，謝金

(廈門大學(xué) a.建筑與土木工程學(xué)院, 福建 廈門 361005； b.深圳研究院， 廣東 深圳 518057)

1 研究背景

滑坡是世界上比較活躍的自然災(zāi)害之一。一旦達(dá)到一定規(guī)模的滑體沿著軟弱結(jié)構(gòu)面下滑時(shí)，就有可能對其影響范圍內(nèi)的建筑物(或構(gòu)筑物)、人員或財(cái)產(chǎn)造成嚴(yán)重的損害或損失。因此，為了科學(xué)地防治滑坡，減少傷亡和損失，滑坡的預(yù)測預(yù)報(bào)顯得更為重要。

自20世紀(jì)60年代以來，國內(nèi)外學(xué)者先后提出了30多種滑坡預(yù)測預(yù)報(bào)的方法和模型。這些方法和模型大致可分為5類：①確定性預(yù)報(bào)模型,如齋藤模型[1]、福囿斜坡時(shí)間預(yù)報(bào)法[2]等；②統(tǒng)計(jì)預(yù)報(bào)模型,其代表性的模型有灰色GM(1,1)模型[3]、Verhulst模型[4-5]、等；③非線性預(yù)報(bào)模型,其代表性的模型有突變理論模型[6]、協(xié)同預(yù)報(bào)模型[7]、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[8]等；④宏觀預(yù)報(bào)模型,該模型是根據(jù)滑坡演化過程中表現(xiàn)出的各種征兆、跡象，如裂縫寬度，滑帶土的孔隙率等建立各類滑坡特征相適應(yīng)的預(yù)報(bào)模型，模型因滑坡個體差異而不同。⑤空間預(yù)報(bào)模型,如邏輯回歸模型[9-11]、隨機(jī)森林模型[12]。

從摩擦學(xué)的角度看，滑坡演化的本質(zhì)是構(gòu)成滑坡的顆粒或者顆粒團(tuán)的內(nèi)摩擦行為。當(dāng)用電子顯微鏡觀察滑帶土的特征時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)滑帶土中有許多酥裂狀結(jié)構(gòu)，切礫微斷裂，以及放射狀或不規(guī)則狀裂紋；同時(shí)也以觀察到碎礫定向排列和顆粒壓扁拉長等變形現(xiàn)象，宏觀上表現(xiàn)為位移監(jiān)測曲線呈現(xiàn)波動上升的趨勢，這正是滑坡做黏滑運(yùn)動和蠕滑運(yùn)動的標(biāo)志[13]。目前已有的預(yù)報(bào)模型大都沒有考慮滑坡的運(yùn)動速率對摩擦力的影響。與此同時(shí)，現(xiàn)有的預(yù)報(bào)模型大多數(shù)以滑坡的位移為參量建立預(yù)報(bào)模型。

基于上述分析，有必要考慮滑坡運(yùn)動速率對摩擦力的影響。該文以黏滑運(yùn)動和灰色系統(tǒng)為理論基礎(chǔ)，建立以速率為參量的GM(1,1)預(yù)報(bào)模型，并結(jié)合黃茨滑坡、新灘滑坡進(jìn)行實(shí)例分析，取得較好的預(yù)報(bào)效果。

2 滑坡孕育特征和變形運(yùn)動特性

2.1 滑坡孕育特征

圖1 不同類型的滑坡位移隨時(shí)間的變化Fig.1 Displacement of different types of landslides against time

