丁浩 李科 周小平 畢靖 練焱堅 徐瀟

摘 要：

公路隧道襯砌裂縫作為公路隧道的主要病害，其問題日益突出，尤其是帶裂紋工作襯砌的等級評價略顯不足。為研究公路隧道帶裂縫二次襯砌在受荷載作用下裂紋擴展規(guī)律，用離散元PFC軟件對襯砌裂紋擴展規(guī)律進行數(shù)值模擬研究，揭示隧道襯砌中裂紋開裂的災(zāi)演機理，根據(jù)襯砌開裂狀態(tài)進行病理災(zāi)害分析，并建立了相應(yīng)的預(yù)測模型。襯砌的整體安全性受預(yù)置裂紋的影響，預(yù)置裂紋處往往是襯砌中較危險的位置；預(yù)置裂紋的深度對裂紋貫通時間有較大影響，隨著預(yù)置裂紋深度的增加，預(yù)置裂紋貫通襯砌的時間逐漸減?。活A(yù)置裂紋的深度對裂紋張開度的變化有較大影響，隨著預(yù)置裂紋深度的增加，預(yù)置裂紋張開度逐漸增大，并在貫通襯砌時有明顯的突變，這樣便于確定襯砌治理時機。

關(guān)鍵詞：

公路隧道；襯砌裂紋；PFC；擴展機理；寬度

中圖分類號：U458.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：16744764（2018）05008606

收稿日期：20170615

基金項目：

國家重點研發(fā)計劃（2016YFC0802201）； 國家自然科學(xué)基金（41601574）； 重慶基礎(chǔ)科學(xué)與前沿技術(shù)研究重點項目（cstc2015jcyjBX0118）； 西藏自治區(qū)自然科學(xué)基金（2016XZ01G31）

作者簡介：

丁浩（1978），男，主要從事隧道工程研究，Email：dinghao@cmhk.com。

周小平（通信作者），男，教授，博士生導(dǎo)師，Email： zhouxiaopinga@sina.com。

Received：20170615

Foundation item：

National Key Research and Development Program （No. 2016YFC0802201）； National Natural Science Foundation of China （No. 41601574）；Key Program of Basic Science and Advanced Technology Research of Chongqing （No. cstc2015jcyjBX0118）； National Natural Science Foundation of Tibet（No. 2016XZ01G31）

Author brief：

Ding Hao（1978）， main research interest： tunnel engineering， Email： dinghao@cmhk.com.

Zhou Xiaoping（corresponding author）， professor， doctoral supervisor， Email： zhouxiaopinga@sina.com.

Numerical investigation on the fracture propagation

mechanism of highway tunnel lining

Ding Hao1，Li Ke1，Zhou Xiaoping2，Bi Jing2，Lian Yanjian2，Xu Xiao2

（1.National Engineering and Research Center for Mountainous Highways， Chongqing 400060，P.R.China；

2.School of Civil Engineering， Chongqing University， Chongqing 400045，P.R.China）

Abstract：

As the major flaw of highway tunnels， lining cracks of highway tunnels is increasingly seriously. In order to study the mechanism of crack propagation in highway tunnels under loading， this article conducts numerical simulation on the crack propagation with discrete element software PFC， demonstrating the disaster mechanism of crack propagation in highway tunnels，and establishing the corresponding prediction models. The results showed that： integral safety of lining is subject to preexisting flaws， and the positions of preexisting flaws are generally relatively more dangerous in lining； the depth of preexisting flaws plays an important role in the timing of crack coalescence，i.e.，the deeper the preexsiting flaws are， the less time is needed to achieve crack coalescence in the lining； the depth of preexsiting flaws has a great influence on the variation of crack opening， i.e. the deeper preexsiting flaws are， the increasing opening those fracture apertures will be， and there is an obvious abrupt change when the flaws coalesce.

Keywords：

highway tunnels； cracks of lining； PFC； mechanism of crack propagation

據(jù)截止2013年底，中國公路隧道已有11 359座，總長度達(dá)9 609 km。雖然，隧道在建成之后很長時間內(nèi)的安全問題是可以預(yù)見的，但是，在日本、臺灣、新西蘭和中國，一些隧道由于受到蠕變、巖石風(fēng)化、滑坡和地下水滲流作用，還是產(chǎn)生了很多不可預(yù)計的變形和裂縫[17]。

