王 波，鄭士昆，李洲洋，謝 卓

(1. 西安空間無線電技術(shù)研究所，陜西 西安 710100；2. 西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，陜西 西安 710072)

傘狀可展開天線作為一種新型可展開衛(wèi)星天線結(jié)構(gòu)形式，具有結(jié)構(gòu)簡單、可靠性高、形面精度可調(diào)整和制造成本低等優(yōu)點(diǎn)，近年來成為可展開衛(wèi)星天線研究的熱點(diǎn)，受到各國航天機(jī)構(gòu)的大力研究[1-2]．文獻(xiàn)[3]提出了一種緊湊的傘狀天線結(jié)構(gòu)，并分析了空間環(huán)境下的天線熱變形．文獻(xiàn)[4]建立了大型傘狀可展天線支撐肋自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程，并進(jìn)行了模態(tài)分析．文獻(xiàn)[5]建立了傘狀天線反射面索網(wǎng)模型，得到了天線形面誤差的變化規(guī)律．文獻(xiàn)[6]分析了在考慮預(yù)緊力時(shí)，傘狀天線動(dòng)力學(xué)的振動(dòng)特性．文獻(xiàn)[7]研究了傘狀天線轉(zhuǎn)動(dòng)副的可靠性．文獻(xiàn)[8]研究了傘狀天線張力索在溫度及重力作用下的穩(wěn)定性．文獻(xiàn)[9]運(yùn)用有限元分析方法對(duì)徑向支撐肋進(jìn)行了熱變形分析．綜上所述，現(xiàn)有研究內(nèi)容多集中于天線展開原理、整體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及索網(wǎng)分析方面，缺少針對(duì)徑向支撐肋的結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究．

徑向支撐肋作為傘狀天線最重要的結(jié)構(gòu)件，同時(shí)受到剛度和質(zhì)量兩方面的約束．支撐肋在反射面和張力索拉力作用下會(huì)產(chǎn)生彎曲變形[10]．若減小結(jié)構(gòu)尺寸、減輕質(zhì)量，會(huì)導(dǎo)致支撐肋剛度不足，難以保證反射器形面精度; 增大結(jié)構(gòu)尺寸，增加剛度，減小彎曲變形，會(huì)導(dǎo)致質(zhì)量增加．因此，在進(jìn)行支撐肋結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，需要研究如何在保證支撐肋剛度、使其不產(chǎn)生過大變形的條件下，盡量減小支撐肋的質(zhì)量．

為此，需要分析天線工作時(shí)支撐肋的受力狀態(tài)，采用結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，建立支撐肋結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型，對(duì)傘狀天線支撐肋進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，以獲取滿足要求的優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)，為傘狀天線結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供依據(jù)．

1 支撐肋結(jié)構(gòu)及受力分析

傘狀可展開天線主要由安裝在環(huán)形基座上的拋物線狀徑向支撐肋、連接相鄰兩肋的柔性張力索以及覆著于張力索上的柔性金屬反射面組成．傘狀天線結(jié)構(gòu)如圖1所示．

圖1 傘狀可展開天線圖2 傘狀可展開天線張力索結(jié)構(gòu)

柔性張力索包括前張力索、后張力索及縱向張力索．前、后張力索兩端固定于支撐肋上，中間通過縱向張力索相連接，如圖2所示．金屬反射面覆著于前張力索上．通過調(diào)整張力索的空間位置，可以使反射面近似形成所需的拋物面形狀，以滿足形面精度要求．

圖3 天線支撐肋受力及變形

2 支撐肋結(jié)構(gòu)的優(yōu)化建模

在張力索集中拉力和反射面均布拉力的作用下，天線支撐肋會(huì)產(chǎn)生一定的彎曲變形．若變形量過大，會(huì)造成張力索及反射面松弛，導(dǎo)致形面精度下降，使天線無法正常工作[13]．因此，需要在保證支撐肋變形滿足設(shè)計(jì)要求的前提下，使支撐肋具有盡量小的質(zhì)量，以滿足航天應(yīng)用需求．

為使支撐肋具有足夠的剛度，同時(shí)考慮方便加工和安裝，通常將支撐肋的截面取為圖4(a)所示的空心矩形．同時(shí)考慮支撐肋由根部到端部所受彎矩逐漸減小，可以采用變截面等壁厚的結(jié)構(gòu)形式減輕質(zhì)量，即支撐肋根部采用較大的截面尺寸，而端部采用較小的截面尺寸，如圖4(b)所示．

圖4 支撐肋結(jié)構(gòu)

根據(jù)圖4所示的支撐肋結(jié)構(gòu)，在滿足變形要求的前提下，建立以支撐肋質(zhì)量最小為優(yōu)化目標(biāo)，以支撐肋根部截面高度、根部截面寬度、縱向壁厚、橫向壁厚以及天線端部與根部截面尺寸比值為設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化模型，其表達(dá)式為