許強(qiáng)[14]根據(jù)斜坡的變形-時(shí)間曲線特征將滑坡分為：穩(wěn)定型滑坡、漸進(jìn)型滑坡、突發(fā)型滑坡(圖1)。該文用殘余抗剪強(qiáng)度[15]σr、長期抗剪強(qiáng)度σl、峰值抗剪強(qiáng)度σp、流變下限強(qiáng)度σcl以及滑坡的下滑應(yīng)力強(qiáng)度σ，這5個強(qiáng)度指標(biāo)來區(qū)分滑坡的類型。當(dāng)滑坡的下滑應(yīng)力強(qiáng)度σ小于滑坡的流變下限強(qiáng)度σcl時(shí)，滑坡僅發(fā)生彈性變形，不發(fā)生宏觀的位移；當(dāng)σcl<σ<σl時(shí)，滑坡存在流變變形，有宏觀的位移，但經(jīng)過一段時(shí)間后，流變停止。這主要是因?yàn)樵跊]有其他干擾(地震、突降暴雨等)的情況下，滑坡的殘余強(qiáng)度σr足以抵抗滑坡的下滑應(yīng)力強(qiáng)度σ，一般把這種類型的滑坡稱為穩(wěn)定型滑坡(圖1)；當(dāng)σl<σ<σp時(shí)，滑坡存在流變變形，經(jīng)過一段時(shí)間的發(fā)展，滑坡的殘余強(qiáng)度σr不能抵抗滑坡的下滑力σ，變形逐漸增大，漸漸進(jìn)入加速破壞階段，直至整體失穩(wěn)破壞，這種具有滑動時(shí)效的滑坡稱為漸變型滑坡(圖1)；當(dāng)σp<σ時(shí)，滑坡不發(fā)生流變變形，滑動面上的各點(diǎn)的強(qiáng)度均達(dá)到或超過滑坡的破壞強(qiáng)度，滑坡會突然失穩(wěn)，發(fā)生突發(fā)型滑坡(圖1)。由上述分析可見，不同的受力特征，滑坡表現(xiàn)出的變形特征也不同。因此，從分析滑坡的受力狀態(tài)出發(fā)，分析滑坡的變形以及運(yùn)動特性，或許可以找到預(yù)報(bào)滑坡的方法。

圖2 巖土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的2種基本模式Fig.2 Two basic modes of stress-strain relationship of rock and soil

大量研究表明，滑坡不是瞬間發(fā)生的，通常具有一定的變形時(shí)效?；轮饕l(fā)在坡度為30°～50°的斜坡上[16]。突變型一般具有較深的滑動面，往往發(fā)展為液化流動，初始蠕動階段、等速蠕變階段經(jīng)歷的時(shí)間很短，發(fā)生時(shí)往往沒有預(yù)兆；漸進(jìn)型滑坡規(guī)模較大，演化時(shí)間較長，具有明顯的預(yù)兆，比如地表裂縫、隆起、下陷等。已有的研究表明，大多數(shù)的自然斜坡和人工邊坡，隨著時(shí)空的演進(jìn)，多發(fā)生漸進(jìn)型滑坡。漸進(jìn)型滑坡的滑帶土一般夾雜著具有剪脹性的超固結(jié)黏土或密實(shí)的砂土，對于剪脹性的土而言，隨著下滑力和抗滑力的變化，土的密實(shí)性和黏聚力逐漸下降，表現(xiàn)出應(yīng)變軟化的現(xiàn)象(圖2)。隨著變形的發(fā)展，摩擦系數(shù)逐漸降低，巖層間的錯動和彎曲越來越明顯。從時(shí)間上看，漸進(jìn)式滑坡一般會經(jīng)歷3個階段：初始變形階段、等速變形階段、加速變形階段。從空間上也可以將滑坡的變形分為3個階段[14]：第1階段，當(dāng)斜坡的下滑應(yīng)力強(qiáng)度σ超過滑坡的流變下限σcl時(shí)，巖層向坡下彎曲，后緣產(chǎn)生拉力，坡體表層產(chǎn)生蠕滑。后緣的拉力使得坡體的潛在滑移面產(chǎn)生裂縫，并不斷延伸發(fā)展，逐漸形成主裂縫；與此同時(shí)，拉力的豎直分量使得坡體下錯，造成面向坡下的臺階；第2階段，隨著蠕變的不斷發(fā)展，中部剪應(yīng)力集中的部位被擾動，使得斜坡的下半部分出現(xiàn)隆起或者鼓丘，裂縫繼續(xù)發(fā)展。第3階段，隨著裂縫的發(fā)展，潛在的滑移面逐漸貫通，斜坡破壞，形成滑坡。

