王玉亮，張曉紅，曾建潮,2

(1.太原科技大學(xué) 工業(yè)與系統(tǒng)工程研究所，太原 030024；2.中北大學(xué) 計算機與控制工程學(xué)院，太原 030051)

目前，多數(shù)維修決策研究都是將基于TBM建模理論或者基于CBM建模理論與機會維修相結(jié)合的維修策略。機會維修策略是指在系統(tǒng)中的某個部件失效或者需要進行維修的同時對即將失效的某些個部件同時進行維修。Bergman[1]最先針對兩相同部件提出了機會更換策略。文獻[2-3]研究了將TBM與機會維修相結(jié)合的維修策略，其中文獻[4-5]研究了在系統(tǒng)預(yù)防性維修之前發(fā)生故障時采用最小維修與機會維修相結(jié)合的維修策略。文獻[6-9]將CBM與機會維修相結(jié)合建立了視情機會維修模型，并且最后尋求一種優(yōu)化算法得到使得系統(tǒng)成本最低的狀態(tài)閾值。高坤等[10]研究了基于CBM的軋輥維修策略的與備件庫存的聯(lián)合優(yōu)化問題。

然而，此類文獻并未給出統(tǒng)一的建模方法，對于一個嶄新的多部件系統(tǒng)需要重新進行建模研究，既費時又費力。2015年，張曉紅和曾建潮針對由多個相同[11]/不相同[12]的部件組成的系統(tǒng)，提出了一種多部件系統(tǒng)通用的狀態(tài)空間劃分建模方法，研究了相同/不相同多部件系統(tǒng)的維修優(yōu)化問題。但文獻[11]和文獻[12]中考慮了退化增量分布建模的CBM決策模型。

本文將退化狀態(tài)空間劃分方法應(yīng)用到多部件系統(tǒng)聯(lián)合壽命空間的建模研究中，針對多部件系統(tǒng)提出了年齡機會更換策略，對任意M部件系統(tǒng)的聯(lián)合壽命空間進行統(tǒng)一的劃分與建模，然后，以兩部件系統(tǒng)為例，研究了系統(tǒng)的基于TBM的維修優(yōu)化決策問題。

1 系統(tǒng)的特征描述及假設(shè)

1)系統(tǒng)在每次需要維修時，只需要花費一次固定的費用Cset，只與維修的次數(shù)有關(guān)；

假設(shè)系統(tǒng)的單位時間停機成本為Cd.

2 聯(lián)合壽命空間劃分與建模

圖1 單部件系統(tǒng)的壽命空間劃分
Fig.1 Lifetime space partition of single-unit systems

圖2 兩部件系統(tǒng)的壽命空間劃分
Fig.2 Lifetime space partition of two-unit systems

3 聯(lián)合壽命分布

3.1 聯(lián)合壽命分布的定義

單部件系統(tǒng)的維修更換過程是全更新過程，然而，在多部件系統(tǒng)中，經(jīng)歷一次維修之后，系統(tǒng)中部分或是全部部件恢復(fù)到初始狀態(tài)，遵循半更新特性。因此，借助系統(tǒng)的半更新特性，推導(dǎo)系統(tǒng)聯(lián)合壽命的穩(wěn)態(tài)聯(lián)合概率密度函數(shù)。

設(shè)部件i的壽命Ti～fi(t)，遍歷整個壽命空間，下面以兩部件系統(tǒng)為例分析求解系統(tǒng)任意兩次更換活動之間的穩(wěn)態(tài)聯(lián)合壽命分布g(t1,t2).

系統(tǒng)第k-1次更換前的壽命向量為tk-1=(τ1,τ2)，更換后壽命向量為tk-1'=(τ1',τ2')，運行一個半更新周期后的壽命向量為tk=(t1,t2).根據(jù)所定義的年齡機會更換維修策略，第k-1次的系統(tǒng)更新情況的分析如下：

(1)更換系統(tǒng)中的全部部件。更換維修后tk-1'=(0,0)，若用R12表示兩部件全部更換的事件：

(1)

(2)只更換系統(tǒng)中的部件1，在經(jīng)歷了維修后系統(tǒng)的壽命向量為tk-1'=(0,τ2).用R1表示在第k-1次更換時只對部件1進行預(yù)防性更換的事件，分以下兩種情況分別討論：

總之，事件R1發(fā)生的概率可以表示為式所示：

(2)

該情況所發(fā)生的概率可表示為式所示：

(3)

綜上，系統(tǒng)在發(fā)生第k次更換前系統(tǒng)的壽命向量為Tk=(t1,t2)的概率可表示為式：

g(t1,t2)=

(4)

3.2 穩(wěn)態(tài)聯(lián)合壽命分布的求解

根據(jù)兩部件系統(tǒng)的壽命空間劃分方法可得到式所示的關(guān)系：

(5)

將式所示的關(guān)系、式所示的全概率公式和式中的正交近似數(shù)值求解規(guī)則相結(jié)合，可以得到式:

(6)

要求解的兩部件系統(tǒng)的聯(lián)合穩(wěn)態(tài)壽命分布函數(shù)可用向量形式Gimax×imax=(G1,G2,…Gi,Gmax)'表示，其中矩陣Gi是一個1行imax列的向量，并且每個可以表示為Gi=(g(ih1,h2),g(ih1,2h2)…,g(ih1,jh2),…g(ih1,imaxh2))，式可改寫為式所示的向量的形式：

G+K1G+K2G+K3G-K4G-K5G=b?

