金軒竹，丁 銳，馬云鵬

（東北師范大學(xué)教育學(xué)部，吉林 長春 130024）

1928年，著名物理學(xué)家愛因斯坦（Einstein）向皮亞杰（Piaget）提出“兒童是以何種順序掌握時(shí)間與速度概念”的問題。傳統(tǒng)的牛頓力學(xué)（Newtonian Mechanics）認(rèn)為時(shí)間是更為本質(zhì)的概念，速度只是由時(shí)間概念所派生出的概念。但相對(duì)論（Relativity-Theory）則認(rèn)為，時(shí)間與速度互為參照，并無更基礎(chǔ)的一方。為更好地回答愛因斯坦的問題，皮亞杰在近20年的研究中相繼出版了2套近500頁的文集，論述了不同年齡段兒童建構(gòu)速度與時(shí)間的過程，并由此掀開了學(xué)界對(duì)速度概念及其建構(gòu)過程的研究。[1]時(shí)至今日，對(duì)速度的研究早已不再局限其與時(shí)間概念孰先孰后的問題，而是進(jìn)一步從認(rèn)知階段、比例關(guān)系等視角開展研究。在此基礎(chǔ)上，本文對(duì)線性移動(dòng)中速度概念的相關(guān)研究進(jìn)行梳理，提出兒童建構(gòu)速度概念的可能軌跡，并為速度概念的教學(xué)提供相應(yīng)的策略。

一、速度概念的理解

在物理學(xué)中，速率（Speed）是指物體位移的距離與所耗費(fèi)時(shí)間的比值，是將物體的移動(dòng)（Motion）量化了的結(jié)果，而速度（Velocity）則是描述物體位置變換快慢與方向的矢量。雖然在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，關(guān)于物體移動(dòng)快慢的討論并不涉及運(yùn)動(dòng)方向，但由于“速度”是教學(xué)中的習(xí)慣用語，因此本文仍以速度論之。已有對(duì)速度概念的理解主要從內(nèi)包量（Intensive Quantity）與比率（Rate）兩個(gè)角度進(jìn)行界定。

（一）速度是內(nèi)包量

根據(jù)物體隨系統(tǒng)變化情況的不同，可將物體的物理性質(zhì)劃分為內(nèi)包量與外延量（Extensive Quantity）兩類。其中，外延量是指可通過測量直接得到的量，如溫度、長度等，體現(xiàn)的是量的加法性質(zhì)；而內(nèi)包量則是指無法直接測量而由兩個(gè)外延量的比值所得到的量，如密度、速度等，體現(xiàn)的是量的乘法性質(zhì)。[2]內(nèi)包量建立在對(duì)比理解的基礎(chǔ)上，涵蓋了數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域。已有對(duì)內(nèi)包量的研究主要集中于通過呈現(xiàn)實(shí)物情境或以數(shù)字、語言表示的抽象命題，探究兒童區(qū)分與運(yùn)用不同維度的能力，梳理不同的認(rèn)知階段。例如，藤村等人通過讓兒童回答并解釋相關(guān)內(nèi)包量概念問題總結(jié)出“基于單一量大小、基于兩個(gè)量倍數(shù)關(guān)系、平均單位關(guān)系以及以加減法關(guān)系”四種兒童判斷內(nèi)包量概念的常用策略。[3]因此，從內(nèi)包量角度定義速度概念更多的是關(guān)注距離與時(shí)間維度對(duì)速度概念建構(gòu)的影響，將兒童對(duì)不同維度的整合過程，以及對(duì)同向與逆向關(guān)系的理解視為首要關(guān)注點(diǎn)，并利用情境、語言描述等方式探究公式計(jì)算背后的兒童思維發(fā)展的真實(shí)情況。