2.2 滑坡變形運(yùn)動特性

無論是穩(wěn)定型滑坡、漸進(jìn)型滑坡還是突發(fā)型滑坡，滑坡的運(yùn)動方式可以歸納為2種：一種是穩(wěn)定的滑動，即滑動過程中沒有應(yīng)力降，如滑坡的等速滑動階段，這種滑動形式被稱為蠕滑；另一種是不穩(wěn)定的滑動，滑動過程中伴隨有周期性的應(yīng)力降。前者滑動速度較慢，后者滑動速度較快?；碌脑杏桶l(fā)生過程實(shí)際上是這兩種運(yùn)動交替發(fā)生的過程，顯微鏡下更為常見的情況是黏滑和蠕滑標(biāo)志往往共存一處[17]。

在滑動體發(fā)生蠕動之前，潛在滑動面附近的顆?；蛘哳w粒團(tuán)在地質(zhì)作用下隨機(jī)分布，具有高度的對稱性，處于無序狀態(tài)。當(dāng)斜坡的下滑應(yīng)力強(qiáng)度σ超過滑坡的流變下限σcl時(shí)，滑坡體開始蠕動，滑帶土內(nèi)的顆粒開始發(fā)生明顯的有序運(yùn)動。通過顯微鏡觀察可以發(fā)現(xiàn)，滑帶土內(nèi)的軟弱結(jié)構(gòu)部分有從內(nèi)向外擴(kuò)展的微裂縫。隨著微裂縫的不斷擴(kuò)展，平行于滑動面的顆?；蝾w粒團(tuán)在摩擦力或者剪應(yīng)力的作用下不斷被擠壓或者拖拽。少量的硬度較低的顆?；蛘哳w粒團(tuán)被壓碎、拉長或者形態(tài)逐漸向扁平化方向發(fā)展[18]，而硬度較大的顆?；蛘哳w粒團(tuán)則產(chǎn)生滑移；垂直于滑動面的硬度比較低的顆?；蛘哳w粒團(tuán)在正壓力的作用下長軸方向開始向滑動面傾斜，而硬度較高的顆?；蛘哳w粒團(tuán)開始被剪斷；隨著蠕變變形的繼續(xù)發(fā)展，平行于滑動面的大部分顆?；蛘哳w粒團(tuán)在剪應(yīng)力作用下沿著滑動面發(fā)生定向運(yùn)動[18]。

大量硬度比較低的顆粒或者顆粒團(tuán)被壓碎或者呈現(xiàn)扁平狀，而硬度比較高的顆?；蛘哳w粒團(tuán)逐漸填充到孔隙率比較高的區(qū)域。垂直于滑動面的大部分硬度比較低的顆?；蛘哳w粒團(tuán)在正壓力的作用下長軸方向不向滑動面傾斜的程度不斷加大，而硬度較高的顆粒或者顆粒團(tuán)由于被剪斷成三角楔，在摩擦力的作用下發(fā)生轉(zhuǎn)動[18]。通過顯微鏡觀察可以發(fā)現(xiàn)，滑帶土內(nèi)的軟弱結(jié)構(gòu)部分有放射狀或者不規(guī)則的裂縫形成。隨著剪切位移的不斷增大，裂縫不斷發(fā)展，顆?；蛘哳w粒團(tuán)被壓碎、啃斷的現(xiàn)象越來越嚴(yán)重，潛在的滑移面逐漸貫通斜坡破壞，形成滑坡。

通過以上的分析發(fā)現(xiàn)，滑坡的孕育、發(fā)展和發(fā)生過程實(shí)際上是蠕滑和黏滑運(yùn)動交替發(fā)生的過程。

3 滑坡演化的預(yù)測預(yù)報(bào)模型

3.1 傳統(tǒng)灰色預(yù)測預(yù)報(bào)模型及以速率為參量的GM(1,1)模型

3.1.1 以位移為參量的GM(1,1)預(yù)報(bào)模型

1986年，我國學(xué)者陳明東等[3]首次以位移切線角為參量建立灰色系統(tǒng)模型，對新灘滑坡進(jìn)行了預(yù)報(bào)驗(yàn)證，并取得成功。由于位移切線角獲取較困難，此小節(jié)將以位移為參量進(jìn)行建模預(yù)報(bào)。

