權(quán) 源,趙修斌,龐春雷,王 勇,伍劭實(shí),吳洪濤
(1.空軍通信士官學(xué)校,遼寧 大連 116000; 2.空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院,西安 710077)
隨著衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)技術(shù)的迅猛發(fā)展[1],利用GNSS對載體進(jìn)行定位、定向逐漸成為一種常用手段[2]。而高精度姿態(tài)測量的關(guān)鍵環(huán)節(jié)在于正確解算整周模糊度[3-5],故針對整周模糊度的快速解算關(guān)鍵問題產(chǎn)生了眾多解決方法。根據(jù)觀測信息的使用方式不同,可大致分為基于觀測域、基于坐標(biāo)域、基于模糊度域3種類型[6]。觀測域類型最早由Hatch[7]提出,其核心思想是直接利用P碼觀測值解算整周模糊度;坐標(biāo)域類型以模糊度函數(shù)法[8-9](ambiguity function method, AFM)為代表;模糊度域類型的代表算法有最小二乘搜索法[10](least squares search, LSS)、快速模糊度確定法[11](fast ambiguity resolution approach, FARA)、最小二乘降相關(guān)平差法[12](least-squares ambiguity decorrelation adjustment, LAMBDA)等。
值域法[13]本質(zhì)上是一種基于坐標(biāo)域解算整周模糊度的算法,它首先建立了模糊度與姿態(tài)角間的數(shù)學(xué)模型,然后通過遍歷姿態(tài)域確定全體模糊度候選值。但是遍歷搜索的方式會造成運(yùn)算量增加,文獻(xiàn)[14]通過構(gòu)造二維姿態(tài)角與二維模糊度方程組,利用二維模糊度搜索空間壓縮姿態(tài)角搜索空間,有效減少了姿態(tài)角候選數(shù)目。但該改進(jìn)算法一方面未考慮到二維模糊度搜索范圍對姿態(tài)角空間的重要程度,使得壓縮效率較低;另一方面采用累積基線長度殘差和最小準(zhǔn)則固定整周模糊度,使得需要較多的歷元數(shù)據(jù)方能消除測量誤差帶來的影響。
針對上述問題,本文首先基于最小二乘搜索法[15]得到全體三維模糊度搜索空間,并利用基線長度與低成本微機(jī)電系統(tǒng)(micro electrical mechanical system,MEMS)提供的俯仰角信息[16]對三維模糊度空間進(jìn)行篩選。然后考慮到仰角越低的衛(wèi)星其觀測噪聲越易偏離正態(tài)分布,且異常的概率也更大。為防止雙差觀測噪聲對算法造成影響,選取其中仰角最高的3顆衛(wèi)星構(gòu)成二維模糊度搜索空間,并將其代入搜索模型,經(jīng)MEMS再約束后解得最終的姿態(tài)角搜索空間,即解得整周模糊度候選值。改進(jìn)算法由于較充分利用到基線先驗(yàn)信息以及低成本慣性器件提供的姿態(tài)角粗值,使得模糊度候選數(shù)目較原算法大大減少,采用殘差比例檢驗(yàn)法即可快速正確固定模糊度,算法的時效性與可靠性均得到較大提升。
忽略噪聲等影響,假定接收機(jī)A和接收機(jī)B同時觀測到衛(wèi)星i,j,A到B的基線矢量記為d,長度記為|d|,則衛(wèi)星i,j對應(yīng)的雙差載波相位方程為
λ(φij+Nij)=(Si-Sj)d
(1)
(1)式中:λ為載波波長;φij為雙差載波相位觀測值;Si和Sj為衛(wèi)星到接收機(jī)之間的視線矢量;Nij為雙差整周模糊度。
在東北天坐標(biāo)系中,取基線端點(diǎn)B作為坐標(biāo)原點(diǎn),衛(wèi)星i作為參考星,基線俯仰角為θB,航向角為φB,衛(wèi)星i,j的航向角和俯仰角分別為(φi,θi),(φj,θj),則 (1) 式可改寫為
(2)