（二）速度是一種比率

將速度視為比率是分析速度概念的又一視角。比（ratio）與比率的關(guān)系始終是國內(nèi)外學(xué)界的爭論點(diǎn)?！掇o海》將“比”定義為當(dāng)比較兩個(gè)同類量a和b的關(guān)系時(shí)，如果以b為單位來度量a，稱為a比b，所得的數(shù)k稱為“比值”，即“比率”，記a：b=k?！埃骸笔潜忍?hào)，比號(hào)前的量稱為“比的前項(xiàng)”，比號(hào)后的量稱為“比的后項(xiàng)”。[4]但有學(xué)者指出，此種定義將諸如速度、夏普比等非同類量的比排除在外，且沒有體現(xiàn)出比的度量作用。[5]美國數(shù)學(xué)教育家湯普森（Thompson）認(rèn)為，判斷比與比率的關(guān)鍵在于是否經(jīng)歷過抽象過程?！氨取笔菍蓚€(gè)量進(jìn)行乘法比較（Comparing Two Quantities Multiplicatively），且局限于特定的情境，而比率則是通過將“比”剝離情境抽象化、符號(hào)化后所抽象出的一個(gè)整體。[6]對(duì)于速度概念而言，“比”更多的是在描述距離與時(shí)間的倍數(shù)關(guān)系，而比率便如同一個(gè)“線性函數(shù)”（Linear Function），可根據(jù)需要將其實(shí)例化。例如，當(dāng)描述一個(gè)物體以60km/h的速度進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)，只是將物體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行量化，與它已經(jīng)或正在走過的距離及花費(fèi)的時(shí)間無關(guān)，可隨時(shí)根據(jù)情境的需要進(jìn)行賦值。如，該物體以此速度運(yùn)動(dòng)半小時(shí)，則運(yùn)動(dòng)距離將為30千米。即，無論兩個(gè)量中的哪一個(gè)發(fā)生變化，另一個(gè)也必然發(fā)生變化，但該比率保持不變。[7]因此，兒童要能夠?qū)⑺俣纫暈橐环N比率，理解對(duì)于勻速運(yùn)動(dòng)的物體而言，物體的運(yùn)動(dòng)距離是被時(shí)間單位成比例地分割開來。

綜上所述，本文認(rèn)為無論是內(nèi)包量還是比率都強(qiáng)調(diào)兒童對(duì)速度、距離、時(shí)間三者關(guān)系的理解，但當(dāng)以數(shù)學(xué)視角分析速度概念時(shí)，則更傾向于關(guān)注變量間的關(guān)系，從比率角度界定速度概念?？傊?，無論是將速度視為一種內(nèi)包量還是距離與時(shí)間相比所得到的比率，刻畫兒童速度概念發(fā)展的軌跡與關(guān)鍵點(diǎn)都是研究與教學(xué)的主要著眼點(diǎn)。

二、速度概念發(fā)展階段的劃分

對(duì)兒童速度概念發(fā)展階段的劃分既需要參照內(nèi)包量概念的認(rèn)知階段，也要考慮速度概念所具有的獨(dú)特性。在包量概念的相關(guān)研究中，西格勒曾以皮亞杰的相關(guān)研究為基礎(chǔ)，對(duì)兒童理解諸如濃度等概念的過程進(jìn)行了探討并劃分出四個(gè)階段（參見表1）。[8]

表1 西格勒的兒童內(nèi)包量概念發(fā)展階段

其中，主導(dǎo)維度并不意味著某一維度是更重要的，相反，它只是用來描述兒童在進(jìn)行判斷時(shí)所通常依賴的維度，這種依賴性在成人中也表現(xiàn)得更為顯著。但“主導(dǎo)”與“從屬”的地位也并非一成不變，不同的刺激可能會(huì)使二者產(chǎn)生逆轉(zhuǎn)。藤村在西格勒研究基礎(chǔ)上，對(duì)兒童解決內(nèi)包量問題的策略及認(rèn)知水平進(jìn)行了區(qū)分，將只考慮一個(gè)量的策略命名為策略A，對(duì)于同時(shí)考慮兩個(gè)變量的情況，又根據(jù)演算策略的不同將基于倍數(shù)、平均單位的運(yùn)算分別稱為策略B、C，將錯(cuò)誤的或基于加減等運(yùn)算策略的命名為策略D，并認(rèn)為策略A到C的轉(zhuǎn)變體現(xiàn)了兒童的認(rèn)知水平由“一個(gè)量的符號(hào)化向兩個(gè)量的符號(hào)以及倍數(shù)關(guān)系與平均單位認(rèn)識(shí)的轉(zhuǎn)變”[9]。