灰色系統(tǒng)模型的灰微分方程為

(1)

式中a1，b1為系數(shù)。對于一組等時(shí)距位移觀測序列

x(0)=[x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n-1),x(0)(n)],

x(0)一次累加后得到

用最小二乘法求解系數(shù)a1，b1，計(jì)算表達(dá)式為

(2)

其中：

(3)

Z(1)(tk)=0.5(x(1)(tk-1)+x(1)(tk)),

k=2,3,…,n;

(4)

Y=[x(0)(t2),x(0)(t3),…,x(0)(tn)]T。

(5)

求解灰微分方程得到位移的時(shí)間響應(yīng)公式為

(6)

式(6)兩邊對時(shí)間求導(dǎo)，得到速度隨時(shí)間的變化率為

3.1.2 以位移為參量的Verhulst預(yù)報(bào)模型

Verhulst是1987年德國物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一種生物生長模型，由于滑坡的位移特征與生物的生長規(guī)律類似，很多學(xué)者用Verhulst模型對滑坡進(jìn)行預(yù)報(bào)研究[4-5]。

Verhulst模型的灰微分方程為

(8)

式中a2，b2為系數(shù)。

Verhulst模型系數(shù)的求解方法和過程同GM(1,1)模型，唯一不同的是需要將式(3)中的矩陣B替換成如下形式，即

模型位移隨時(shí)間的演化方程為

3.1.3 以速率為參量的的GM(1,1)預(yù)報(bào)模型

絕大多數(shù)機(jī)械運(yùn)動中存在摩擦振動現(xiàn)象(黏滑運(yùn)動)，滑坡運(yùn)動也不例外。為了深入認(rèn)識這種運(yùn)動，學(xué)者們對這種現(xiàn)象進(jìn)行大量的研究。我國學(xué)者李春波[19]進(jìn)行了一系列試驗(yàn)，并提出用下述方程來描述摩擦力與滑動速度之間的依賴關(guān)系，即

(11)

(12)

取式 (12)前2項(xiàng)代入式(1)得

(13)

F=uNcosα-kv。

(14)

式中：u為滑動摩擦系數(shù)；N為垂直于坡面的支持力。

根據(jù)摩爾-庫倫準(zhǔn)則，可以將抗滑力計(jì)算式表達(dá)為

F抗滑=uNcosα-kv+c。

(15)

式中c為黏聚力。

滑坡受自重力及內(nèi)力作用，且內(nèi)力平行于坡面(圖3)。

圖3 滑坡的簡化滑塊模型Fig.3 Simplified sliding model of landslide

則由牛頓第二定律可知：

(17)

式(17)即為描述邊坡演化的非線性動力學(xué)模型。

該模型是以速率為參量的灰色GM(1,1)預(yù)測模型。模型的求解方法同以位移為參量的灰色GM(1,1)預(yù)測模型相比，只需將位移參量替換成速率參量。

以速率為參量的GM(1,1)預(yù)測模型的速率計(jì)算式為

式 (18)對時(shí)間積分，可以得到以速率為參量的灰色GM(1,1)預(yù)測模型的位移時(shí)間公式為

(19)

