王玉龍,王天寶,馮毅夫

(1.江蘇科技大學(xué) 電子信息學(xué)院,鎮(zhèn)江 212003)(2.江蘇大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院,鎮(zhèn)江 212013)(3.吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,四平 136000)

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)是一種空間分布式的系統(tǒng),該類系統(tǒng)的通信是借助于共享的通信網(wǎng)絡(luò)來實(shí)現(xiàn)的．將網(wǎng)絡(luò)引入傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)會帶來諸多好處,如低成本、高可靠性等；但是,也會導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延、丟包、數(shù)據(jù)漂移、時(shí)序錯亂等現(xiàn)象．現(xiàn)有文獻(xiàn)對網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延及丟包問題開展了較多研究,并得到了一些新穎的成果．文獻(xiàn)[1]研究具有兩通道隨機(jī)丟包和時(shí)延的線性系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)化控制問題．文獻(xiàn)[2]研究具有關(guān)聯(lián)丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)固定速率向量量化問題．對于無人水面艦艇,文獻(xiàn)[3]研究基于網(wǎng)絡(luò)的故障檢測濾波器與控制器協(xié)同設(shè)計(jì)問題．在傳感器到估計(jì)器通信限制的情況下,文獻(xiàn)[4]研究線性系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)問題．對于具有異步隸屬度的網(wǎng)絡(luò)化模糊控制系統(tǒng),文獻(xiàn)[5]給出具有更小保守性的穩(wěn)定性及鎮(zhèn)定條件．文獻(xiàn)[6]討論基于數(shù)據(jù)重構(gòu)的連續(xù)時(shí)間網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)故障檢測濾波器設(shè)計(jì)問題．針對具有隨機(jī)時(shí)延和丟包的基于序列的控制系統(tǒng),文獻(xiàn)[7]研究其穩(wěn)定性問題．對于離散時(shí)間非線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),文獻(xiàn)[8]考慮其模糊動態(tài)輸出反饋控制器設(shè)計(jì)問題．針對采用非線性半馬爾科夫跳變系統(tǒng)描述的認(rèn)知無線網(wǎng)絡(luò),文獻(xiàn)[9]研究其量化控制設(shè)計(jì)問題．文獻(xiàn)[10]研究具有通信時(shí)延和數(shù)據(jù)丟包的網(wǎng)絡(luò)化非線性系統(tǒng)的控制問題．針對一類連續(xù)時(shí)間網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),文獻(xiàn)[11]研究基于事件驅(qū)動的故障檢測濾波器設(shè)計(jì)問題．關(guān)于網(wǎng)絡(luò)控制領(lǐng)域的其它最新研究成果,見文獻(xiàn)[12-15]．其中文獻(xiàn)[1, 3, 5-8, 11,12]中系統(tǒng)的采樣周期為常數(shù)．對于控制系統(tǒng)而言,通常期望傳感器采用一個(gè)固定的周期進(jìn)行采樣．然而,計(jì)算機(jī)負(fù)載的變化、網(wǎng)絡(luò)及非周期性的故障會導(dǎo)致采樣周期發(fā)生變化．近年來,文獻(xiàn)[16-20]考慮時(shí)變采樣周期問題，對于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)而言,保證系統(tǒng)對于采樣周期變化的魯棒性是十分重要的．文獻(xiàn)[21-22]研究網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延的非均勻分布特性,而文獻(xiàn)[23]研究非均勻量化問題．事實(shí)上,對于具有時(shí)變采樣周期的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),其采樣周期可能大部分時(shí)間內(nèi)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)變化，而在較少的時(shí)間內(nèi)在另外的區(qū)間內(nèi)變化，即網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的時(shí)變采樣周期也滿足一定的非均勻分布特性．然而,文獻(xiàn)[16-20]并未考慮非均勻分布的時(shí)變采樣周期,且文獻(xiàn)[19]沒有考慮丟包問題,這也促使文中對相關(guān)問題開展研究．

文獻(xiàn)[21-23]分析網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延或量化的非均勻分布特性．對于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),丟包也可能是非均勻分布的．正如文中所證明,如果丟包的非均勻分布特性被用來處理向量交叉積放大不等式,可以得到更優(yōu)的結(jié)果．然而,文獻(xiàn)[21-23]并未考慮這一特性，文獻(xiàn)[24]中的傳感器網(wǎng)及文獻(xiàn)[25]中的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與所研究的網(wǎng)絡(luò)有本質(zhì)的區(qū)別．

因此，文中研究具有非均勻分布時(shí)變采樣周期網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)問題．在同時(shí)考慮非均勻分布的時(shí)變采樣周期,網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延和丟包的基礎(chǔ)上,建立新的狀態(tài)反饋網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型．構(gòu)造基于丟包分解的Lyapunov泛函,得到新的鎮(zhèn)定準(zhǔn)則，同時(shí)提出了新的向量交叉積放大不等式,并通過推導(dǎo)證明所得不等式具有更小的保守性．

符號意義：MT為矩陣M的轉(zhuǎn)置，I和0分別為具有適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣和零矩陣，E為數(shù)學(xué)期望，*為矩陣的對稱部分．如果未特別說明,所有的矩陣都具有合適的維數(shù)．