此外，速度概念也具有一定的獨(dú)特性。速度作為路程與時(shí)間的比值表述為“速度=距離/時(shí)間”。這一數(shù)學(xué)公式中包含著時(shí)間與距離、速度與距離兩對(duì)正比例關(guān)系以及時(shí)間與速度的反比例關(guān)系。其中，正比例關(guān)系是指：x與y為兩個(gè)數(shù)，在變化過程中，如果x與y的比保持為常數(shù)c，就稱這兩個(gè)數(shù)成正比例；而當(dāng)x與y的倒數(shù)成正比（例）時(shí)，x與y則為反比例關(guān)系。[10]即，只有當(dāng)兒童識(shí)別出速度、時(shí)間、距離三者中保持不變的因素并能夠在量化層面綜合考慮三者關(guān)系時(shí)，才可謂真正地掌握比例關(guān)系，建構(gòu)起速度概念。

因此，基于內(nèi)包量認(rèn)知階段及速度概念所具有的特點(diǎn)，綜合不同研究，可將兒童速度概念的發(fā)展軌跡劃分為：以停止點(diǎn)順序判斷速度大小階段、過渡階段、理解同向與逆向關(guān)系階段以及掌握時(shí)間—距離—速度系統(tǒng)的階段（如圖1所示）。

圖1 兒童速度概念的發(fā)展階段

（一）以停止點(diǎn)順序判斷速度大小階段

皮亞杰是最早對(duì)兒童速度概念建構(gòu)階段進(jìn)行研究的學(xué)者。其通過對(duì)5至12歲（N＞80）的兒童進(jìn)行一對(duì)一訪談后發(fā)現(xiàn)，5至6歲的兒童會(huì)根據(jù)物體停止點(diǎn)的順序位置判斷速度的大小。例如，當(dāng)將紅色與藍(lán)色小車前后放置并同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，兒童會(huì)認(rèn)為無論二者間的差距是否縮小，只要紅色小車的停止位置仍在藍(lán)色小車前，紅車的速度便大于藍(lán)車；停止位置相同則速度也相同。即，“距離越長，花費(fèi)的時(shí)間也越長”。皮亞杰認(rèn)為，這是由于移動(dòng)（Movement）在根本上意味的是順序的變化，而速度作為描述物體移動(dòng)快慢的向量同樣是建立在對(duì)物體空間位置變化感知的基礎(chǔ)上。[11]因此，對(duì)于不具備同時(shí)性（Synchronous）概念的兒童而言，他們無法將時(shí)間與距離同速度建立起關(guān)聯(lián)，從而只能將最為直觀的順序位置作為判斷物體速度大小的首要依據(jù)。同樣，艾克多羅與施密德（Acredolo&Schmid）所開展的較大樣本量研究也證實(shí)了停止點(diǎn)的相對(duì)位置作為兒童判斷速度的首要策略會(huì)一直持續(xù)至兒童8歲左右。[12]在此階段，距離維度，特別是物體運(yùn)動(dòng)的停止點(diǎn)位置在速度概念成為主導(dǎo)維度，而時(shí)間作為從屬維度被兒童所忽略。

（二）過渡階段

隨著認(rèn)知能力的發(fā)展，7至8歲的兒童開始考慮諸如起點(diǎn)位置、運(yùn)動(dòng)時(shí)間等因素對(duì)物體速度的影響，對(duì)速度概念的認(rèn)知逐漸由單維的停止點(diǎn)順序主導(dǎo)向二維關(guān)系的建立過渡。過渡階段的兒童雖仍具有明顯的“停止點(diǎn)”傾向，且對(duì)“快”這一形容詞的理解依舊在速度與距離長度間搖擺，但他們會(huì)主動(dòng)修正自己的答案，開始考慮其他維度的影響。雖然西格勒等人運(yùn)用規(guī)則評(píng)估技術(shù)（Rule-Assessment）進(jìn)行的研究并沒有發(fā)現(xiàn)將速度與距離混淆的情況與某個(gè)特定年齡段存在關(guān)聯(lián)，但后續(xù)的研究均表明存在一個(gè)階段，兒童開始意識(shí)到其他因素對(duì)速度判斷的影響，但對(duì)其中關(guān)系的認(rèn)知仍較為混亂。在時(shí)間概念上，過渡階段中的絕大多數(shù)兒童會(huì)混淆停止時(shí)間與運(yùn)動(dòng)時(shí)間，將“火車在6秒鐘停止”完全等同于火車的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，而不考慮出發(fā)時(shí)間。[13]總之，過渡階段的兒童雖然對(duì)時(shí)間概念的理解仍存在混淆，且尚不清楚如何將距離與時(shí)間二者建立聯(lián)系，但他們已經(jīng)開始有意識(shí)地考慮距離、時(shí)間兩個(gè)維度對(duì)速度概念的影響，并逐漸意識(shí)到其中的關(guān)聯(lián)。

