趙剛 劉杰 王洪鑫 楊興發(fā) 文桂林

摘 要：針對工程結(jié)構(gòu)中所承受載荷幅值之間相差多個數(shù)量級，使用傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化方法所得結(jié)果中較小載荷傳遞路徑消失的荷載病態(tài)現(xiàn)象，提出一種簡單有效的敏度分層過濾策略.將各載荷以幅值大小進行分層，并計算各載荷對結(jié)構(gòu)對應的應變能數(shù)值.在此基礎(chǔ)上，引入比較判斷系數(shù)和放大應變能影響系數(shù)，將各靈敏度以大小進行分層，對不同層次靈敏度進行不同的過濾以取得多載荷作用下最佳材料布局.本文敏度分層過濾策略是在Solid Isotropic Material with Penahiation（SIMP）框架下提出的，并使用Optimality Criteria（OC）方法進行求解.使用二維和三維算例驗證了所提策略的有效性，表明該策略可以有效克服荷載病態(tài)現(xiàn)象，為結(jié)構(gòu)設(shè)計中得到完整傳力結(jié)構(gòu)布局提供重要指導.

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)優(yōu)化；荷載病態(tài)；SIMP方法；敏度分層過濾；拓撲優(yōu)化

中圖分類號：TH122；TU318.1 文獻標志碼：A

Abstract：To solve the phenomenon of load sickness in which the transfer path of the weak load disappears by using the traditional topology optimization method， a simple and effective strategy of sensitivity hierarchical filtering was proposed. The loads were stratified by magnitude， and the strain energy corresponding to the structure was calculated. On this basis， two coefficients were introduced， which were used for comparison and amplifying the influence of strain energy. Then， the sensitivities were stratified on the basis of degree， and the sensitivity of different stratification was filtered by different filters to obtain the optimal material layout under multiload. The strategy was proposed in the framework of SIMP and solved by OC method. Both twodimensional and threedimensional numerical examples were presented to show the effectiveness of the proposed strategy， demonstrating that the strategy can effectively overcome the phenomenon of load sickness， and provide important guidance for the completed structural force distribution of the structure.

Key words：structure optimization；load sickness；SIMP method；hierarchical sensitivity filtering；topology optimization

結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化是指在給定的載荷和約束條件下，通過改變結(jié)構(gòu)材料布局使結(jié)構(gòu)的目標性能達到最優(yōu)[1-4].與尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化相比[5-7]，結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化能夠在初始設(shè)計階段得到全新的構(gòu)型設(shè)計，獲得更大的經(jīng)濟效果，是近年來的研究熱點.連續(xù)體拓撲優(yōu)化應用范圍廣，模型構(gòu)造困難，設(shè)計變量多，計算量大，因此很長一段時間里發(fā)展十分緩慢.Bendsoe等人[8]首次提出一種連續(xù)體拓撲優(yōu)化方法——均勻化方法.隨后，連續(xù)體拓撲優(yōu)化得到了迅速發(fā)展，出現(xiàn)了SIMP法[9-11]、漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法[12-15]、水平集法[16-18]等.其中，SIMP法是在均勻化方法基礎(chǔ)上提出的，目前應用最廣泛.