(I+K1+K2+K3-K4-K5)G=b

(8)

利用MATLAB數(shù)值實驗所求得的式中矩陣G即為本節(jié)中所定義的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)g(t1,t2)的數(shù)值近似解。

4 費用率模型

4.1 模型的建立

1960年，Barlow和Hunter[13]定義了長期時間內(nèi)的平均費用率：

(9)

其中E(T)表示的是系統(tǒng)的半更新周期的期望，E(C(T))表示的是系統(tǒng)全部維修活動所產(chǎn)生的總成本的期望。一個半更新周期T應(yīng)該包括兩次維修之間的系統(tǒng)運行時間T'和維修停機時間D兩部分。即：

E(T)=E(T')+E(D)

(10)

在系統(tǒng)的任意的時刻全部的維修活動以及其發(fā)生的概率和產(chǎn)生的成本如下：

(1)系統(tǒng)中只有一個部件進行更換產(chǎn)生的成本：

(2)系統(tǒng)中有兩個部件同時進行更換產(chǎn)生的成本：

(3)系統(tǒng)中最小維修的成本：

根據(jù)制定的維修策略，若部件在系統(tǒng)更換時刻之前發(fā)生了故障需要對其進行最小維修，只產(chǎn)生最小維修的費用，因此，在每一個半更新周期內(nèi)小修的次數(shù)計算如下：

綜合以上分析，系統(tǒng)的維修成本的平均期望為式：

E(C(T))=

(12)

系統(tǒng)的平均維修停機時間可表示為：

(13)

系統(tǒng)的運行時間的期望是

其中

綜合以上的分析，系統(tǒng)的費用率模型可表示為式的帶約束的數(shù)學(xué)優(yōu)化問題：

(14)

4.2 模型的求解及數(shù)值實驗

式是一個含有約束函數(shù)的優(yōu)化模型不能通過簡單的數(shù)學(xué)解析法求得最終的最優(yōu)解。遺傳算法是一種全局優(yōu)化算法，因此，本文采用遺傳算法進行尋求最優(yōu)解。

為了驗證本文提出方法的有效性和正確性，取文獻[14]中某風(fēng)場變槳系統(tǒng)關(guān)鍵部件進行驗證該方法的正確性：電氣滑環(huán)和元器件兩個部件，壽命分別服從參數(shù)β1=1.116，θ1=151.3908和β2=1.057，θ2=223.3989的威布爾分布。

(15)

其中β為形狀參數(shù)，θ為尺度參數(shù)。

圖3 預(yù)防性更換閾值對費用率目標(biāo)的影響
Fig.3 Effects of opportunistic maintenance thresholdson the expected cost per unit time

由圖3和圖4可知在更換閾值不斷變化的過程中，都存在一個使得系統(tǒng)費用率最小的極值點。由于部件1與部件2具有對稱性，可知部件1也存在一個使得系統(tǒng)費用率最小的極值點，因此，系統(tǒng)存在一個權(quán)衡點能夠使得系統(tǒng)的費用率最低。

圖4 機會更換閾值對費用率目標(biāo)的影響
Fig.4 Effects of opportunistic maintenance thresholdson the expected cost per unit time

圖5 遺傳算法一次示例進化優(yōu)化過程
Fig.5 An example of optimization result of GA

5 結(jié)束語

將退化狀態(tài)空間劃分方法應(yīng)用到多部件系統(tǒng)聯(lián)合壽命空間的劃分建模研究中，提出基于TBM的機會維修策略，以兩部件系統(tǒng)為例定義并推導(dǎo)了多部件系統(tǒng)的聯(lián)合壽命分布，給出了相應(yīng)地數(shù)值解法，以此為基礎(chǔ)，建立了系統(tǒng)長期的費用率模型，最后通過遺傳算法優(yōu)化求解得到最優(yōu)的更換維修閾值。

接下來可考慮更加符合實際的非完美維修的多部件系統(tǒng)的聯(lián)合壽命空間的劃分建模研究以及剩余壽命空間的劃分建模或者將本文的研究繼續(xù)深入到系統(tǒng)的維修備件庫存的內(nèi)容中去。