（三）理解同向與逆向關(guān)系階段

對(duì)物體運(yùn)動(dòng)過程中同向與逆向關(guān)系的把握體現(xiàn)了兒童由單維的“停止點(diǎn)中心”發(fā)展至明晰兩個(gè)維度間關(guān)系的階段。同向（directrelationship）與逆向關(guān)系（inverserelationship）是指兒童雖然能夠意識(shí)到兩個(gè)變量是以相同或相反方向進(jìn)行變化，但卻忽視另一個(gè)變量所處的狀態(tài)[14]，即，無法同時(shí)考慮三個(gè)變量間的關(guān)系。例如，呈現(xiàn)兩列速度相同（并未告知兒童）但行駛距離卻不同的火車運(yùn)動(dòng)情況，詢問兒童為何其中一列火車花費(fèi)的時(shí)間更長時(shí)，兒童會(huì)給出“因?yàn)榱硪涣熊囁竭_(dá)的車站距離更遠(yuǎn)，所以需要的時(shí)間也更長”的解釋，并不會(huì)詢問或考慮二者的速度是否相同。一般認(rèn)為，兒童在四歲左右開始意識(shí)到時(shí)間與距離、速度與距離間的同向關(guān)系，并隨著年齡的增長逐漸清晰。其中，對(duì)距離與時(shí)間關(guān)系的理解不僅在時(shí)間上要略晚于距離與速度，且難度更大，不同年齡段的兒童均會(huì)出現(xiàn)將二者視為逆向關(guān)系的情況。

逆向關(guān)系的理解是兒童在較長一段時(shí)間內(nèi)的難點(diǎn)，兒童會(huì)認(rèn)為速度大的物體所需要的時(shí)間也更長，將空間與時(shí)間概念相混淆。對(duì)這一現(xiàn)象的解釋主要包括兩個(gè)方面：一方面是從概念本身入手，認(rèn)為時(shí)間概念所具有的復(fù)雜性及早期形成的同向關(guān)系干擾了兒童對(duì)速度與時(shí)間的理解，兒童通過泛化“順理成章”地得到“更快的物體需要更長時(shí)間”這一結(jié)論，從而將速度與時(shí)間視為同方向變化。[15]另一方面則是從認(rèn)知角度展開分析，認(rèn)為時(shí)間與速度的混淆體現(xiàn)了兒童早期的認(rèn)知特點(diǎn)。首先，某些特定維度會(huì)對(duì)兒童產(chǎn)生較為顯著的影響，兒童更傾向于以此維度作為判斷的標(biāo)準(zhǔn)；其次，較之穩(wěn)定不變的因素，兒童更愿意將注意力集中在具有明顯差異的維度，因而常忽略另一維度所處的狀態(tài)；最后，在面對(duì)與時(shí)間因素相關(guān)的問題時(shí)，兒童會(huì)依據(jù)“多就是多（More is More）”的原則進(jìn)行判斷。即，兒童會(huì)將諸如速度較大、亮度較高的物體視為“更活躍”“更努力”的一方，并由此認(rèn)為這類物體需要花費(fèi)的時(shí)間也更多。[16]一般認(rèn)為，5至7歲左右的兒童開始逐步理解速度與時(shí)間的逆向關(guān)系，但直到9歲以后才能夠明確并運(yùn)用同向與逆向關(guān)系解決問題。

隨著認(rèn)知能力的發(fā)展，兒童在建立同向與逆向關(guān)系的過程中會(huì)逐漸意識(shí)到第三個(gè)維度對(duì)速度判斷的影響，但仍不會(huì)在言語表達(dá)或操作過程中主動(dòng)提及。同單維至二維的過渡階段相同，兒童對(duì)兩組二元關(guān)系與時(shí)間—距離—速度系統(tǒng)的調(diào)和過程可能并不是某一年齡段的“專屬”，6至10歲的兒童均可能處于這一轉(zhuǎn)換階段。[17]

