廣東省廣雅中學(xué)(510160) 徐飛

中科院張景中院士指出:“在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中,三角函數(shù)的內(nèi)容至關(guān)重要.三角函數(shù)不僅是連接幾何與代數(shù)的一座橋梁,還是溝通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一條通道.向量、坐標(biāo)等許多重要的數(shù)學(xué)知識(shí)與三角有關(guān),并且大量實(shí)際問題的解決要用到三角知識(shí).”

三角在高中數(shù)學(xué)課程中包含三角函數(shù)、三角恒等變換和解三角形等三個(gè)相對(duì)獨(dú)立的部分,是高中數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容之一,也是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一.全國卷在三角的中呈現(xiàn)比較穩(wěn)定的命題規(guī)律,既側(cè)重對(duì)“雙基”的考查,又突出對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、幾何直觀等核心素養(yǎng)的考查.

一、2018年全國高考數(shù)學(xué)I卷三角試題特點(diǎn)分析

1.2018年全國I卷文科數(shù)學(xué)三角試題分析

題目1(2018年文科第8題)已知函數(shù)f(x)=2cos2xsin2x+2,則()

A.f(x)的最小正周期為π,最大值為3

B.f(x)的最小正周期為π,最大值為4

C.f(x)的最小正周期為2π,最大值為3

D.f(x)的最小正周期為2π,最大值為4

說明本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)圖象的性質(zhì)(周期性、最值)等知識(shí),考查考生應(yīng)用二倍角角公式和合一變換公式進(jìn)行運(yùn)算的能力以及通過三角函數(shù)的解析式表征認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的邏輯推理能力.

題目2(2018年文科第11題)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊上有兩點(diǎn)A(1,a),B(2,b),且則|a-b|=()

說明本題主要考查三角函數(shù)的定義和三角恒等變換等知識(shí),考查考生將幾何度量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的表征的能力以及應(yīng)用二倍角公式進(jìn)行運(yùn)算的能力.

題目3(2018年文科第16題)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為____.

說明本題在考查解三角形和三角恒等變換等知識(shí),考查考生應(yīng)用正弦定理進(jìn)行邊角的相互轉(zhuǎn)化能力以及結(jié)合余弦定理和三角形面積公式進(jìn)行運(yùn)算的能力.

2.2018年全國I卷理科數(shù)學(xué)三角試題分析

題目 4(2018年理科第 16題)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是____.

說明本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的最值,考查考生的函數(shù)與方程思想以及運(yùn)算求解能力.

題目5(2018年理科第17題)在平面四邊形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.

(1)求 cos∠ADB;(2)若求BC.

說明本題主要考查正弦定理和余弦定理等知識(shí),考查考生利用解三角形的知識(shí)求解四邊形的角度和邊長,考查了考生數(shù)學(xué)運(yùn)用能力和運(yùn)算求解能力.

3.2018年全國高考數(shù)學(xué)I卷三角試題特點(diǎn)

(1)命題題型穩(wěn)定

體現(xiàn)在題量、分值以及知識(shí)點(diǎn)與2016年,2017年基本保持一致.2018年高考在三角方面的試題文科有三道小題,分值15分,所涉及的知識(shí)點(diǎn)有:三角函數(shù)定義、三角函數(shù)性質(zhì)、三角恒等變換、解三角形等知識(shí);理科有一小一大兩道題,分值17分,所涉及知識(shí)點(diǎn)有:三角函數(shù)的求導(dǎo)公式、三角函數(shù)求值、解三角形等知識(shí).

(2)相同的知識(shí)點(diǎn),考查時(shí)關(guān)注文科生與理科生的差異

在考查三角函數(shù)的最值上,題目1比較常規(guī),需要文科生先將不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù),再通過三角函數(shù)的有界性,從而確定函數(shù)的最值;題目4則需要理科生突破函數(shù)解析式為正弦函數(shù)的障礙,利用導(dǎo)數(shù)法來研究函數(shù)的最值.在考查解三角形上,題目3與2016年理科第17題,2017年理科第17題以及2015年文科第17題類似,需要文科生利用代數(shù)條件求解不定三角形的面積問題;題目5則突破理科在三角命題上每兩年一大一小的規(guī)律,今年仍然考解三角形的大題,并且題目類型與2016年理科第17題,2017年理科第17題不同,需要理科生利用代數(shù)條件或幾何條件下求解確定的四邊形的邊長與角度.

