湖北省陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué) (郵編：435200)

這是2017年沙特阿拉伯JBMO的一道不等式，左邊有根號(hào)而右邊沒(méi)有，因此將左邊根號(hào)去掉是解題的關(guān)鍵.下面介紹兩個(gè)漂亮證法與讀者分享.

對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y，我們有x2+y2≥2xy，則2(x2+y2)≥(x+y)2，

于是

所以(ab+bc+ca-1)+(a+b+c-1)≥a+b+c+1，

評(píng)注本解法根據(jù)四川熊昌進(jìn)老師在《愛(ài)數(shù)集合》群里交流的解法整理而成.本解法首先根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造復(fù)數(shù)，然后通過(guò)復(fù)數(shù)運(yùn)算和模的性質(zhì)，將所證不等式左邊根號(hào)內(nèi)的式子恒等變形為平方和的形式，接著用重要不等式的變式(即均值不等式)去掉根號(hào)，最后用三元均值不等式獲得證明.

證法2由a,b,c>0且abc=1及柯西不等式得

評(píng)注本解法根據(jù)深圳王揚(yáng)老師和浙江張艷宗老師在《愛(ài)數(shù)集合》群里的交流思路和解法整理而成.本解法靈活巧妙，首先將左邊根號(hào)內(nèi)的三個(gè)因式的積，通過(guò)重組變?yōu)閮蓚€(gè)四項(xiàng)平方和的積，繼而用柯西不等式一舉獲得證明，解法簡(jiǎn)潔流暢一氣呵成.