由(2)式可知,通過二維遍歷姿態(tài)角即可解得與之對應(yīng)的模糊度浮點(diǎn)解,就近取整后得到全體整周模糊度候選值。
值域搜索模型通過建立模糊度與姿態(tài)角之間的數(shù)學(xué)模型,以姿態(tài)角作為中間量解得全體整周模糊度,但遍歷搜索的方式會降低搜索效率,由于該數(shù)學(xué)模型本質(zhì)是通過二元自變量推導(dǎo)一元因變量。若已知二維模糊度搜索空間,可構(gòu)造二元模糊度和二元姿態(tài)角方程組,從而利用模糊度域壓縮姿態(tài)角域。
首先,將(1)式改寫為
(3)
(3)式中,ed=d/|d|,eij=Si-Sj/|Si-Sj|,由 (3) 式可推知
(4)
(5)
由(5)式可以確定二維整周模糊度(Nij,Nik)取值范圍,根據(jù)模糊度與姿態(tài)角之間的內(nèi)在關(guān)系構(gòu)造二元一次方程組
(6)
對任意一組(Nij,Nik),對(6)式采用解析法[17]即可解得對應(yīng)的俯仰角θB與航向角φB,然后將解得的姿態(tài)角代入(2)式得全體候選模糊度浮點(diǎn)解。
將全體模糊度浮點(diǎn)解就近取整后,分別代入(1)式解得對應(yīng)不同時刻的基線矢量x,判定使得目標(biāo)函數(shù)(7)成立的整周模糊度為最終解。
(7)
固定整周模糊度后,將其代入(1)式解算高精度基線矢量d,設(shè)d在東北天坐標(biāo)系的坐標(biāo)為(de,dn,du),可得航向角φB和俯仰角θB分別為
(8)
由(5)式可知,二維模糊度空間是由2組一維模糊度通過排列組合形成的。但這種方式會造成二維模糊度搜索數(shù)目較多,進(jìn)而影響姿態(tài)角搜索數(shù)目,造成模糊度候選解冗余,不利于判定正確的整周模糊度。
由于模糊度組中僅含有3個線性無關(guān)的模糊度,且利用這3個線性無關(guān)的模糊度即可解算基線矢量,結(jié)合基線先驗(yàn)信息對模糊度搜索空間進(jìn)行壓縮,其結(jié)果等價于壓縮了模糊度候選空間的大小。
首先選取仰角最高的4顆衛(wèi)星(其中一顆為參考星)構(gòu)造三維雙差整周模糊度搜索空間,其矢量形式可表達(dá)為
(9)
若已知三維整周模糊度(N21,N31,N41)中每一維的取值范圍,對三維模糊度全排列組合后即得到三維模糊度搜索空間,將其代入(9)式解算全體基線矢量候選值(de,dn,du),然后得到對應(yīng)的基線幾何長度與姿態(tài)角粗值,并以此篩選模糊度空間。
首先利用(5)式單獨(dú)求解每一維度的模糊度,以建立三維模糊度基本搜索空間,為降低模糊度候選數(shù)量,本文首先利用基線長度信息對三維模糊度搜索空間進(jìn)行粗篩選。
將(9)式改寫為矩陣形式
A-1λ(φ+N)=d
(10)
(10)式中,
|d|2=YTA-TA-1Y
(11)
令G=A-TA-1,對其進(jìn)行Cholesky分解得
G=LTL
(12)
(13)
由于利用(13)式解得的模糊度搜索數(shù)量依舊較多,故按以下步驟進(jìn)一步壓縮數(shù)量。
步驟1基線長度約束。由(9)式解得基線矢量后,利用基線長度信息已知,可以排除部分錯誤解,一般取誤差ε1為基線長度1%~2%。
(14)
步驟2MEMS輔助約束俯仰角。美國MicroStrain公司生產(chǎn)了一款基于MEMS傳感器技術(shù)的高性能微型捷聯(lián)航姿系統(tǒng),某款型號為3DM-GX3-25捷聯(lián)航姿系統(tǒng)由三軸加速度計(jì)、三軸陀螺儀、三軸磁強(qiáng)計(jì)、溫度傳感器組成,可提供靜態(tài)、動態(tài)的定向以及慣性測量數(shù)據(jù)(加速度、角速率、磁場、角度偏差、速度偏差矢量等),三軸加速度計(jì)可提供俯仰角信息,且其漂移是周期性的,故可為提供俯仰角粗值信息。
設(shè)由MEMS輸出得到的俯仰角為θMEMS,在滿足(14)式的基線矢量中,保留使得(15)式成立的基線矢量對應(yīng)的三維整周模糊度組,然后選取仰角最高的3顆衛(wèi)星對應(yīng)的整周模糊度作為二維模糊度搜索空間,將其代入(6)式解算姿態(tài)角搜索空間,進(jìn)而解得整周模糊度候選值。