(3)在解答題的命題上注重通性通法、解題思路多樣性和一題多解,讓考生從不同角度認(rèn)識(shí)問題

題目5既可以利用高中所學(xué)的正弦定理和余弦定理來求解四邊形的角與邊,也可以通過畫圖利用圖形的幾何性質(zhì)快速求解,充分體現(xiàn)了命題者讓考生多想一點(diǎn)、少算一點(diǎn),考查考生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的意圖.題目5的具體解答如下:

(1)解法1在△ABD中,由正弦定理得由題設(shè)知,所 以由題設(shè)知,∠ADB＜90°,所以

解法2在△ABD中,由余弦定理知

解法 3(幾何法)如圖,過點(diǎn)B作BE⊥AD于E,在Rt△ABE中,∠A=45°,BE=中,

圖1

解法4(坐標(biāo)法)如圖2,過點(diǎn)A作垂直于AD的直線為y軸,建立以A為原點(diǎn),直線AD為x軸的平面直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 (ABcos∠A,ABsin∠A).因?yàn)?∠A=45°,AB=2,所以設(shè)D(m,0),由于所以m=即

圖2

下面求cos∠ADB有三種做法

方法二用向量的數(shù)量積,由于所以

方法三利用直線BD的傾斜角.設(shè)直線BD的傾斜角為θ,則直線BD的斜率由于∠ADB=180°-θ,所以所以

(2)解法1由題設(shè)及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·∠BDC=25,所以BC=5.

解法2(幾何法)如圖3,過點(diǎn)B作BE⊥AD于E,過點(diǎn)B作BF⊥DC于F,因?yàn)锽E⊥AD,BF⊥DC,∠ADC=90°,所以四邊形BEDF為矩形,從而DF=BE.在Rt△ABE中,∠A=45°,從而所以故F為CD的中點(diǎn),所以△BCD為等腰三角形,且BC=BD=5.

圖3

解法3(坐標(biāo)法)如圖2,過點(diǎn)A作垂直于AD的直線為y軸,建立以A為原點(diǎn),直線AD為x軸的平面直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(ABcos∠A,ABsin∠A).因?yàn)?∠A=45°,AB=2,所以設(shè)D(m,0),由于所以即從而

解法4如圖4,延長AB、DC,設(shè)兩延長線交于點(diǎn)E.過點(diǎn)B作BF⊥DC交DC于F.在 Rt△BDF中,因?yàn)椤螰BD=∠ADB,所以

圖4

解法5如圖5,過點(diǎn)B作BE⊥AD于E.延長CB、DA,設(shè)兩延長線交于點(diǎn)交于F.在Rt△ABE中,∠A=45°,因?yàn)锽E⊥AD,∠ADC=90°,所以BE//CD.又所以B為CF中點(diǎn),故Rt△CDF中,

圖5

解法6過點(diǎn)A作AE⊥AB于A,且使AE=AB,連接ED.因?yàn)?∠BAD=45°,∠EAB=90°, 所以∠EAD=45°. 在△ADE和△ABD中,AE=AB,∠EAD= ∠BAD,AD=AD,△ADE～=△ABD,所以DE=BD=5,因?yàn)锳E=AB,∠EAD= ∠BAD,所以AD⊥BE.又∠ADC=90°,從而BE//CD,在Rt△ABE中,所以BE=CD,從而四邊形BEDC為平行四邊形.故BC=DE=5.

圖6

解法7如圖7,過點(diǎn)D作DE⊥AB,交AB的延長線于E,過點(diǎn)C作CF⊥AB,交AB的延長線于F,過點(diǎn)C作CG⊥DE于G,則四邊形EFCG為矩形.在 Rt△ADE中,DE=AE=AB+BE=2+BE,在 Rt△BDE中,由勾股定理知,BD2=DE2+BE2,即52=(2+BE)2+BE2,解得在 Rt△DCG中,由得在 Rt△CBF中,由得

圖7

三、2018年三角解答題的答卷情況與2019年三角備考建議

1.三角解答題的答卷情況

今年考生在三角解答題的得分較去年有大幅提升.第(1)問解答中絕大多數(shù)考生選擇利用正弦定理或余弦定理來求值.在采用解法1中的考生中,有不少人在求余弦值時(shí),沒有注意到角的范圍對(duì)余弦值的影響,而在采用解法2中的考生中,有不少人因?yàn)檫\(yùn)算能力不過關(guān),導(dǎo)致失分嚴(yán)重.第(2)問解答中絕大多數(shù)考生采用解法1求邊長.少數(shù)考生只考慮到用幾何法或坐標(biāo)法解決本道題的其中一個(gè)小問,而不是兩問都解決.在用幾何法解決本題第2問的部分考生,畫好圖后就直接寫結(jié)果,缺少必要的邏輯推理過程.