1 非均勻采樣網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模

線性時(shí)不變系統(tǒng)為：

(1)

式中：x(t)∈Rn,u(t)∈Rm,z(t)∈Rr和ω(t)∈Rq分別為狀態(tài)向量,控制輸入向量,受控輸出及擾動輸入;x0∈Rn為初始條件;A,B1,B2,C和D為具有合適維數(shù)的已知常數(shù)矩陣．

文中假設(shè)傳感器是時(shí)鐘驅(qū)動,控制器和執(zhí)行器是事件驅(qū)動;借助于網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)(1)的控制;傳感器—控制器及控制器—執(zhí)行器通道均存在時(shí)延和丟包;采樣周期是時(shí)變且非均勻分布．

圖1給出了同時(shí)考慮網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的時(shí)變采樣模式,其中虛線表示相應(yīng)的控制輸入包被丟掉了,tk(k=0,1,2…)表示采樣時(shí)刻．在時(shí)間區(qū)間[tk,tk+1)內(nèi),假設(shè)采樣周期為常數(shù)．然而,在時(shí)間段[tk+1,tk+2)內(nèi)的采樣周期可能不同于時(shí)間段[tk,tk+1)內(nèi)的采樣周期．定義h(t)為采樣周期的長度．不失一般性,考慮有兩個(gè)采樣周期h1和h2的情況,其中h1>h2>0．定義δ為連續(xù)丟包數(shù)的上界．

圖1 時(shí)變采樣模式Fig.1 Time-varying sampling mode

設(shè)τk為從傳感器的采樣時(shí)刻tk到執(zhí)行器收到控制輸入的時(shí)間長度,且0<τm≤τk≤τM．則

u(t)=Kx(tk)

(2)

式中：t∈[tk+τk,tk+1+τk+1),k=0,1,2…；K為將要設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器增益．

對于t∈[tk+τk,tk+1+τk+1),定義τ(t)=t-tk．則u(t)=Kx(t-τ(t)),且系統(tǒng)(1)可以轉(zhuǎn)化成具有區(qū)間時(shí)變時(shí)延τ(t)的等價(jià)系統(tǒng),其中τ(t)是人工構(gòu)造的時(shí)延．在時(shí)間區(qū)間[tk,tk+1)內(nèi),如果采樣周期是h1,定義τ(t)為τ1(t),如果采樣周期是h2,定義τ(t)為τ2(t)．考慮到τ(t)∈[τk,tk+1-tk+τk+1),得到τ1(t)∈[τm,(δ+1)h1+τM)且τ2(t)∈[τm,(δ+1)h2+τM)．定義η1=(δ+1)h1+τM,η2=(δ+1)h2+τM．

(3)

定義隨機(jī)變量λ(t)為：

(4)

利用Bernoulli分布的白序列來描述隨機(jī)變量λ(t),得到：

(5)

如果考慮非均勻分布的時(shí)變采樣周期,可得：

u(t)=Kx(t-τ(t))=

λ(t)Kx(t-τ1(t))+(1-λ(t))Kx(t-τ2(t))

(6)

(7)

則,系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為：

(8)

式中：t∈[tk+τk,tk+1+τk+1)

B1Kx(t-τ2(t))

φ2(t)=B1K[x(t-τ1(t))-x(t-τ2(t))]

DKx(t-τ2(t))

φ4(t)=DK[x(t-τ1(t))-x(t-τ2(t))]

注釋1:文獻(xiàn)[16-20]研究網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的時(shí)變采樣周期問題,但未考慮時(shí)變采樣周期的非均勻分布特性，且文獻(xiàn)[19]沒有考慮丟包問題．與文

獻(xiàn)[16-20]相比,文中考慮時(shí)變采樣周期的非均勻分布特性,因而所得結(jié)果更具有一般性．

注釋2:由式(8)可見,文中考慮了非均勻分布的時(shí)變采樣周期．事實(shí)上,如果選擇λ(t)≡1或λ(t)≡0,式(8)將退化為具有常數(shù)采樣周期h1或h2的情況．文中利用了采樣周期的更多信息,因此考慮非均勻分布的時(shí)變采樣周期可以得到更具有一般性的結(jié)果．

通過提出新的向量交叉積放大不等式,研究具有非均勻分布時(shí)變采樣周期的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)問題．新提出的放大不等式比現(xiàn)有的一些結(jié)果具有更小的保守性．

引理1[26]: 對于任意的對稱正定矩陣M∈Rn*n, 標(biāo)量r1

(9)

2 狀態(tài)反饋網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)

(10)

則系統(tǒng)(8)在均方意義下漸近穩(wěn)定,且相應(yīng)的H∞范數(shù)界為γ,控制器增益K=VTW-1．

證明:考慮如下的Lyapunov泛函

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)

(11)

式中：V1(t)=xT(t)Px(t)

且P,Q1,Q2,Q3,R1,R2,R3是對稱正定矩陣．

2xT(t)Pφ1(t)+2xT(t)PB2ω(t)