在實際工程中，當結(jié)構(gòu)所受最大載荷與最小載荷相差懸殊時，優(yōu)化得到的拓撲結(jié)構(gòu)常常會出現(xiàn)小載荷的傳遞路徑模糊不清甚至完全消失的現(xiàn)象，從而導致優(yōu)化結(jié)構(gòu)與工程實際不符.這一現(xiàn)象與結(jié)構(gòu)分析時剛度相差懸殊導致的“總剛病態(tài)”類似，稱之為“荷載病態(tài)”[19-22].該問題目前研究較少.如果用減小閾值（單元設(shè)計變量小于閾值的單元被刪除，大于閾值的單元被保留）來保留傳遞小載荷的單元，則大載荷的弱區(qū)域也會受到影響，就會對最終整體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化形狀造成很大的改變，從而導致得不到最優(yōu)拓撲結(jié)構(gòu).王健等[19]采用分層優(yōu)化技術(shù)解決該問題，其基本思想是按載荷大小分為幾個層次，并從大到小分別進行優(yōu)化.第1層優(yōu)化時得到傳遞第1層載荷的結(jié)構(gòu)，第2層優(yōu)化時，去除第1層載荷，保留第1層優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)單元不變，并參與第2層結(jié)構(gòu)優(yōu)化計算，但這些單元不作為設(shè)計變量，對其余單元進行優(yōu)化計算，得到傳遞第2層載荷的結(jié)構(gòu)，依次類推，去除屬于前面的載荷，保留之前的優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)單元，用剩余單元優(yōu)化出傳遞較小載荷的結(jié)構(gòu)，直至結(jié)束.由于這種分層優(yōu)化方法只考慮每一層內(nèi)載荷相互作用的結(jié)果，因而不能綜合考慮全部載荷的共同作用效果，最終得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu)與原始優(yōu)化結(jié)構(gòu)有較大區(qū)別，并且也不便于對整體結(jié)構(gòu)的體積等條件進行約束.隋允康等[20-22]采用ICM應力全局化方法解決該問題，其基本思想是以結(jié)構(gòu)應變能作為權(quán)系數(shù)處理載荷，通過加權(quán)減小載荷間的差距，按修正的載荷計算最優(yōu)拓撲.由于這種方法本質(zhì)上是對小載荷進行放大計算，最終得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu)與原始的優(yōu)化結(jié)構(gòu)相差較大，對主要載荷的傳遞路徑有一定影響.Hu等人[23]建議采用應變能修改對應的載荷下體積分配來處理ESO法中的荷載病態(tài)問題.Cai等人[24-25]提出分數(shù)模常法，通過改變各載荷對應的應變能函數(shù)克服該問題.這兩種方法都是在分層優(yōu)化法和加權(quán)系數(shù)法的基礎(chǔ)上進行的改進.

本文在分析減小閾值法、分層優(yōu)化法、加權(quán)系數(shù)法等處理荷載病態(tài)的弊病后，提出了一種用應變能處理、敏度分層過濾解決“荷載病態(tài)”的策略.這種策略的好處在于能夠清晰顯示小載荷的傳遞路徑，同時適用于二維平面結(jié)構(gòu)和三維空間結(jié)構(gòu)，并且對多載荷共同作用得到的原始優(yōu)化結(jié)構(gòu)改變較小，克服了大多數(shù)方法為顯示小載荷路徑而改變整體結(jié)構(gòu)的劣勢.

1 多載荷下的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化模型

1.1 基于SIMP密度插值方式的拓撲優(yōu)化模型

2 利用敏度分層過濾克服荷載病態(tài)

2.1 荷載病態(tài)現(xiàn)象

實際工程中，結(jié)構(gòu)通常在復雜的受力情況下工作，不同載荷對結(jié)構(gòu)的要求有差別.在連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓優(yōu)化中，當結(jié)構(gòu)所受最大載荷與最小載荷相差多個數(shù)量級時，優(yōu)化所得結(jié)果中會出現(xiàn)小載荷傳遞路徑模糊不清甚至完全消失的現(xiàn)象，導致優(yōu)化結(jié)構(gòu)與工程實際不符.這一現(xiàn)象稱之為“荷載病態(tài)”.如圖1所示，圖1（a）為基結(jié)構(gòu)，P1為大載荷，P2為小載荷，載荷大小比例P2 /P1=1/1 000.在這種情況下，最優(yōu)拓撲結(jié)構(gòu)如圖1（b）所示，小載荷的傳遞路徑雖然被保留了，但是顯示模糊，導致無法制造.該現(xiàn)象出現(xiàn)的原因在于小載荷與大載荷對結(jié)構(gòu)的作用效果相差較大，因此小載荷傳遞路徑的單元拓撲值很小，在進行敏度過濾時，小載荷傳遞路徑周圍的單元應變能影響很小，因而得到的更新拓撲值也很小，結(jié)構(gòu)不能清晰顯示.小載荷傳遞路徑消失是由于在優(yōu)化算法中設(shè)定了閾值，當單元拓撲值小于閾值時則刪除該單元.如果用減小閾值法來保留傳遞小載荷的單元，則大載荷的弱區(qū)域也會被保留，從而導致最終整體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化形狀不夠清晰，不能得到最優(yōu)拓撲結(jié)構(gòu).

