王涵

摘 要：極限的求法是高等數(shù)學(xué)中一個重要的部分，熟練掌握極限的求法可以解決數(shù)學(xué)中許多問題。洛必達法則是求極限的一個便捷的方法，其在數(shù)學(xué)極限中有著重要的作用，且在不同的極限類型中都可以很好的發(fā)揮其優(yōu)勢。本文通過將洛必達法則應(yīng)用到2種不同的典型極限問題中，得出了洛必達法則在不同極限類型下都具有很好的適用性。反之，本文也分析了洛必達法則在應(yīng)用過程中的適用條件，并且與其它方法結(jié)合在一起會產(chǎn)生更佳的效果。

關(guān)鍵詞：洛必達法則；數(shù)列極限；函數(shù)極限；適用條件

1 引言

極限是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個重要知識塊，其是數(shù)學(xué)分的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析之所以能夠解決許多初等數(shù)學(xué)中無法解決的問題（例如求解瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體的體積等問題），正是由于其采用了極限的無限逼近的思想方法，才可以得到相當(dāng)精確的計算答案[1]。高等數(shù)學(xué)中的極限主要分為函數(shù)極限與數(shù)列極限兩大類，這兩類極限在求解的過程當(dāng)中具有許多的相似性，并且洛必達法則都可以很便捷的解決這兩種問題。

洛必達法則是求解極限的一個有效工具，該法則的提出極大推進了數(shù)學(xué)領(lǐng)域中極限的研究，同時解決了數(shù)學(xué)問題中的許多問題。但是如果僅用洛必達法則求解極限，往往計算會比較繁瑣，有時還無法求解出結(jié)果。因此洛必達法則需要與其他方法互相結(jié)合，比如提前將非零極限的模塊提取出來以簡化計算、乘積因子用等價替換等等 [2] 。同時若直接用洛必達法則求極限而不對函數(shù)進行一定的處理則會陷入一個死胡同。因此在運用洛必達法則時，一定要考慮洛必達法則的適用條件，這樣才能準(zhǔn)確有效的得到問題的結(jié)果。

本文中分析了零比零（0/0）型極限和無窮大比無窮大（∞/∞）型極限，由于這兩種典型極限可能存在也可能不存在，因此我們把兩個無窮小量或兩個無窮大量之比的極限統(tǒng)稱為不等式極限[3]。因此不能對任何比式極限都按照洛必達法則求解，首先需要區(qū)分是不是不等式極限，其次注意其是否滿足洛必達法則的其它條件。在實際問題中，會存在各種形式的極限但是大部分都可以轉(zhuǎn)化為上述兩大類典型極限，因此在運用洛必達法則之前需要多函數(shù)的形式進行適當(dāng)?shù)奶幚怼?/p>

2 正文

2.1 無窮大（?。┝颗c導(dǎo)數(shù)

當(dāng)x趨向于x0的時候，函數(shù)f（x）的極限趨于無窮大，正無窮大或負(fù)無窮大時，都稱為無窮大量，數(shù)學(xué)表達式如下：

（1）

由此可以看出，無窮大量不是很大的數(shù)，而是具有非正常極限的函數(shù)，因此本文通過洛必達法則研究非正常極限。

當(dāng)x趨向于x0的時候，函數(shù)f（x）的極限趨于0，都稱為無窮小量，數(shù)學(xué)表達式如下：

（2）

基于此，可以得出任何兩個無窮小量的加減運算仍然是無窮小量，無窮小量與有界量的乘積也依舊是無窮小量。

洛必達法則的運用離不開求導(dǎo)的運算。導(dǎo)數(shù)是對于某一函數(shù)y=f（x），若其在x0點的領(lǐng)域內(nèi)有意義，且極限

（3）

存在，則上式為f（x）的導(dǎo)數(shù)，記為f（x）。

2.2 0/0型不等式極限

若自變量x趨向x0時，函數(shù)f（x）與g（x）都趨向于零，且該兩個函數(shù)在x0的去心領(lǐng)域內(nèi)都可導(dǎo)同時g（x）的導(dǎo)數(shù)不為0，則有如下等式成立：

（4）

上式中，f（x）與g（x）分別為f（x）與g（x）的一階導(dǎo)數(shù)。接下來，通過洛必達法則來求解如下0/0形式例題。

典例1：求解的極限。

當(dāng)x趨向于1時，分子和分母都趨向于0，并且分母的一階導(dǎo)數(shù)在x等于1處不為零，因此滿足洛必達法則的條件，計算過程如下：

（5）

2.3 ∞/∞型不等式極限

當(dāng)自變量x趨向x0時，函數(shù)f（x）與g（x）都趨向無窮大，該兩個函數(shù)在x0的去心領(lǐng)域內(nèi)都可導(dǎo)且g（x）的導(dǎo)數(shù)不為0，則有如下等式成立：

（6）

典例2：求解極限

當(dāng)x趨向于無窮大時，分子和分母都趨向于無窮大，并且分母的一階導(dǎo)數(shù)在x趨于無窮是不為零，因此滿足洛必達法則的條件，計算過程如下：

（7）

典例3：求解極限

在此問題中可以看出是兩個項的乘積，不是典型的0/0或∞/∞的形式，因此需要對此多項式進行變型，變成∞/∞的形式，計算過程如下：

（8）

在運用洛必達法則求解問題時往往會遇到許多問題，往往單獨運用洛必達法則求解不出極限。因此通常情況下洛必達法則需要與變量的等價條件結(jié)合放在一起使用會產(chǎn)生更好的效果。

3 結(jié)果與討論

綜上可以得出，洛必達法則在極限領(lǐng)域的應(yīng)用特別廣泛，并且可以很便宜的求解出極限的結(jié)果。本文將極限問題總結(jié)為了兩類大的不等式極限，并且通過典例證明了洛必達法則的適用性，別的類型極限都可以進過一系列變換轉(zhuǎn)化為0/0或∞/∞的經(jīng)典形式進行求解。本文也總結(jié)出了洛必達法則的適用條件，當(dāng)極限轉(zhuǎn)化為典型類型且滿足使用條件之后，可以通過洛必達法則簡便的求解出極限，有時通過一次洛必達法則無法直接求出極限，則需要多次使用洛必達法則，最終求出極限。