3.2 模型預(yù)測預(yù)報(bào)判據(jù)和時(shí)間

許強(qiáng)等[20]認(rèn)為改進(jìn)的切線角>85°，斜坡變形進(jìn)入加速變形階段。此方法的切線角85°判據(jù)是在對一個滑坡位移曲線進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上得出的，缺乏一般性。王家鼎[21]通過對大量滑坡實(shí)例的統(tǒng)計(jì)分析，提出將位移切線角89°～89.5°作為滑坡的預(yù)警判據(jù)。此后，李聰?shù)萚22]建立了滑坡數(shù)據(jù)庫，對不同類型的滑坡的臨界速率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)滑坡進(jìn)入急劇變形階段位移臨界速率一般≤50 mm/d。根據(jù)切線角與速率之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系v=tanθ，計(jì)算得到滑坡劇烈滑動時(shí)的位移切線角θ一般≤88.855°。由統(tǒng)計(jì)規(guī)律可知，滑坡實(shí)例數(shù)據(jù)樣本量越大，越能反映滑坡的變形規(guī)律。故到目前為止，根據(jù)切線角變量來確定預(yù)警判據(jù)的研究中，李聰?shù)呐R界速率判據(jù)最為科學(xué)和嚴(yán)密；賀小黑等[5]認(rèn)為Verhulst模型以速率最大值為預(yù)報(bào)判據(jù)缺乏合理的依據(jù)，以加速度最大值作為預(yù)報(bào)判據(jù)更為合理。綜合上述分析，對于GM(1,1)模型，本文取臨界速率vcr=50 mm/d為滑坡發(fā)生的判據(jù)；對于Verhulst模型，本文以加速度最大值為判據(jù)。將vcr分別代入式(7)、式(18)，反解出滑坡發(fā)生時(shí)間。

以位移為參量的GM(1,1)模型預(yù)報(bào)時(shí)間的公式為

以速度為參量的GM(1,1)模型預(yù)報(bào)時(shí)間的公式為

以位移為參量的Verhulst模型預(yù)報(bào)時(shí)間的公式[6]為

(22)

式(20)、式(21)、式(22)中的Δt為位移監(jiān)測的等時(shí)間間隔天數(shù)。

4 實(shí)例說明

為了驗(yàn)證以速率為參量的GM(1,1)模型的預(yù)測預(yù)報(bào)效果，分別對黃茨滑坡、新灘滑坡進(jìn)行理論計(jì)算和分析。值得注意的是，實(shí)際監(jiān)測過程中，滑坡位移監(jiān)測數(shù)據(jù)往往會出現(xiàn)波動，速率會出現(xiàn)負(fù)值。為了減弱觀測誤差對數(shù)據(jù)分析的影響，可先用Vondrak平滑法[23]對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，處理后，如果速率沒有負(fù)值，則可直接進(jìn)行建模計(jì)算。若速率依然有負(fù)值，可選用滑坡進(jìn)入加速變形階段后的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算和分析。 為了方便進(jìn)行對比分析，將以位移為參量的GM(1,1)模型編號為模型①，以位移為參量的Verhulst模型編號為模型②，以速率為參量的GM(1，1)模型編號為模型③。

4.1 實(shí)例1——黃茨滑坡

黃茨滑坡位于甘肅省永靖縣,該滑坡起始監(jiān)測時(shí)刻為1994年8月1日，監(jiān)測時(shí)間間隔為15 d，劇滑時(shí)間為1995年1月30日凌晨2點(diǎn)30分，監(jiān)測資料[5]如表1。

表1 黃茨滑坡B2監(jiān)測點(diǎn)的監(jiān)測數(shù)據(jù)Table 1 Monitored displacements at monitoring point B2

建模前，先對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理，平滑方法采用Vondrak平滑法[23]，該法對等時(shí)距觀測數(shù)據(jù)和不等時(shí)間距離都能進(jìn)行平滑處理。平滑效果如圖4。

圖4 黃茨滑坡原位移和平滑位移與測次曲線Fig.4 Original and fitted cumulative displacement vs.time curves of Huangci landslide

對于以位移為參量的GM(1,1)和Verhulst模型，用于建模的原始序列為

x(0)=[1.05，3.26，6.07，8.2，10.7，14.99，18.05，21.65，27.4，33.14，38.56，49.43，63.54]。

設(shè)時(shí)間序列為t=[1,2,3,4,5,6,7，8，9，10，11，12，13]，對x(0)進(jìn)行一次累加后有：x(1)=[1，4.31，10.38，18.58，29.28，44.27，62.32，83.97，111.37，144.51，183.07，232.5，296.04]。