（四）掌握時(shí)間—距離—速度系統(tǒng)的階段

皮亞杰認(rèn)為，速度概念的掌握主要包括直觀與抽象兩個(gè)層面。直觀層面是指兒童對(duì)物體運(yùn)動(dòng)完全或部分地可見，兒童能夠通過觀察獲得關(guān)于物體運(yùn)動(dòng)距離遠(yuǎn)近、時(shí)間長短與速度大小的直觀體驗(yàn)，并對(duì)其進(jìn)行比較。研究者通常會(huì)控制參與比較的兩個(gè)物體以使二者在其中一個(gè)維度上具有相同的數(shù)值，并借助實(shí)物進(jìn)行呈現(xiàn)。例如，通過裝置呈現(xiàn)火車A在10秒的時(shí)間里運(yùn)動(dòng)了20米，火車B在10秒的時(shí)間里運(yùn)動(dòng)了25米的情形，詢問兒童哪一列火車的速度更大。直觀層面的問題能夠最大限度地確保不同年齡段兒童對(duì)問題的理解，為縱向了解兒童的思維發(fā)展提供了可能。盡管并非是兒童有意識(shí)的自發(fā)行為，但隨著認(rèn)知能力的發(fā)展，9至11歲的兒童開始理解直觀層面中的比例關(guān)系，形成了正確的時(shí)空（Spatio-Temporal）概念，但仍然無法將其中的關(guān)系自發(fā)地整合起來，常會(huì)出現(xiàn)模棱兩可的答案。而直到11歲以后，兒童才能在直觀層面實(shí)現(xiàn)對(duì)距離—時(shí)間—速度系統(tǒng)有意識(shí)的運(yùn)用。[18]

在皮亞杰的研究中，雖然兒童在直觀層面掌握了速度概念，但當(dāng)撤去實(shí)物而呈現(xiàn)以符號(hào)表示的“距離（時(shí)間）不同但時(shí)間（距離）相同的問題”，以及“距離、時(shí)間均不同的速度問題”（如，物體A 5秒鐘運(yùn)動(dòng)5厘米，物體B 6秒鐘運(yùn)動(dòng)7厘米，誰的速度更大？）時(shí)，兒童又再一次退回到依據(jù)停止點(diǎn)位置進(jìn)行判斷的水平。因此，皮亞杰認(rèn)為，對(duì)物體運(yùn)動(dòng)情況的直觀層面判斷并不能證明兒童已完全理解速度概念中的比例關(guān)系，只有當(dāng)兒童能夠在符號(hào)層面比較距離、時(shí)間均不相同的兩個(gè)物體的速度時(shí)，才可謂真正理解距離—時(shí)間—速度系統(tǒng)。[19]例如，在比較3秒鐘運(yùn)動(dòng)12厘米和2秒鐘運(yùn)動(dòng)11厘米的物體時(shí)，能夠通過推導(dǎo)出后者的速度更大；又或是對(duì)于2秒鐘運(yùn)動(dòng)4厘米與4秒鐘運(yùn)動(dòng)8厘米的問題，兒童能夠發(fā)現(xiàn)由于二者的比率相同因此速度也是相同的。將上述兩類問題視為兒童對(duì)比例關(guān)系的更高水平的掌握除與抽象程度的差異有關(guān)外，對(duì)距離與時(shí)間均不相同物體的比較涉及了等價(jià)類這一重要的數(shù)學(xué)思想。等價(jià)是集合X上具有自反性、對(duì)稱性和傳遞性的二元關(guān)系，而等價(jià)類則是由等價(jià)關(guān)系誘導(dǎo)出的特殊子集，設(shè)A是一個(gè)非空集合，對(duì)于A上的一個(gè)元素a，所有A中與a等價(jià)的元素所組成的集合就叫作由a產(chǎn)生的等價(jià)類。[20]等價(jià)類在解決計(jì)算、比較等問題時(shí)發(fā)揮著重要的作用。對(duì)于“比”而言，等價(jià)關(guān)系主要體現(xiàn)為將最簡比進(jìn)行擴(kuò)充以得到比較與計(jì)算的合適形式，上述對(duì)“3秒鐘運(yùn)動(dòng)12厘米和2秒鐘運(yùn)動(dòng)11厘米”的速度比較，便是利用等價(jià)關(guān)系尋找到相同的時(shí)間后，再依據(jù)正比例關(guān)系對(duì)速度進(jìn)行的判斷。皮亞杰的研究表明，只有12歲以上的兒童才能夠在符號(hào)層面靈活地運(yùn)用比例關(guān)系解決問題，理解其中的等價(jià)關(guān)系，在起始點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)時(shí)間不同的情況下做出正確的判斷，將距離與時(shí)間維度進(jìn)行合理的整合。