(1)

其中，f(x)為支撐肋質(zhì)量;v(x)為支撐肋單元體積;ρ為支撐肋材料密度;g1(x)為支撐肋端部變形約束;g2(x)為支撐肋端部高方向幾何約束，保證支撐肋端部高方向壁厚;g3(x)為支撐肋端部寬方向幾何約束，保證支撐肋端部寬方向壁厚;δ(x)為支撐肋端部變形; [δ]為支撐肋端部許用變形;x1為肋根部截面高度;x2為肋根部截面寬度;x3為肋根部截面寬方向壁厚;x4為肋根部截面高方向壁厚;x5為肋端部與根部截面尺寸的比值；ai和bi分別為變量xi取值范圍的下限和上限; 設(shè)計(jì)變量x= (x1，x2，x3，x4，x5)的取值范圍由天線實(shí)際結(jié)構(gòu)及需求確定．

3 支撐肋優(yōu)化模型求解

針對(duì)文中所建立的優(yōu)化模型，分別采用蒙特卡羅法[14-15]和復(fù)合形法[14，16]進(jìn)行優(yōu)化求解．

3.1 蒙特卡羅法優(yōu)化求解

采用蒙特卡羅法對(duì)支撐肋優(yōu)化模型進(jìn)行求解時(shí)，需要解決可行初始點(diǎn)選取、可行搜索方向計(jì)算和搜索步長取值等關(guān)鍵問題．

初始點(diǎn)可在滿足約束條件下采用隨機(jī)法產(chǎn)生．基于設(shè)計(jì)變量xi∈[ai，bi]，i=1，2，…，5，計(jì)算xs的各分量:

xi=ai+qi(bi-ai) ，i=1，2，…，5 ，

(2)

其中，qi為在區(qū)間(0，1)內(nèi)的均勻分布的隨機(jī)數(shù)．

若隨機(jī)點(diǎn)xs不滿足約束條件，則需要重新生成隨機(jī)數(shù)，直至xs滿足約束條件，并將其視作初始點(diǎn)．

在確定可行搜索方向時(shí)，采用隨機(jī)數(shù)rki(k=1，2，…，200，i=1，2，…，5)生成200個(gè)隨機(jī)單位向量ek，ek可表示為

按步長α0生成200個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，則有

xk=x0+α0·ek，k=1，2，…，200 ．

從xk中找出滿足約束條件的目標(biāo)函數(shù)值最小點(diǎn)的可行點(diǎn)xl，若f(xl)≥f(xs)，則需縮小步長α0，重新生成xk，直至f(xl)

按照可行搜索方向xs→xl，將xl作為新的起始點(diǎn)xs，進(jìn)行迭代搜索．迭代時(shí)步長α按下式計(jì)算:αw+1=ταw，其中，αw+1為第w+1 步迭代步長;αw為第w步迭代步長; 初始步長取α0= 0.1;τ為步長系數(shù)，加速進(jìn)時(shí)取1.3，加速退時(shí)取0.7．

其中，ε1為目標(biāo)函數(shù)值計(jì)算精度，取10-6;ε2為設(shè)計(jì)變量計(jì)算精度，取10-3．

3.2 復(fù)合形法優(yōu)化求解

采用復(fù)合形法進(jìn)行優(yōu)化求解的關(guān)鍵是解決初始復(fù)合形構(gòu)建和復(fù)合形搜索方法問題．

取復(fù)合形頂點(diǎn)數(shù)n為優(yōu)化變量數(shù)加1，即n=6．產(chǎn)生初始復(fù)合形時(shí)給定1個(gè)可行頂點(diǎn)，并采用式(2)所示的隨機(jī)法產(chǎn)生其余n-1 個(gè)頂點(diǎn)．對(duì)于隨機(jī)點(diǎn)中的非可行頂點(diǎn)xp按式(3)反復(fù)變換，直至滿足約束條件，生成初始復(fù)合形，即

xp=xo+0.5(xp-xo) ，p=1，2，…，m,

(3)

其中，m為非可行頂點(diǎn)數(shù)，xo為所有可行頂點(diǎn)的幾何中心．

利用反射法進(jìn)行復(fù)合形形狀優(yōu)化時(shí)，首先，要計(jì)算并比較復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，尋找最壞點(diǎn)xh，即

f(xh)=max{f(xq)，q=1，2，…，n} ．

然后，計(jì)算除點(diǎn)xh外的其余頂點(diǎn)的中心點(diǎn)xc，以xh→xc為搜索方向，尋找反射點(diǎn)xr，即

xr=xc+αt(xc-xh) ,

其中，αt為反射系數(shù)，此處取αt=1.3．

通過不斷調(diào)整反射系數(shù)αt的取值，尋找反射點(diǎn)xr，直到滿足反射成功條件:

當(dāng)復(fù)合形所有頂點(diǎn)與中心點(diǎn)的均方差滿足

(4)

收斂條件時(shí)，迭代結(jié)束．其中，xd為復(fù)合形n個(gè)頂點(diǎn)的幾何中心;ε3為目標(biāo)函數(shù)值計(jì)算精度，取10-6．

4 優(yōu)化計(jì)算結(jié)果及分析

天線支撐肋采用碳纖維材料，材料密度ρ=1.8×10-3g/mm3，彈性模量E= 9.0 GPa．支撐肋原始結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)如表1所示．

表1 支撐肋結(jié)構(gòu)參數(shù)mm

基于表1數(shù)據(jù)計(jì)算，得到支撐肋質(zhì)量為691.8 g．考慮天線支撐肋實(shí)際工作情況，忽略重力影響，計(jì)算在給定載荷下的端部變形為 2.98 mm．因此，限定優(yōu)化模型中肋端部可用變形量近似為 3.0 mm．考慮天線支撐肋強(qiáng)度條件、支撐肋間互不干涉條件、碳纖維加工工藝以及實(shí)際裝配要求等約束，確定優(yōu)化模型中各參數(shù)取值范圍如表2所示．

表2 支撐肋參數(shù)取值范圍mm

采用與原始結(jié)構(gòu)相同的載荷，基于表2給定的優(yōu)化變量取值范圍，分別用蒙特卡羅法和復(fù)合形法分別對(duì)支撐肋結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化．為了對(duì)比分析，增加了對(duì)x5= 1.0時(shí)的等截面支撐肋結(jié)構(gòu)優(yōu)化算例．計(jì)算結(jié)果如表3所示．

表3 支撐肋結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果

對(duì)比表3的支撐肋優(yōu)化結(jié)果與表2給定的變量取值范圍可以發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)行支撐肋結(jié)構(gòu)優(yōu)化時(shí)，不論采用等截面優(yōu)化還是變截面優(yōu)化，肋根部截面寬度x1、肋縱向壁厚x3和肋橫向壁厚x4都取到了取值范圍的下限，而肋根部截面高度x2則取到了較大的值．這表明寬度和壁厚對(duì)于支撐肋抵抗彎曲變形的能力貢獻(xiàn)不大，截面高度才是影響支撐肋抵抗彎曲變形能力的關(guān)鍵因素．要增強(qiáng)支撐肋的彎曲剛度，首先應(yīng)考慮增加肋的截面高度; 同時(shí)，在滿足結(jié)構(gòu)和功能要求的前提下，盡量減小寬度和壁厚以減輕質(zhì)量．

從表3數(shù)據(jù)可以看出，優(yōu)化后支撐肋的質(zhì)量明顯減輕:采用等截面結(jié)構(gòu)優(yōu)化后，支撐肋質(zhì)量較優(yōu)化前減少了約38.770%; 采用變截面結(jié)構(gòu)優(yōu)化后，支撐肋質(zhì)量較優(yōu)化前減少了約50.410%．相比等截面結(jié)構(gòu)形式，采用變截面結(jié)構(gòu)優(yōu)化的效果更為理想，在進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮．

從表3的計(jì)算結(jié)果可以看出，蒙特卡羅法和復(fù)合形法優(yōu)化計(jì)算結(jié)果是一致的．兩種優(yōu)化方法的計(jì)算收斂過程分別如圖5和圖6所示．分析收斂過程可以發(fā)現(xiàn)，蒙特卡羅法在計(jì)算過程中迭代誤差有振蕩現(xiàn)象，直到 938 s 才得到計(jì)算結(jié)果; 復(fù)合形法的迭代誤差則持續(xù)收斂，在 167 s 時(shí)就獲得了優(yōu)化結(jié)果．相比蒙特卡羅法，復(fù)合形法表現(xiàn)出更快的收斂速度和更強(qiáng)的穩(wěn)健性．因此，對(duì)于此類結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，應(yīng)優(yōu)先選用復(fù)合形法進(jìn)行問題求解．

圖5 蒙特卡羅法計(jì)算收斂過程圖6 復(fù)合形法計(jì)算收斂過程

5 結(jié) 束 語

文中以傘狀可展開天線支撐肋為研究對(duì)象，通過對(duì)支撐肋的結(jié)構(gòu)和受力分析，建立了支撐肋優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，并通過研究兩種優(yōu)化求解算法，得到了優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果．通過分析可以看出，優(yōu)化后支撐肋減重效果較為顯著．通過對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化結(jié)果的分析發(fā)現(xiàn):增加支撐肋截面高度和采用變截面結(jié)構(gòu)是支撐肋優(yōu)化的主要方向．文中的優(yōu)化方法也可以為其他同類型結(jié)構(gòu)件的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供有益的借鑒和參考．