對于以速率為參量的GM(1,1)預(yù)報(bào)模型，由于滑坡監(jiān)測的物理量是位移，故需要將位移轉(zhuǎn)化為速率，才能用速率模型參量進(jìn)行建模預(yù)報(bào)。位移轉(zhuǎn)化為速率的計(jì)算公式如下,即

計(jì)算得到建模的速率序列為

v(0)=[2.21，2.81，2.13，2.5，4.29，3.06，3.6，5.75，5.42，10.87，14.11]。

以1994年8月16日為速率模型建模的初始時(shí)間，v(0)對應(yīng)的時(shí)間序列為

vt=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]。

對v(0)進(jìn)行一次累加后有

v(1)=[2.3，5.1，7.3，9.5，14.3，17.1，20.6，26.5，32.6,38,47.7,63.3],用最小二乘法求解，得到模型參數(shù)a1=-0.217 61，b1=5.155；a2=-0.223 98，b2=0.424 55；a3=0.308 06，b3=0.000 29。將求得的系數(shù)以及v(1)(t1)，vcr分別代入式(20)、式(21)、式(22)得模型的預(yù)報(bào)時(shí)間值tr1=108.779 26，tr2=115.715 41，tr3=271.671 06。需要說明的是，位移監(jiān)測單位是cm,vcr取5 cm/d；由于以速率為參量的GM(1,1)模型的計(jì)算時(shí)間從1994年8月16日開始，故代入式(20)時(shí)需要將式(20)的t替換成vt計(jì)算。把預(yù)報(bào)時(shí)間值轉(zhuǎn)換成日期，得到滑坡預(yù)報(bào)結(jié)果見表2。表中，Δ是預(yù)報(bào)絕對誤差(d)，是預(yù)報(bào)時(shí)間與滑坡實(shí)際發(fā)生時(shí)間的差值，即Δ=tcr-ts；δ為相對誤差(%)，相對誤差是絕對誤差Δ換算成天數(shù)后除以滑坡實(shí)際發(fā)生時(shí)間ts與時(shí)間序列t1之間的間隔天數(shù)再乘以100%。當(dāng)滑坡預(yù)報(bào)時(shí)間與實(shí)際發(fā)生時(shí)間相同時(shí)，Δ=0，δ=0；當(dāng)滑坡預(yù)報(bào)時(shí)間早于實(shí)際發(fā)生時(shí)間時(shí)，Δ>0，δ>0；當(dāng)滑坡預(yù)報(bào)時(shí)間晚于實(shí)際發(fā)生時(shí)間時(shí)，Δ<0，δ<0。下文中的計(jì)算規(guī)則與此處相同。將預(yù)報(bào)結(jié)果列于表2中。

表2 黃茨滑坡模型預(yù)報(bào)結(jié)果Table 2 Forecasted occurrence time of HuangciLandslide by different models

圖5 黃茨滑坡模型位移預(yù)測值-時(shí)間曲線Fig.5 Comparison of predicted displacement vs.time curve among three models

從表2中可以看出，3個預(yù)測預(yù)報(bào)模型的預(yù)報(bào)誤差均在50%以內(nèi)，GM(1,1)模型的預(yù)報(bào)時(shí)間比Verhulst模型的預(yù)報(bào)時(shí)間早，能夠提前預(yù)報(bào)滑坡的發(fā)生。以速率為參量的GM(1,1)模型的預(yù)報(bào)時(shí)間更加接近滑坡實(shí)際發(fā)生時(shí)間，精度較高。

將求得的模型參數(shù)分別代入式(6)、式(10)、式(19)可以求得模型位移預(yù)測值。圖5是3個預(yù)測模型的位移時(shí)間曲線與原位移時(shí)間曲線和平滑位移曲線的對比圖。從圖5中可以看出，以速率為參量的GM(1,1)預(yù)測模型的位移預(yù)測效果明顯優(yōu)于Verhulst模型，基本上能夠反映這段時(shí)間內(nèi)位移隨時(shí)間的變化趨勢。