襯砌裂紋是公路隧道主要的病害之一[810]，隧道襯砌開裂會降低隧道承載能力，破壞隧道結(jié)構(gòu)安全可靠性和穩(wěn)定性，影響隧道正常使用，甚至?xí)＜靶熊嚭腿松戆踩Ｄ壳?，專家們對于隧道損傷破壞做了大量研究，方利成等[11]將現(xiàn)場實際裂縫通過圖文直觀地表示出來，為隧道裂紋的研究提供了基礎(chǔ)。Charpentier等[12]認(rèn)為地下工程開挖導(dǎo)致初始應(yīng)力的重分布并誘發(fā)裂隙，實驗研究了開挖隧道內(nèi)近場微裂紋的形成機理。李占海等[13]研究了側(cè)壓力系數(shù)對馬蹄形隧道圍巖損傷破壞的影響，認(rèn)為側(cè)壓力系數(shù)明顯影響隧道圍巖的損傷機制，當(dāng)側(cè)壓力系數(shù)較小時，初始損傷分布以拱腳、拱肩和拱頂位置為主；當(dāng)側(cè)壓力系數(shù)較大時，初始損傷以拱頂?shù)睦鞊p傷為主；拱頂垂直方向的位移隨側(cè)壓力系數(shù)的增大而減小，且隨埋深的增加而增大。楊建平等[14]研究了二襯支護時機對小凈距隧道穩(wěn)定性的影響。方建勤等[15]研究了隧道埋深對二襯支護時機的影響。周勇[16]提出了確定隧道二襯支護時機的數(shù)值計算方法。在現(xiàn)場監(jiān)測方面，文獻(xiàn)[1618]提出利用現(xiàn)場監(jiān)測來選擇合理的支護時機。來弘鵬等[19]通過相似模型試驗研究了不同地應(yīng)力作用下公路隧道不同襯砌斷面形式的受力性狀，并分析了地應(yīng)力以及不同襯砌斷面形式對襯砌結(jié)構(gòu)受力性狀產(chǎn)生的影響。

另有研究表明，偏壓荷載極易造成隧道襯砌開裂。周曉軍等[20]基于相似理論，以渝懷鐵路漁塘灣隧道為模型，結(jié)合其所處的地質(zhì)順層偏壓特點，對地質(zhì)順層巖體應(yīng)用于隧道襯砌結(jié)構(gòu)上的偏壓荷載進行模擬，初步得到地偏壓隧道周圍巖石壓力的分布特征及其與順層傾角之間的關(guān)系，并探討了順層巖體隧道結(jié)構(gòu)的形式和相應(yīng)的支護措施。認(rèn)為與順層巖層下盤接觸的隧道邊墻與拱肩部位最易破壞。肖林萍等[21]基于廣州—惠州高速公路小金口雙連拱隧道工程，在 II、III類圍巖條件下，運用試驗手段研究了雙連拱隧道的施工方法、結(jié)構(gòu)內(nèi)力樣式及圍巖穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)隧道二次襯砌的內(nèi)力分布規(guī)律為：對于軸力而言，隨著上部荷載的增加，二次襯砌的軸力增大，仰拱與邊墻結(jié)合處所受到的軸力最大，仰拱與拱頂所受的軸力其次。同時，仰拱與邊墻結(jié)合處所受的彎矩也是最大，拱肩與邊墻腳處受拉，仰拱、邊墻及仰拱受壓，并由此提出“中導(dǎo)坑擴展法”這種新的施工方法，對雙連拱隧道的設(shè)計與施工具有重要參考價值。在隧道襯砌抗凍方面，謝紅強等[22]基于鷓鴣山隧址區(qū)水文、地質(zhì)條件，結(jié)合現(xiàn)場對隧道主體結(jié)構(gòu)及圍巖溫度的監(jiān)測測試研究及結(jié)構(gòu)和圍巖的熱力試驗與數(shù)值模擬。得到寒冷地區(qū)隧道結(jié)構(gòu)及圍巖溫度場的變化規(guī)律，從而為隧道的抗防凍設(shè)計提供參考。Zhou等[2325]針對隧道圍巖裂紋損傷演化進行了大量的理論與數(shù)值研究。

上述成果較為系統(tǒng)地研究了隧道襯砌的穩(wěn)定性。但是，并沒有針對帶裂紋襯砌不同預(yù)制深度條件下裂紋擴展機理進行研究。本文利用PFC離散元顆粒流軟件，基于隧洞開挖卸荷效應(yīng)[2628]揭示了公路隧道含裂隙的二襯中應(yīng)力分布規(guī)律和裂紋的擴展機理，并對初始裂紋不同預(yù)制深度條件下裂紋擴展規(guī)律進行了對比分析，揭示了帶裂紋襯砌的損傷演化規(guī)律。

1 顆粒流概述

顆粒離散元（PFC）是一種基于離散元理論和顯示差分算法而開發(fā)出來的計算機技術(shù)。其從基本粒子微觀結(jié)構(gòu)角度出發(fā)，認(rèn)定粒子之間接觸狀態(tài)決定介質(zhì)的基本特性。