總而言之，兒童速度概念的發(fā)展過程并非一蹴而就，而是遵循著由單維的停止點(diǎn)順序到考慮同向與逆向關(guān)系，再到掌握時(shí)間—距離—速度系統(tǒng)的過程。對(duì)兒童速度概念認(rèn)知階段的梳理有助于為研究者與教師提供兒童思維發(fā)展的脈絡(luò)圖，為課堂教學(xué)及課程整合提供參照。

三、對(duì)教學(xué)的啟示

（一）注重直觀體驗(yàn)，培養(yǎng)抽象能力

數(shù)學(xué)并非是獨(dú)立于經(jīng)驗(yàn)世界的先驗(yàn)性內(nèi)容，而是產(chǎn)生于現(xiàn)實(shí)的需要。純數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系，所以是非?，F(xiàn)實(shí)的材料，但為了能從純粹的狀態(tài)進(jìn)行研究，則必須對(duì)其他的特性進(jìn)行剝離，抽象出不同于現(xiàn)實(shí)世界的對(duì)象與關(guān)系概念。[21]同樣，理解并運(yùn)用以符號(hào)形式存在的速度概念及其與距離時(shí)間的關(guān)系都離不開數(shù)學(xué)抽象。抽象能力的發(fā)展并非一蹴而就，需要通過活動(dòng)不斷積累后天經(jīng)驗(yàn)，提高直觀能力。

速度模型是小學(xué)數(shù)學(xué)中重要的乘法模型之一，我國現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材大多在三年級(jí)開始引入速度的相關(guān)問題，北師大版教材將其融入至加減法與乘法的學(xué)習(xí)中，側(cè)重于運(yùn)用公式進(jìn)行乘除法的運(yùn)算[22]，而在人教版教材中，以速度為背景的應(yīng)用題出現(xiàn)次數(shù)為最高的12次[23]，重要性可見一斑。線段是速度模型教學(xué)中最為常用的表征方式，對(duì)于勻速運(yùn)動(dòng)的物體而言，線段所代表的是路程的長短，根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間將線段進(jìn)行等分，每段所代表的便是物體的運(yùn)動(dòng)速度。將速度以可見的線段進(jìn)行呈現(xiàn)看似降低了兒童理解的難度，但其中所涉及的是對(duì)路程的抽象以及比例關(guān)系的理解。以線段表示路程要求兒童能夠理解物體的運(yùn)動(dòng)距離是被時(shí)間單位成比例地分割開來。如，當(dāng)以線段圖的方式表示6小時(shí)運(yùn)動(dòng)120千米的物體速度時(shí)，兒童要首先選取一段能夠平分成6份的線段，并將其視為“120千米”；其次，兒童要能夠理解由于物體花費(fèi)了6個(gè)時(shí)間單位進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，因此要將總路程相應(yīng)地分成6段長度相等的部分，每一部分不僅在數(shù)值上與速度相等，并且也代表著物體在每個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的路程，進(jìn)而將速度與路程、時(shí)間建立起聯(lián)系，領(lǐng)會(huì)“速度=距離/時(shí)間”的公式（參見圖2）。

圖2 線段圖表示速度

線段圖不僅能夠培養(yǎng)兒童的抽象思維，而且能夠幫助兒童深入理解速度概念，輔助兒童解決相遇、超越等問題，但在教學(xué)中，教師一方面不能“想當(dāng)然”地要求學(xué)生立即理解線段圖的意義，而是要由諸如“賽跑、旅行”等具體情境入手，讓學(xué)生意識(shí)到運(yùn)用線段的原因及必要性，并通過比較不同情境下線段的長度而引導(dǎo)兒童意識(shí)到二者間的關(guān)系；另一方面，教師要使兒童明確每一份線段所代表的是物體在一秒鐘所運(yùn)動(dòng)的距離，將其與時(shí)間建立聯(lián)系，從而避免兒童將每一份線段簡單地視為“一段距離”、將路程視為對(duì)“速度長度”重復(fù)所得到的結(jié)果。

