吳啟霞

[摘 要]數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一.概念是考查數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要載體，解析幾何是整個高中數(shù)學(xué)中難度最大、考核要求最綜合的模塊之一，解析幾何概念教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的有效途徑.基于此，以解析幾何概念教學(xué)為例，從概念的引入、概念的理解、概念的鞏固、概念的系統(tǒng)化等方面談?wù)勅绾卧诟拍罱虒W(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；解析幾何；概念教學(xué)

[中圖分類號] G633.6 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）20-0019-02

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：“高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析等六大核心素養(yǎng).”核心素養(yǎng)一經(jīng)提出，便引起廣大高中數(shù)學(xué)教師的高度關(guān)注，而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在掌握數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，在數(shù)學(xué)活動過程中逐步形成的，筆者也嘗試著在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識地加強學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).章建躍教授說過：“重視概念教學(xué)，提升概念教學(xué)水平，其中最切實的是抓數(shù)學(xué)核心概念形成的教學(xué)，選取學(xué)生熟悉的典型實例，提供豐富材料，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)抽象過程，熟悉數(shù)學(xué)抽象的‘基本套路，在概念學(xué)習(xí)中學(xué)會數(shù)學(xué)抽象.”也即搞好數(shù)學(xué)概念教學(xué)是實現(xiàn)“數(shù)學(xué)抽象”的落腳點，形成數(shù)學(xué)概念與規(guī)則、形成數(shù)學(xué)命題與模型、形成數(shù)學(xué)思想與方法以及形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系是數(shù)學(xué)抽象的四個表現(xiàn).解析幾何是整個高中數(shù)學(xué)中難度最大、考核要求最綜合的模塊之一，解析幾何概念的獲取過程是在數(shù)量關(guān)系與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系的過程，也是從事物的具體背景抽象出一般規(guī)律和結(jié)論，并轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)符號語言的過程，即數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)形成的過程.本文基于解析幾何概念教學(xué)，從概念的引入、概念的理解、概念的鞏固、概念的系統(tǒng)化等方面談?wù)勅绾卧诟拍罱虒W(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

一、重視概念的引入，豐富學(xué)生的感受與體會

數(shù)學(xué)新概念有的源于日常生活的事物或現(xiàn)象，有的是在原有概念的基礎(chǔ)上概括而成的，有的是對數(shù)學(xué)對象共同屬性的抽象，有的則是為了適應(yīng)數(shù)學(xué)理論發(fā)展的需要而引入的.由于數(shù)學(xué)概念用比文字語言更簡練和嚴密的數(shù)學(xué)語言形式表達事物的本質(zhì)屬性，所以顯得“高深莫測”.概念教學(xué)需要具體分析概念產(chǎn)生的背景，根據(jù)學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律去選擇合適的引入方式，以促進學(xué)生獲得初步的感性認識.

高中數(shù)學(xué)解析幾何概念可采用直觀圖形、數(shù)學(xué)實例、應(yīng)用問題等方式引入.教師在引入解析幾何概念時，使用的直觀材料，要盡量避免無關(guān)屬性的干擾，同時要及時引導(dǎo)學(xué)生進行細致觀察和分析，并歸納、概括出概念的本質(zhì)屬性，而不能過多地停留在感性認識上；要充分利用學(xué)生的幾何直覺去闡明定義的合理性，特別注意給學(xué)生以準(zhǔn)確清晰的概念表征.如圓錐曲線的概念內(nèi)涵包括運動性、變化性和過程性，教師應(yīng)通過學(xué)生的活動與操作，或適當(dāng)采用現(xiàn)代教育技術(shù)（如幾何畫板）展現(xiàn)圓錐曲線圖像的動態(tài)形成過程，引導(dǎo)學(xué)生觀察分析影響其圖像變化的因子，從而促進學(xué)生對圓錐曲線概念的認識與理解.一些數(shù)學(xué)概念蘊含著深刻的數(shù)學(xué)思想和豐富的文化價值，引入這些概念時要注意挑選合適的材料予以滲透，逐步豐富學(xué)生的感受與體會.

例如，在引入橢圓概念時，可以讓學(xué)生列舉生活中的橢圓實例，通過“嫦娥”月球探測衛(wèi)星的運動軌跡的視頻演示引入，讓學(xué)生意識到橢圓在科技和生活中的廣泛應(yīng)用，使之逐步認識到數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值和文化價值.在圓的教學(xué)中，可以通過動手實驗引入圓的概念，如讓學(xué)生動手用圖釘把繩子的一端固定，另一端則綁一支鉛筆，然后緊拉繩子移動筆尖畫圓形，最后歸納定義.概念的形成過程，實際就是對概念進行數(shù)學(xué)抽象和概括的過程，教師應(yīng)通過開展觀察實物、構(gòu)建模型、畫圖形等活動引入新概念，讓學(xué)生在感性認識的基礎(chǔ)上強化對概念的理解，進而打通數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的通道.

二、重視概念的形成，強化學(xué)生對概念本質(zhì)的理解

概念的形成就是要促進學(xué)生準(zhǔn)確地掌握概念的內(nèi)涵和外延，以實現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解.數(shù)學(xué)是揭示現(xiàn)實世界空間形式與數(shù)學(xué)關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式，內(nèi)涵和外延是構(gòu)成數(shù)學(xué)概念的兩個重要方面.數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是反映數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的總和，外延則是數(shù)學(xué)概念所反映的對象的范圍.兩者分別揭示了對概念質(zhì)與量的規(guī)定，充分揭示概念的內(nèi)涵和外延有助于加深學(xué)生對概念的理解.