2.2 敏度分層過濾策略

針對荷載病態(tài)問題，敏度分層過濾策略是一種很有效的策略.敏度分層過濾策略的基本思想是：按幅值大小將載荷分為幾個層次，在每一次的迭代中，分別計算出各載荷對結(jié)構(gòu)各個單元對應的應變能數(shù)值，并進行靈敏度分析，通過比較判斷系數(shù)將各靈敏度以大小分層，對不同層次的靈敏度采用不同的敏度過濾，最終得到優(yōu)化結(jié)構(gòu)是多個載荷綜合作用的結(jié)果.下面以單工況兩個載荷為例來介紹該策略實現(xiàn)過程：

1） 建立有限元模型，設(shè)置載荷及邊界條件；

2） 采用有限元方法分析結(jié)構(gòu)響應；

3） 提取各載荷對每個單元的應變能c1、c2，其中c1是小載荷F1作用的應變能，c2是大載荷F2作用的應變能；

4） 對兩個載荷作用的應變能分別進行靈敏度分析得到d1、d2，其中d1是F1對應的靈敏度，d2是F2對應的靈敏度.d是兩個載荷共同作用的靈敏度分析結(jié)果，dn是全局敏度矩陣.

5） 通過判別條件將d1與d2進行比較，將靈敏度以數(shù)值大小分層，并選擇不同的過濾算法進行過濾；

6） 使用OC算法求解；

7） 更新設(shè)計變量x；

8） 檢查是否滿足優(yōu)化終止條件.若滿足，則優(yōu)化結(jié)束，若未達到終止條件，則返回至步驟2）.

敏度分層過濾流程圖如圖2所示.

在敏度分層過濾流程中，通過判別條件，將d1和d2進行比較，以數(shù)值大小將靈敏度分層，并選擇不同的過濾算法進行過濾.由于即使是在小載荷作用點處，大載荷的影響也可能比小載荷大，因此需要乘以一個系數(shù)a進行比較.當該判別條件不成立時，不改變過濾方式；當判別條件成立時，通過乘以加權(quán)系數(shù)b放大周圍單元應變能的影響，使得OC算法得到的拓撲值x放大.

通過分析與比較多種結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，系數(shù)a主要對載荷傳遞路徑有一些改變，系數(shù)a較大時，小載荷對路徑的影響較為明顯.系數(shù)b主要對拓撲值x的大小有影響，系數(shù)b較大時，最終顯示的結(jié)構(gòu)顏色黑白比較明顯.

3 數(shù)值算例

3.1 算例1

初始結(jié)構(gòu)為一300 mm×200 mm的長方形平面區(qū)域，左右兩邊受固定支撐，單工況內(nèi)受兩個載荷作用，載荷F1=1 000 N，作用于上邊界中點，方向向下，載荷F2=1 N，作用于下邊界中點，方向向上，如圖3所示，優(yōu)化體積系數(shù)f = 0.5.劃分60×40個矩形網(wǎng)格單元，使用敏度分層過濾策略前SIMP法優(yōu)化結(jié)果如圖4所示.采用不同的系數(shù)a、b進行敏度分層過濾優(yōu)化結(jié)果如圖5所示.

比較圖5（a）和圖5（b）可知，系數(shù)b越大，優(yōu)化結(jié)構(gòu)圖像越清晰，系數(shù)b主要影響拓撲值x的大??；比較圖5（a）和圖5（d）可知，系數(shù)a增大，小載荷傳遞路徑的影響增大，系數(shù)a主要改變小載荷傳遞路徑的影響.