今年考生在三角解答題的典型錯(cuò)誤抽樣如下:

2.2019年高考三角備考建議

基于今年高考評(píng)卷中出現(xiàn)的一些典型錯(cuò)誤以及全國卷在三角的命題特點(diǎn),下面給出如下備考建議:

(1)回歸教材,重視三角中的概念,加強(qiáng)對(duì)三角中公式和定理的理解.

從今年考生答題情況來看,仍然有不少考生在三角的解答題出現(xiàn)完全空白或?qū)⒄?、余弦公式寫錯(cuò)、所寫的公式與圖形不對(duì)應(yīng),少有考生使用幾何法或坐標(biāo)法解決解答題等現(xiàn)象.這些充分暴露考生在對(duì)概念、公式、定理的不理解.基于高考在三角方面加強(qiáng)了對(duì)其基本概念、基本原理、基本思想方法的考查,因此,高三復(fù)習(xí)中一定要重視概念的復(fù)習(xí),如:角的概念、三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)線.對(duì)三角中的公式和定理,如同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換公式、正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等要求學(xué)生首先必須記清記準(zhǔn),其次要對(duì)公式和定理的來龍去脈、彼此之間相互聯(lián)系以及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行再認(rèn)識(shí)、再理解.在第一輪復(fù)習(xí)中,要回歸教材,落實(shí)三角中的每一個(gè)概念和知識(shí)點(diǎn),爭取消除知識(shí)盲點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn).

(2)狠抓學(xué)生運(yùn)算與答題規(guī)范

全國卷在三角的考查往往會(huì)關(guān)注到對(duì)三角的運(yùn)算能力的考查,而今年考生有22.88%的考生因?yàn)檫\(yùn)算能力不過關(guān),而導(dǎo)致失分.為此,高三復(fù)習(xí)中首先要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)含有根式形的代數(shù)式子的運(yùn)算與化簡,方程或不等式的求解,恒等式的變形等方面的運(yùn)算訓(xùn)練,在訓(xùn)練中查找學(xué)生運(yùn)算中的易錯(cuò)點(diǎn),從而有意識(shí)的改進(jìn)和糾正.其次加強(qiáng)優(yōu)化運(yùn)算的思維訓(xùn)練,如:在解決三角形兩邊與一邊所對(duì)角的解三角形問題中,既可以用正弦定理也可以用余弦定理,但如果題目需要求第三條邊的邊長,則直接采用余弦定理可以優(yōu)化運(yùn)算,如果題目需要求其他的兩個(gè)角,則直接采用正弦定理可以優(yōu)化運(yùn)算.在三角的解答題中,往往考查了考生的邏輯推理能力.因此,高三復(fù)習(xí)中,教師首先為學(xué)生做好示范,如:遇到利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值、求三角函數(shù)值域、知三角函數(shù)值求角等問題時(shí),要先結(jié)合角的范圍,再來求解.當(dāng)學(xué)生在平時(shí)訓(xùn)練或測(cè)試中,出現(xiàn)不規(guī)范的答題時(shí),教師要堅(jiān)持面批,指出學(xué)生的不足,并嚴(yán)格要求,直到學(xué)生表達(dá)規(guī)范為止.

(3)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的提煉

題目5在所用到的幾何法即通過構(gòu)造直角三角形來求解四邊形的角度和邊長的思想方法,恰好是在正弦定理、余弦定理的證明中的一種重要的思想方法.這種方法卻在今年的答卷中很少出現(xiàn).這與我們一線教師在教學(xué)中,強(qiáng)調(diào)公式和定理的運(yùn)用,而忽視公式、定理的證明以及證明過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.為此,在高三復(fù)習(xí)中,要加強(qiáng)例題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的提煉.如:遇到三角函數(shù)求值的問題,一般采用三角恒等變換,將所求角用已知角的表示,進(jìn)而來進(jìn)行求解.此過程就蘊(yùn)含著整體代換的思想方法,這正是題目2(2018年文11)所涉及的思想方法.