(15)
確認(rèn)模糊度可采用多種固定準(zhǔn)則,如:基線殘差累積平方和最小準(zhǔn)則、整周模糊度特性準(zhǔn)則、殘差比例法等等,這些準(zhǔn)則目的均是從模糊度候選空間中判定出一組正確值,故需要滿足2個條件:①模糊度候選空間中包含正確解;②空間內(nèi)“危險”的錯誤候選值盡可能少。
由于(5)式中必然包含正確的整周模糊度,故將(6)式解得的姿態(tài)角代入(2)式后,可解得包含正確解的模糊度候選空間,滿足第一個條件。
由于姿態(tài)角候選值與模糊度候選值存在映射關(guān)系,故姿態(tài)角數(shù)量越多,則模糊度候選空間越大,存在“偽解”的可能性越大,而經(jīng)過基線長度以及MEMS約束后的姿態(tài)角候選空間必然有所減少,有利于排除部分錯誤解,增強(qiáng)模糊度候選空間稀疏性,最終減少模糊度確認(rèn)過程所需時間。
假設(shè)已知一組整周模糊度真值,將其帶入雙差載波相位方程可知
(16)
(17)
ΔL-λK→0
(18)
(18)式中,K與ΔL同維。λ越小,(18)式越容易成立,即符合精度標(biāo)準(zhǔn)的模糊度越多。λ越大,符合精度標(biāo)準(zhǔn)的模糊度越少。由于約束后的模糊度候選空間元素減少,等同于λ增大,即減少了高精度估計(jì)結(jié)果的模糊度候選值數(shù)量,而模糊度候選空間稀疏性越強(qiáng),次優(yōu)解殘差則越大(排除了部分偽解),對應(yīng)的殘差比值也更易通過統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。故采用殘差比例檢驗(yàn)法準(zhǔn)則代替原算法的基線殘差累積平方和最小準(zhǔn)則,從而完成模糊度固定過程。
殘差比例檢驗(yàn)法的基本思想是:首先將全體模糊度候選值代入雙差載波方程式中,解得對應(yīng)的基線矢量,然后以模糊度與基線矢量作為已知量得到雙差載波相位計(jì)算值,將計(jì)算值與測量值進(jìn)行運(yùn)算得到殘差平方和Ω,比較最小殘差平方和Ω1與次小殘差平方和Ω2之間的比值,判定使得Ω2/Ω1>χ成立的最小殘差平方和對應(yīng)的整周模糊度為正確解。
改進(jìn)算法流程如圖1所示。與原算法相比,改進(jìn)算法基于最小二乘搜索算法,結(jié)合基線先驗(yàn)信息與MEMS提供的俯仰角信息對二維模糊度搜索空間進(jìn)行壓縮,搜索數(shù)目的減少有利于增強(qiáng)模糊度候選空間稀疏度,使得正確模糊度對應(yīng)的殘差比值更易通過統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。
圖1 改進(jìn)算法流程圖Fig.1 Flow chart of the improved algorithm
以學(xué)院操場作為本次試驗(yàn)地點(diǎn),將2臺接收機(jī)分別連接在基線兩端,將MEMS測量單元固定在基線中央,Y軸與基線矢量平行,其性能參數(shù)在靜態(tài)條件下俯仰角偏差為±0.5°,動態(tài)條件下偏差±2°。事先已測得基線長度為1.907 m,俯仰角和航向角分別為0.1°和229.15°,將其作為真實(shí)值與實(shí)驗(yàn)組進(jìn)行參照對比。采樣頻率設(shè)為1 Hz,可見衛(wèi)星編號按仰角大小依次為31#, 32#, 14#, 25#, 3#, 16#, 29#, 20#,其仰角分別為64.5°,52.8°,52.2°,27.2°,24.5°,20.5°,18.7°,15.1°。在基線靜止的情況下,將LAMDA算法經(jīng)過長時間觀測解得的整周模糊度視作真值,其具體為8 388 608,8 388 613,8 388 609,6 626 617,6 626 615,6 626 631,6 626 635。