圖4與圖5中各結(jié)構(gòu)最小應變能與計算迭代步數(shù)如表1所示，其中最小應變能未對灰度單元作調(diào)整.比較可知，使用敏度分層過濾策略對整體結(jié)構(gòu)的影響較小，結(jié)構(gòu)最小應變能隨著系數(shù)a增大而減小，隨著系數(shù)b增大而增大，并且系數(shù)a和b也能夠減少迭代步數(shù).

結(jié)合圖5和表1結(jié)果可知，在平面問題中，敏度分層過濾策略在改善圖形顯示的同時保留了原始優(yōu)化結(jié)構(gòu)，有效地處理了荷載病態(tài)問題，是合理可行的.

3.2 算例2

基本結(jié)構(gòu)為一180 mm×120 mm的長方形平面區(qū)域，左邊受固定支撐，兩個載荷同時作用，載荷F1=1 000 N，作用于右下角，方向向下，載荷F2=1 N，作用于右上角，方向向上，如圖6所示，優(yōu)化體積系數(shù)f =0.3，劃分60×40個矩形網(wǎng)格單元.使用SIMP法優(yōu)化結(jié)果如圖7（a）所示，使用敏度分層過濾策略優(yōu)化結(jié)果如圖7（b）所示.

由圖7可以發(fā)現(xiàn)，使用SIMP法優(yōu)化該結(jié)構(gòu)時，由于F1遠大于F2，導致F2的傳遞路徑幾乎消失.敏度分層過濾策略通過放大小載荷F2周圍單元應變能的影響，將F2的傳遞路徑有效地顯示.因此，使用敏度分層過濾策略在處理懸臂梁荷載病態(tài)問題時是有效可行的.

3.3 算例3

初始結(jié)構(gòu)為一600 mm×400 mm×40 mm的長方體三維區(qū)域，左右兩端面受固定支撐，受兩個載荷作用，載荷F1=1 000 N，作用于基結(jié)構(gòu)頂面中心，方向向下，載荷F2=1 N，作用于基結(jié)構(gòu)底面中心，方向向上，劃分60×40×4個長方體單元，如圖8所示，優(yōu)化體積系數(shù)f = 0.5.使用SIMP法的優(yōu)化結(jié)果如圖9（a）所示，使用敏度分層過濾策略后的拓撲優(yōu)化結(jié)果如圖9（b）所示.

由圖9（a）可以看出，SIMP法在處理三維荷載病態(tài)問題時，小載荷的傳遞路徑完全被刪除，所得優(yōu)化結(jié)構(gòu)不符合工程實際情況.

結(jié)合圖9（b）和圖4可以發(fā)現(xiàn)，在三維問題中，敏度分層過濾策略在處理荷載病態(tài)問題時能夠發(fā)揮很好的作用，小載荷的傳遞路徑被保留并清晰顯示，因此該策略在三維結(jié)構(gòu)優(yōu)化中也是有效可行的.

3.4 算例4

基本結(jié)構(gòu)為一120 mm×80 mm×8 mm的長方體三維懸臂梁，兩個載荷同時作用，載荷F1=1 000 N，作用于基結(jié)構(gòu)右下角棱邊中點，方向向下，載荷F2=1 N，作用于基結(jié)構(gòu)右上角棱邊中心處，方向向上，劃分60×40×4個長方體單元，如圖10所示，體積系數(shù)f = 0.4.SIMP法拓撲優(yōu)化結(jié)果如圖11（b）所示，敏度分層過濾策略處理結(jié)果如圖11（c）所示，加權(quán)系數(shù)法處理結(jié)果如圖11（d）所示.

載荷F1單獨作用、SIMP法、加權(quán)系數(shù)法和敏度分層過濾策略得到的最優(yōu)結(jié)構(gòu)最小應變能如表2所示，其中灰度單元應變能未調(diào)整.