(12)

Q3-Q1)x(t-τm)-xT(t-η2)Q2x(t-η2)-xT(t-η1)Q3x(t-η1)

(13)

(14)

式中：Θ1=τmR1+(η2-τm)R2+(η1-τm)R3,且

(15)

從引理1可以得到

(16)

(17)

式中：φ1=x(t-τm)-x(t-τ2(t)),φ2=x(t-τ2(t))-x(t-η2)．

類似的可以得到：

(18)

式中：φ3=x(t-τm)-x(t-τ1(t))，φ4=x(t-τ1(t))-x(t-η1)．經(jīng)過合適的矩陣變換并利用Schur補(bǔ)引理,可以得到本定理的結(jié)果．證畢．

定理1考慮了時(shí)變采樣周期的非均勻分布特性．事實(shí)上,如果考慮丟包的非均勻分布特性,可以得到具有更少保守性的結(jié)果．

假設(shè)丟包是非均勻分布的,其中丟包隱含在了τ1(t)和τ2(t)中,且τ1(t)和τ2(t)的統(tǒng)計(jì)特性為：

(19)

(20)

定義隨機(jī)變量ρ1(t)和ρ2(t)：

(21)

(22)

利用Bernoulli分布的白序列描述隨機(jī)變量ρ1(t)和ρ2(t),可得：

(23)

(24)

如果考慮丟包的非均勻分布特性,式(17)轉(zhuǎn)化為：

(25)

式中：φ1=[x(t-τm)-x(t-τ2(t))]，

φ2=[x(t-τ2(t))-x(t-η2)].

類似的可以得到：

(26)

式中：φ3=x(t-τm)-x(t-τ1(t)),φ4=x(t-τ1(t))-x(t-η1).

結(jié)合定理1的證明以及式(25)和(26),可以得到以下改進(jìn)的鎮(zhèn)定準(zhǔn)則．

(27)

式中：

下面證明定理2比定理1具有更小的保守性．

推論1:如果定理1的鎮(zhèn)定準(zhǔn)則成立,則定理2的準(zhǔn)則也是可行的．

(28)

式中：Γ1為不等式(25)的不等號右側(cè)值,且

(29)

式中：Γ2為不等式(26)的不等號右側(cè)值, 且

注釋4:從定理2可見,文中充分利用了丟包的非均勻分布特性來處理向量交叉積放大不等式,且定理2改進(jìn)了定理1的結(jié)果．文獻(xiàn)[21-22]考慮了網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延的非均勻分布特性,但是未考慮丟包的非均勻分布特性,也未利用該特性處理向量交叉積放大不等式．如果利用丟包的非均勻分布特性來處理向量交叉積放大不等式,則文獻(xiàn)[21-22]中的結(jié)果可以進(jìn)一步改進(jìn),相應(yīng)的證明類似于定理2和推論1,此處略．

通過提出一個(gè)新的基于丟包分解的Lyapunov泛函,定理1和定理2的結(jié)果可以進(jìn)一步改進(jìn)．下面,對于系統(tǒng)(8),給出一個(gè)新的鎮(zhèn)定準(zhǔn)則．

(30)

式中：

(31)

則系統(tǒng)(8)均方漸近穩(wěn)定,且相應(yīng)的H∞范數(shù)界為γ,控制器增益K=VTW-1．

證明:限于篇幅,證明略．

注釋5:從定理1、2、3可見,對于一些給定的標(biāo)量,如果存在矩陣及標(biāo)量,使得式(10),(27)及(30)不等式成立,可得到控制器增益K=VTW-1．利用Matlab線性矩陣不等式工具箱求解不等式(10)、(27)及(30),很容易地得到矩陣V及W的值,進(jìn)而求出控制器增益K的數(shù)值解．對于已知的控制器增益K及非均勻分布的時(shí)變采樣周期,可以計(jì)算得到式(6)中的控制輸入u(t)．

3 仿真分析

例1:考慮如下開環(huán)不穩(wěn)定的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)

(32)

表1 對應(yīng)不同的H∞范數(shù)界γTable 1 H∞ norm bound γ for different

表2 對應(yīng)不同δ的H∞范數(shù)界γTable 2 H∞ norm bound γ for different δ

圖2 擾動輸入ω(t)的曲線Fig.2 Curve of the disturbance input ω(t)

圖3 采樣周期的切換順序Fig.3 Switching sequence of sampling periods

圖4 對象狀態(tài)及受控輸出曲線Fig.4 Curves of plant state and controlled output

4 結(jié)論

文中研究了具有非均勻分布的時(shí)變采樣周期,網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延和丟包的連續(xù)時(shí)間網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)問題．研究表明:

(1) 所構(gòu)造的基于丟包分解的Lyapunov泛函更具有一般性,且可以得到更容易實(shí)現(xiàn)的鎮(zhèn)定準(zhǔn)則.

(2) 理論推導(dǎo)及仿真結(jié)果表明,在處理向量交叉積放大不等式時(shí),利用丟包的非均勻分布特性可以得到具有更小保守性的結(jié)果.

(3) 數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提出的鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)方法的有效性．