假定方案1為原算法,方案2為本文改進(jìn)算法,方案3將原算法的固定策略變更為殘差比例檢驗(yàn)法,方案4將改進(jìn)算法的固定策略變更為累積基線殘差平方和最小準(zhǔn)則。
首先,對比由LAMBDA算法、原算法以及本文算法解算得到的整周模糊度,三者結(jié)果相同,可見改進(jìn)算法壓縮搜索空間的同時保證了搜索空間的正確性。
然后,比較各方案搜索空間大小。方案1的二維模糊度搜索空間數(shù)目為16×19=304組,方案2首先解算全體三維模糊度搜索空間,然后利用MEMS提供的俯仰角以及基線長度對其進(jìn)行篩選,使得最終模糊度空間數(shù)目篩選至5組,可見,較方案1的搜索空間數(shù)量顯著減小,以模糊度N21,N31,N41為例,由于原模糊度值過大,無法在圖中判斷是否存在1周左右變化,故將前3個模糊度整體減去8 388 600,得到“新”模糊度8,13,9,分布如圖2所示。
圖2 不同方案的模糊度搜索數(shù)目Fig.2 Searching number of ambiguity in different cases
當(dāng)解得二維模糊度搜索空間后,將其代入(6)式解算姿態(tài)角搜索空間。對比可知,方案2的姿態(tài)角空間數(shù)目由先前的576組降至8組,如圖3所示。
確定姿態(tài)角搜索空間后,將其代入(2)式解算得到模糊度候選解,下面從不同角度對改進(jìn)算法性能進(jìn)行分析。
圖3 不同方案的姿態(tài)角搜索數(shù)目Fig.3 Searching number of attitude angle in different cases
對比方案1與方案4,由于原算法模糊度候選數(shù)目較多,故采用累計(jì)基線殘差平方和最小準(zhǔn)則作為固定策略時模糊度固定所需歷元數(shù)隨之增多,而改進(jìn)算法與原算法相反,使得其在某些時刻甚至可單歷元成功固定,如圖4、圖5所示。
圖4 方案1的模糊度收斂過程Fig.4 Convergence process of the ambiguity in case 1
圖5 方案4的模糊度收斂過程Fig.5 Convergence process of the ambiguity in case 4
由于該固定策略極易受到歷元噪聲的影響,且不易判定是否解得正確的整周模糊度。故采用殘差比例檢驗(yàn)法進(jìn)行模糊度確認(rèn),本文從各歷元最小殘差對應(yīng)的整周模糊度以及對應(yīng)的殘差比值2個方面,對方案2、方案3進(jìn)行對比(取殘差比例檢驗(yàn)法的閾值為2,由于個別歷元?dú)埐畋戎颠^大,為觀察所有歷元的殘差比值情況,對殘差比值作log化處理),如圖6—圖9所示。
圖6 方案3的各歷元模糊度固定情況Fig.6 Fixed ambiguity in case 3
圖7 方案3在各歷元解得的殘差比值Fig.7 Ratio of residual error in case 3
圖8 基于方案4的各歷元模糊度固定情況Fig.8 Fixed ambiguity in case 4
由圖6,圖7可知,由于原算法模糊度候選數(shù)目較多,導(dǎo)致單歷元模糊度固定成功率不高,若將殘差比值取2作為檢驗(yàn)閾值會導(dǎo)致漏檢甚至誤判的情況發(fā)生。
由圖8,圖9可知,由于改進(jìn)算法模糊度候選數(shù)目較少且模糊度候選空間的稀疏度較高,使得單歷元模糊度固定成功率近100%,且各歷元?dú)埐畋戎稻笥?(殘差比例峰值可達(dá)127 9),而殘差比值越大,模糊度固定結(jié)果的可靠性越高。
圖9 基于方案4在各歷元解得的殘差比值Fig.9 Ratio of residual error in case 4
本文在非遍歷值域算法的基礎(chǔ)上,對模糊度候選值數(shù)量有著決定性影響的二維模糊度搜索空間解算方法進(jìn)行了改進(jìn),在已知基線長度與MEMS提供的俯仰角信息基礎(chǔ)上,排除部分錯誤解以及“危險”解,使得模糊度候選解數(shù)量較原算法大大減小,實(shí)現(xiàn)了單歷元解算整周模糊度。