由圖11和表2可知，在SIMP法中，只考慮了大載荷對結(jié)構(gòu)的影響，小載荷的作用被完全忽略；加權(quán)系數(shù)法較大地改變了原始構(gòu)型，對結(jié)構(gòu)的最小應變能影響較大；而使用敏度分層過濾策略不僅可以清晰完整地顯示出小載荷的傳遞路徑，且對結(jié)構(gòu)的最小應變能改變較小.結(jié)合算例2的優(yōu)化結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，由于敏度分層過濾策略在三維結(jié)構(gòu)中考慮的是球形區(qū)域內(nèi)單元應變能的影響，而在二維中考慮的是圓形區(qū)域內(nèi)單元應變能的影響，因此使用敏度分層過濾策略處理三維荷載病態(tài)問題的效果比二維更理想.

4 結(jié) 論

基于工程結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中的荷載病態(tài)問題，通過在傳統(tǒng)的SIMP方法中引入兩個關(guān)鍵系數(shù)，提出了一種敏度分層過濾策略.數(shù)值算例結(jié)果表明：

1）敏度分層過濾策略能夠得到較為清晰的結(jié)構(gòu)，顯示出小載荷的傳遞路徑，可有效地克服荷載病態(tài)問題；

2） 使用敏度分層過濾策略得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu)與SIMP法優(yōu)化結(jié)構(gòu)較為接近，結(jié)構(gòu)最小應變能改變較??；

3） 敏度分層過濾策略能夠同時適用于二維平面結(jié)構(gòu)與三維空間結(jié)構(gòu)，可以為工程中結(jié)構(gòu)荷載病態(tài)問題提供重要的指導作用.

參考文獻

[1] 羅震，陳立平，黃玉盈，等.連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設(shè)計[J].力學進展，2004，34（4）：463-476.

LUO Z，CHEN L P，HUANG Y Y，et al.Topological optimization design for continuum structures[J].Advances in Mechanics，2004，34（4）：463-476.（In Chinese）

[2] 夏天翔，姚衛(wèi)星.連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法評述[J].航空工程進展，2011，2（1）：1-11.

XIA T X，YAO W X.A survey of topology optimization of continuum structure[J].Advances in Aeronautical Science and Engineering，2011，2（1）：1-11.（In Chinese）

[3] DEATON J D，GRANDHI R V.A survey of structural and multidisciplinary continuum topology optimization：Post 2000[J].Structural and Multidisciplinary Optimization，2014，49（1）：1-38.

[4] 唐東峰，游世輝.基于可靠性的結(jié)構(gòu)動態(tài)拓撲優(yōu)化方法[J].湖南大學學報（自然科學版），2017，44（10）：62-67.

TANG D F，YOU S H.Reliabilitybased structural dynamic topology optimization method[J].Journal of Hunan University （Natural Sciences），2017，44（10）：62-67.（In Chinese）

[5] 周克民，李俊峰，李霞.結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化研究方法綜述[J].力學進展，2005，35（1）：69-76.

ZHOU K M，LI J F，LI X.A review on topology optimization of structures[J].Advances in Mechanics，2005，35（1）：69-76.（In Chinese）

[6] DEDE T，AYVAZ Y.Combined size and shape optimization of structures with a new metaheuristic algorithm[J].Applied Soft Computing，2015，28（S）：250-258.

[7] LI C，KIM I Y，JESWIET J.Conceptual and detailed design of an automotive engine cradle by using topology，shape，and size optimization[J].Structural & Multidisciplinary Optimization，2015，51（2）：1-18.

[8] BENDSOE M P，KIKUCHI N.Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method[J].Computer Methods，1988，711：197-224.

[9] SIGMUND O.A 99 line topology optimization code written in MATLAB[J].Structural & Multidisciplinary Optimization，2001，21（2）：120-127.

[10]BENDSE M P，SIGMUND O.Material interpolation schemes in topology optimization[J].Archive of Applied Mechanics，1999，69（9/10）：635-654.

[11]ZEGARD T，PAULINO G H.Bridging topology optimization and additive manufacturing[J].Structural & Multidisciplinary Optimization，2016，53（1）：175-192.

[12]XIE Y M，STEVEN G P.A simple evolutionary procedure for structural optimization[J].Computers & Structures，1993，49（5）：885-896.

