波形如圖4所示。

圖4PWM波相電流波形圖

因此，得到了同時考慮空間諧波因素和時間諧波因素的永磁體渦流損耗。

3.4 有限元法與解析法結果比較

永磁電機分別運行在額定工況和峰值工況下，利用有限元軟件對電機不同轉速的永磁體渦流損耗進行仿真計算。表2比較了兩種方法在不同工況不同轉速下的渦流損耗值，從表2中可以看出，有限元結果與解析法結果之間具有良好的一致性。因此，上述所提出的基于圖像理論三維解析法具有較高的精度，同時，由于解析法是利用二維模型提取的渦流信息，并且計算過程都是在MATLAB軟件中進行，能夠快速地得到想要的結果，所以在計算時間上相比較與三維有限元法具有一定的優(yōu)勢，并且能夠保證精確度，由此可以證明此方法的準確性及可行性。

表2 有限元法與解析法結果對比

4 結 語

本文基于三維渦流場圖像理論，研究了一種可有效計算內置式永磁體電機永磁體渦流損耗的三維解析方法。這種方法考慮開槽效應，磁體內部的徑向和切向場變化以及不同源諧波的相互作用，同時，也考慮定子相電流的高次諧波的影響。由于它是采用二維有限元法來提取電機的磁通密度值，所以本文的三維解析法考慮了電機的磁飽和效應。并將此方法運用到一臺8極48槽的內置式永磁體電機永磁體的渦流損耗分析上，最后通過有限元軟件建立電機的三維模型對其進行驗證，證明該方法具有較高的精確度及可行性。