例如，圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容，而深刻理解圓錐曲線概念的內(nèi)涵與外延又是學(xué)習(xí)的重點.對于橢圓，教材這樣定義：平面內(nèi)與兩定點[F1]、[F2]的距離之和（[MF1+MF2=2a]）等于常數(shù)（大于[F1F2=2c]）的點的軌跡叫作橢圓.它的內(nèi)涵：一是到兩個定點的距離和是常數(shù)；二是常數(shù)大于兩定點距離.它的外延是不論定點在何處，只常數(shù)大于兩定點之間的距離的所有橢圓.設(shè)問：“當(dāng)常數(shù)小于或等于兩定點的距離時又是什么軌跡呢？”通過實驗探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)[MF1+MF2]為常數(shù)時，軌跡不一定為橢圓.類比雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩個定點的距離之差的絕對值是常數(shù)（小于定點距離）的點的軌跡稱為雙曲線.其內(nèi)涵：一是強調(diào)到兩個定點距離差的絕對值，保證了雙曲線的兩支；二是此常數(shù)必大于0且小于定點距離，外延是以定點為焦點的所有雙曲線.這樣，學(xué)生對圓錐曲線的核心概念有了既有“質(zhì)”又有“量”的完整統(tǒng)一的認識和理解.另外，由于概念內(nèi)涵的多重性，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)，推演概念的其他本質(zhì)屬性，用不同的方式描述概念，表示概念，尋找概念新的等價定義，以豐富學(xué)生對概念的認識和深化學(xué)生對概念的理解，從而促進學(xué)生理解圓錐曲線概念的本質(zhì).

三、充分利用例題和變式習(xí)題，幫助學(xué)生鞏固和深化概念

對高中生來說，不可能一下子就建立起數(shù)學(xué)概念，這需要一個過程.待學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念后，教師應(yīng)及時安排相應(yīng)的練習(xí)予以鞏固.概念的鞏固練習(xí)應(yīng)循序漸進地進行，整體上可以分為知覺水平上的低層次運用和思維水平上的高層次運用兩個層次.對數(shù)學(xué)概念的肯定例證加以辨識屬于概念知覺層次上的運用，對這一類練習(xí)的選擇一定要具有代表性和典型性，這些供鑒別的實例，既要包括正例，也要包括反例.對于一些容易混淆的概念群，教師在教學(xué)過程中要重點做區(qū)分對比，分門別類地指出它們的異同.為了凸顯概念的本質(zhì)屬性，概念的辨析應(yīng)采用變式教學(xué)方式，從不同角度和方式變換事物的非本質(zhì)屬性，以便揭示事物的本質(zhì)特征.

例如，在拋物線概念教學(xué)中，可將例題“若動點[M（x，y）]與定點[F（2，0）]和定直線[l：x+2=0]的距離相等，則[M]點的軌跡是什么？”變式為“1.若動點[M（x，y）]與定點[F（2，0）]比它到定直線[l：x+3=0] 的距離小1，則[M]點的軌跡是什么？2.若動點[M（x，y）]與定點[F（2，3）]和定直線[l：x+y-3=0]的距離相等，則[M]點的軌跡是什么？”然后讓學(xué)生自主練習(xí).這屬于概念思維層次上的運用.在這過程中，教師選用的例題要注意體現(xiàn)概念的本質(zhì)特征，設(shè)置變式練習(xí)時要從多個層次考慮，讓學(xué)生能夠在解決問題的過程中加深對概念的理解，厘清知識間的內(nèi)在聯(lián)系.

四、通過網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖式，使概念系統(tǒng)化

現(xiàn)代教育認知理論認為，人腦中的知識結(jié)構(gòu)在很大程度上決定著人的認知能力，知識的結(jié)構(gòu)層次越高，人的認知能力就越強.學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，歸根到底是學(xué)生通過自己的數(shù)學(xué)思維逐步建立起來的.而數(shù)學(xué)基本概念往往是成群結(jié)對地出現(xiàn)，任何概念都要在某個概念系統(tǒng)中發(fā)揮作用，概念體系的形成，有利于學(xué)生弄清概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，有助于學(xué)生掌握概念的本質(zhì)內(nèi)涵，也有助于學(xué)生把握概念的外延，還能促進學(xué)生對概念的記憶、保持和提取，同時澄清對概念的模糊認識，擴展學(xué)生頭腦中的知識結(jié)構(gòu).因此，數(shù)學(xué)教師在解析幾何概念教學(xué)中要發(fā)揮主導(dǎo)作用，適當(dāng)組織學(xué)生對所學(xué)概念進行歸納和總結(jié)，使之條理化和系統(tǒng)化，從而完善認知結(jié)構(gòu).構(gòu)建概念體系一般可以從四個方面考慮：相鄰概念形成體系；相反概念形成體系；從屬概念形成體系；并列概念形成體系.為了整體展示概念間多方面的邏輯體系，可采用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖的方式.高中解析幾何的核心概念為曲線的方程和方程的曲線，具體是直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線及其方程，其基本方法是幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，代數(shù)結(jié)構(gòu)幾何化，基本思想是數(shù)形結(jié)合思想.因此，在教學(xué)過程中教師應(yīng)通過網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖式，幫助學(xué)生形成有序的概念結(jié)構(gòu)，提高知識結(jié)構(gòu)的層次，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

綜上可知，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基石，而形成概念的過程是典型的數(shù)學(xué)思維過程，教師在教學(xué)過程中完成知識傳授的同時更要強化對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是一個長期的過程，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中有意識地加強訓(xùn)練，不斷地堅持下去，就能將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實處，而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的長期浸潤則有助于學(xué)生數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思維的形成.

[ 參 考 文 獻 ]

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[3] 李昌官.核心素養(yǎng)視角下的解析幾何起始課[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（28）：8-10.

[4] 熊惠民.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計與案例研究[M].北京：科學(xué)出版社，2014.

（責(zé)任編輯 黃春香）