[13]GHABRAIE K.The ESO method revisited[J].Structural & Multidisciplinary Optimization，2015，51（6）：1211-1222.

[14]LIU J，WEN G，XIE Y M.Layout optimization of continuum structures considering the probabilistic and fuzzy directional uncertainty of applied loads based on the cloud model[J].Structural and Multidisciplinary Optimization，2016，53（1）：81-100.

[15]LIU J，WEN G，QING Q，et al.An efficient method for topology optimization of continuum structures in the presence of uncertainty in loading direction[J].International Journal of Computational Methods，2016：1750054.

[16]WANG M Y，WANG X，GUO D.A level set method for structural topology optimization[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2003，192（1）：227-246.

[17]榮見華.一種改進的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化水平集方法[J].力學學報，2007，39（2）：253-260.

RONG J H.An improved level set methed for structural topology optimization[J].Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2007，39（2）：253-260.（In Chinese）

[18]COFFIN P，MAUTE K.A levelset method for steadystate and transient natural convection problems[J].Structural & Multidisciplinary Optimization，2016，53（5）：1047-1067.

[19]王健，程耿東.多工況應力約束下連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計[J].機械強度，2003，5（1）：55―57.

WANG J，CHENG G D.Topology optimization design of the continuum structure for multiple loading conditions with stress constraints[J].Journal of Mechanical Strength，2003，5（1）：55-57.（In Chinese）

[20]隋允康，楊德慶，王備.多工況應力和位移約束下連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化[J].力學學報，2000，32（2）：171―179.

SUI Y K，YANG D Q，WANG B.Topological optimization of continuum structure with stress and displacement constraints under multiple loading cases [J].Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2000，32（2）：171-179.（In Chinese）

[21]楊德慶，隋允康.多工況應力約束下連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化映射變換解法[J].上海交通大學學報，2000，34（8）：1061-1065.

YANG D Q，SUI Y K.Mapping transformation method for topology optimization of continuum structures under multiple loading cases and stress constraints[J].Journal of Shanghai Jiaotong University，2000，34（8）：1061-1065.（In Chinese）

[22]隋允康，彭細榮，葉紅玲.ICM應力全局化方法克服連續(xù)體拓撲優(yōu)化的荷載病態(tài)[J].工程力學，2009，26（6）：1-9.

SUI Y K，PENG X R，YE H L.Load sickness treatment in topology optimization of continuum structure by ICM method with stress globalization[J].Engineering Mechanics，2009，26（6）：1-9.（In Chinese）

[23]HU X G，CHENG H M，TAO Y.Modified rejection ratio for multiple load cases evolutionary structural optimization[J].Procedia Engineering，2012，31（1）：627-633.

[24]CAI K，SHI J，ZHANG A.Stiffness design of a continuum under illload cases by fractionalnorm objective formulation[J].Optimization & Engineering，2014，15（4）：927-944.

[25]CAI K，CAO J，SHI J，et al.Layout optimization of illloaded multiphase bimodulus materials[J].International Journal of Applied Mechanics，2016，8（3）：1650038.

[26]左孔天，陳立平，鐘毅芳，等.基于人工材料密度的新型拓撲優(yōu)化理論和算法研究[J].機械工程學報，2004，40（12）：31-39.

ZUO K T，CHEN L P，ZHONG Y F，et al.New theory and algorithm research about topology optimization based on artificial material density[J].Chinese Journal of Mechanical of Mechanical Engineering，2004，40（12）：31-39.（In Chinese）

[27]ANDREASSEN E，CLAUSEN A，SCHEVENELS M，et al.Efficient topology optimization in MATLAB using 88 lines of code[J]. Structural & Multidisciplinary Optimization，2011，43（1）：1-16.

[28]LIU K，TOVAR A. An efficient 3D topology optimization code written in MATLAB[J].Structural & Multidisciplinary Optimization，2014，50（6）：1175-1196.

[29]WANG H，LIU J，QIAN X，et al.Continuum structural layout in consideration of the balance of the safety and the properties of structures[J].Latin American Journal of Solids & Structures，2017，4（6）：1146-1172.