（二）全面剖析概念，關(guān)注認(rèn)知軌跡

兒童的生活本是一個(gè)整體，但零散且缺乏銜接的學(xué)科內(nèi)容將兒童的世界加以割裂和肢解，無法幫助兒童將已有經(jīng)驗(yàn)同新知識(shí)進(jìn)行整合。因此，教師要了解兒童在學(xué)習(xí)某一主題時(shí)的認(rèn)知過程及思維方式，明確現(xiàn)階段內(nèi)容與主題間的聯(lián)系，圍繞核心概念展開教學(xué)。以描述學(xué)生在一個(gè)時(shí)間跨度內(nèi)學(xué)習(xí)和探究某一主題時(shí)，依次進(jìn)階，逐級(jí)深入的思維方式的學(xué)習(xí)進(jìn)階（Learning Progression）與假設(shè)性學(xué)習(xí)軌跡（Hypothetical Learning Trajectory）均體現(xiàn)了對(duì)概念的整合及學(xué)生認(rèn)知過程的關(guān)注。[24]

同樣，速度概念不單是數(shù)學(xué)內(nèi)容，更與數(shù)學(xué)、物理等內(nèi)容的學(xué)習(xí)緊密相連（如圖3所示）。在橫向?qū)用?，一方面，速度概念同濃度、密度等?nèi)包量概念具有內(nèi)在一致性，兒童不僅遵循著相似的認(rèn)知階段，而且均涉及對(duì)數(shù)量間的比例關(guān)系的掌握；另一方面，對(duì)速度、距離與時(shí)間三者的關(guān)系的理解與運(yùn)用也是培養(yǎng)兒童數(shù)學(xué)模型思想的重要環(huán)節(jié)，速度模型作為應(yīng)用題中的現(xiàn)實(shí)背景之一貫穿于各個(gè)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，溝通兒童的現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)世界。在縱向?qū)用?，速度概念連接著物理知識(shí)的學(xué)習(xí)，兒童開始在更為廣泛的意義上理解物體的運(yùn)動(dòng)。在初中階段，“機(jī)械運(yùn)動(dòng)”開啟了兒童對(duì)物理知識(shí)的學(xué)習(xí)，通過對(duì)長度與時(shí)間的測量、運(yùn)動(dòng)的描述、運(yùn)動(dòng)的快慢及測量平均速度內(nèi)容的學(xué)習(xí)進(jìn)一步完善對(duì)速度概念的建構(gòu)；而到了高中階段，“運(yùn)動(dòng)的描述”作為高中物理學(xué)習(xí)的開端，將學(xué)生速度概念的認(rèn)知進(jìn)一步深入至位移與加速度，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)物體運(yùn)動(dòng)相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用。由此可見，在速度教學(xué)中，教師要溝通知識(shí)間聯(lián)系，深度剖析概念，遵循學(xué)生的認(rèn)知軌跡，幫助學(xué)生建立與完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

圖3 速度概念關(guān)聯(lián)圖

（三）深入發(fā)掘，彰顯數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中形成的對(duì)未來發(fā)展起重要作用的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力，具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人能夠從數(shù)學(xué)的角度看待問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式思考并解決問題。[25]目前，義務(wù)教育階段已經(jīng)確立了包括數(shù)感、符號(hào)意識(shí)等在內(nèi)的共十個(gè)基本核心素養(yǎng)，在培養(yǎng)數(shù)學(xué)品質(zhì)的同時(shí)促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角出發(fā)看待速度概念的教育價(jià)值主要包括三個(gè)方面：首先，速度概念中的比例關(guān)系是對(duì)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)，在解決速度的相關(guān)問題過程中，學(xué)生得以經(jīng)歷“選擇并運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆?hào)表征情境中的數(shù)量、采取恰當(dāng)?shù)姆绞綄?duì)符號(hào)進(jìn)行計(jì)算、運(yùn)用等價(jià)關(guān)系解決問題”的過程，并能夠逐步理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式，提升符號(hào)意識(shí)。其次，對(duì)速度、時(shí)間、距離三者關(guān)系的建構(gòu)過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)推理能力，如，在距離相同的情況下，根據(jù)不同速度值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間歸納得到速度與時(shí)間的反比例關(guān)系便是一個(gè)完整的合情推理過程。最后，在小學(xué)階段，路程模型與總量模型是教學(xué)中必須考慮的兩個(gè)模型，其中，路程模型可以適用于總價(jià)、總數(shù)等一系列現(xiàn)實(shí)中問題。[26]因此，速度問題作為路程模型的重要類型之一有助于幫助兒童理解數(shù)學(xué)與外部現(xiàn)實(shí)的關(guān)系，在培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，使兒童意識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中所蘊(yùn)含的大量問題可以通過數(shù)學(xué)知識(shí)予以解決，提高應(yīng)用意識(shí)?！?/p>