4.2 實(shí)例2——新灘滑坡

新灘滑坡位于湖北省秭歸縣境內(nèi)的新灘鎮(zhèn)長江北岸,其下游27 km 處是三峽大壩. 滑坡發(fā)生于1985年6月12日。將新灘滑坡B3監(jiān)測點(diǎn)的位移數(shù)據(jù)[7]列于表3中。為了分析以速率為參量的GM(1,1)模型的預(yù)測預(yù)報(bào)效果,首先對監(jiān)測點(diǎn)的位移數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理。平滑效果見圖6。

圖6 新灘滑坡原位移和平滑位移隨時(shí)間的變化曲線Fig.6 Original and fitted cumulative displacement vs.time curves of Xintan landslide

表3 新灘滑坡B3監(jiān)測點(diǎn)位移Table 3 Monitored displacements of point B3 of Xintan landslide

用平滑后的位移全部數(shù)據(jù)建立GM(1,1)模型。從圖中可以看出，第36個月以后，位移速率不斷增大，故認(rèn)為從第37個月開始，滑坡進(jìn)入加速變形階段。

對于Verhulst模型，選取第36個月以后的平滑數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測預(yù)報(bào)。分別用最小二乘法求解得模型系數(shù)a1=-0.048 46,b1=110.605 22，a2=-0.046 45,b2=4.413 26，a3=0.066 64,b3=1.204 5×10-7。將求得的系數(shù)以及v(1)(t1)，vcr分別代入式(20)、式(21)、式(22)得模型的預(yù)報(bào)時(shí)間值tr1=47.423 99，tr2=54.002 07，tr3=79.789 39。將預(yù)報(bào)結(jié)果列于表4中。

表4 新灘滑坡模型預(yù)報(bào)結(jié)果Table 4 Forecasted occurrence time of XintanLandslide by different models

注:amax表示滑坡運(yùn)動的加速度達(dá)到最大值

從表4中可知，3個預(yù)測預(yù)報(bào)模型的誤差均在50%以內(nèi)，GM(1,1)模型的預(yù)報(bào)時(shí)間比Verhulst模型的預(yù)報(bào)時(shí)間早，能夠提前預(yù)報(bào)滑坡的發(fā)生。以速率為參量的GM(1,1)模型的預(yù)報(bào)時(shí)間能做到提前預(yù)警。

將求得的模型參數(shù)分別代入式(6)、式(10)、式(19)可以求得模型位移預(yù)測值。圖7是3個預(yù)測模型的位移時(shí)間曲線與原位移時(shí)間曲線和平滑位移曲線的對比圖。

圖7 新灘滑坡模型位移預(yù)測值-時(shí)間曲線對比Fig.7 Comparison of predicted displacement vs. timecurve among three models

從圖7中可以看出，以速率為參量的GM(1,1)預(yù)測模型的位移預(yù)測效果明顯優(yōu)于Verhulst模型，基本上能夠反映位移隨時(shí)間的變化趨勢。

5 結(jié) 論

該文以摩擦學(xué)中的黏滑運(yùn)動以及灰色系統(tǒng)為理論基礎(chǔ)，建立了以速率為參量的GM(1,1)預(yù)報(bào)模型，并結(jié)合黃茨滑坡、新灘頭滑坡實(shí)例進(jìn)行了預(yù)測預(yù)報(bào)分析，主要得到以下結(jié)論：

(1)基于監(jiān)測位移建立模型對進(jìn)行滑坡預(yù)測預(yù)報(bào)時(shí)，所建立的模型應(yīng)該考慮滑坡的變形速率對摩擦力的影響。

(2)該文建立的以速率為參量的GM(1，1)預(yù)報(bào)模型的預(yù)報(bào)效果比傳統(tǒng)的以位移為參量的GM(1，1)預(yù)報(bào)模型和Verhulst預(yù)報(bào)模型更好。

(3)以速率為參量的GM(1,1)滑坡預(yù)測預(yù)報(bào)模型比以位移為參量的Verhulst預(yù)測預(yù)報(bào)模型更能夠反映位移隨時(shí)間的變化規(guī)律。