熊允發(fā), 管 濤

(中國人民公安大學信息技術與網(wǎng)絡安全學院， 北京 100038)

0 引言

在幾乎所有版本《高等數(shù)學》教材中，關于二元函數(shù)極限的內容，都是粗略帶過，介紹的都極其簡單，從未涉及到求極限的具體辦法。為了彌補這一缺憾，讓學生們更全面、深入地學習二元函數(shù)微積分，作者結合近三十多年的教學實踐與體會，將求二元函數(shù)極限的方法作一總結歸納，以期對廣大教師與學生有一定的幫助啟迪。

1 二元函數(shù)極限的概念和性質

根據(jù)定義，至少有以下3點應引起我們重視：

其二，二元函數(shù)極限的復雜性。由于二元函數(shù)極限定義中的動點P(x,y)趨向于點P0(x0,y0)的方式是任意的，因而平面上的點趨向于P0的方式就有無窮多種。這比起一元函數(shù)當x→x0時的極限只有左右兩側的情形，要復雜的多。但不論變量的變化多么復雜，且在多條路徑上的極限始終都是唯一的[2]。

故原極限不存在(因為沿不同路徑時極限不唯一).

證：因為當點P(x,y)沿拋物線x=ky2趨向于點(0,0)時，

由于該極限的取值是隨著k的值不同而改變，所以原極限不存在。

這里順便說一下，因為極限的唯一性，如果在求極限值時出現(xiàn)有兩個或以上不同值時，就意味著極限不存在。所謂極限為∞，這是一種特殊的描述方式，可以近似的理解為它是無窮小量的倒數(shù)。因此極限不存在與極限為∞不完全是一回事，兩者有區(qū)別。

其三,要嚴格區(qū)分二重極限與累次極限的關系。盡管兩者都是極限，其性質不一樣，含義也不相同[3]。結合下面的例子加以說明。

例4 設

試討論下面3種情形的極限。

由此可以看出，上例①中二重極限為0，而②③兩個累次極限均不存在。因此，重極限與累次極限不是一個概念，二者有本質區(qū)別[4]。

2 求二元函數(shù)極限的幾種方法

(1) 利用連續(xù)函數(shù)的定義及初等函數(shù)的連續(xù)性求極限

解：∵(x2+y2)|(0,1)=1≠0，

② 如果(x0,y0)不是f(x,y)的連續(xù)點，則可先通過分子、分母有理化等方法使之變連續(xù)后再代值。

解：當x→0，y→0時，分子分母同時趨向于0，則可先將分母有理化。

(2) 利用夾逼準則來求極限

(3) 利用一元函數(shù)中的兩個重要極限公式來求極限

(4) 利用一元函數(shù)極限的性質求極限

有界變量與無窮小量的乘積仍為無窮小量[5]

(5) 利用等價無窮小代換求極限

解：當x→0，y→0時，x2+y2→0，

=0

(6) 利用變量代換，將二元函數(shù)轉換為一元函數(shù)再求極限

如令t=x2+y2

解：令t=x2+y2，

3 結語

由二元函數(shù)極限的定義，可以看出，要學好這部分的內容，真正做到會求二元函數(shù)的極限不是一件容易事，必須要腳踏實地，認真領會其精神實質，在實際動手操作中真正領悟二重極限的知識內涵。