顆粒流模擬材料的本構(gòu)模型是通過接觸本構(gòu)模型來實現(xiàn)的，接觸本構(gòu)模型分為以下3種：1）接觸剛度模型；2）接觸滑動模型；3）黏結(jié)模型。接觸本構(gòu)模型是接觸本構(gòu)關(guān)系中最基本的一種模型，它是在顆粒接觸力與相對位移之間規(guī)定彈性關(guān)系。接觸剛度模型由兩種接觸模型構(gòu)成，線性模型和簡化的HertzMindin非線性接觸模型。簡化的HertzMindin非線性接觸模型僅適用于模擬顆粒體系無黏結(jié)、小變形和只受壓應(yīng)力的情況。除了以上幾種情況，通常情況一般使用線性模型。因此，本文主要介紹線性剛度模型。線性剛度模型由兩個接觸實體（球體與球體或者球體與墻體）的法向剛度和切向剛度定義，認(rèn)為兩個接觸實體的剛度串聯(lián)在一起相互作用。采用此方法可以模擬材料中拉伸裂紋和剪切裂紋的起裂、擴展和連接過程。

2 試樣生成與參數(shù)選取

在PFC中，通過對細(xì)觀顆粒合成材料賦予變形和強度等參數(shù)，可以得到任意物理力學(xué)特征的模型，比如變形特性、強度特性等。為了得到模型符合期望的宏觀物理力學(xué)行為，就必須聯(lián)系模型某種力學(xué)特性和一系列與之有關(guān)系的材料參數(shù)特征即細(xì)觀物理參數(shù)。這樣就可以在固定顆粒尺寸和邊界條件前提下，通過單軸、雙軸或者巴西劈裂等數(shù)值模型試驗標(biāo)定細(xì)觀與宏觀的近似關(guān)系，如圖1所示。本文采用單軸壓縮試驗擬合巖石的宏觀參數(shù)（楊氏模量、單軸抗壓強度和泊松比），從而確定顆粒和黏結(jié)的微觀參數(shù)。

3 數(shù)值模擬分析

在數(shù)值模型的建立過程中，先建立由四面wall構(gòu)成的box空間，然后，設(shè)置顆粒的半徑和摩擦系數(shù)和孔隙比，在box的空間內(nèi)生成顆粒小球，待模型穩(wěn)定后，賦予顆粒黏結(jié)強度，采用平行黏結(jié)，隧道圍巖采用點黏結(jié)，然后進行開挖，實現(xiàn)開挖卸荷條件下隧道襯砌中裂紋的擴展過程模擬。

建模完成后，由于隧道襯砌易在拱腰處產(chǎn)生裂紋，采用fish語言建立初始裂紋，針對帶裂縫襯砌損傷演化進行數(shù)值模擬，位置如圖4所示。預(yù)置了3種裂紋，其寬度為2 mm，深度分別為300、400、500 mm。在隧道的埋深為27 m，隧道圍巖為Ⅴ級，混凝土等級為C30條件下，根據(jù)公路隧道襯砌設(shè)計規(guī)范計算豎向荷載為464.17 kPa，水平荷載為11452 kPa。

圖5表示預(yù)置裂紋的寬度為2 mm，深度為400 mm的裂紋擴展規(guī)律和襯砌的破壞過程。其中，黑線表示預(yù)設(shè)裂紋，紅線為擴展的拉伸裂紋（未出現(xiàn)剪切裂紋）。由圖5可知：在計算步達(dá)到163 000時，隧道襯砌右側(cè)拱肩處開裂，然后向襯砌深部擴展，并在176 000計算步時貫通襯砌。當(dāng)計算步達(dá)到187 000步時，預(yù)置裂紋起裂，隨著計算步的增加，裂紋與水平方向夾角大致呈40°向襯砌深部擴展，并在198 000計算步時發(fā)生貫通。當(dāng)計算步達(dá)到218 000和243 000時，分別在襯砌拱頂及拱腳處出現(xiàn)貫通裂隙，并且裂隙數(shù)目穩(wěn)定，不再繼續(xù)增加。

由上述分析可知，拉應(yīng)力導(dǎo)致拉伸裂紋（圖5黑圈處）的產(chǎn)生，算例中并未出現(xiàn)剪切裂紋，說明襯砌破壞的主要原因為拉應(yīng)力。首先，初始裂紋的起裂并未發(fā)生在預(yù)置裂紋的尖端，說明襯砌拱肩內(nèi)側(cè)是拉應(yīng)力最大的位置。其次，受到預(yù)置裂紋的影響，左側(cè)拱腰處也是較為危險的位置，在針對襯砌裂紋治理時，應(yīng)予以重點考慮。

本文研究的內(nèi)容是針對含裂隙的襯砌，經(jīng)過計算，獲得了裂隙張開度隨計算步的變化曲線（見圖6）。

圖6為裂隙張開度為2 mm，深度分別為300、400、500 mm時，裂隙張開度隨時間的變化曲線。當(dāng)預(yù)置裂隙深度為300 mm時，裂隙張開度在6 000計算步時開始增加；隨著計算的進行張開度逐漸增大并穩(wěn)定在0.4 mm左右，最后，在裂隙發(fā)生貫通時并未產(chǎn)生張開度的跳躍式發(fā)展。當(dāng)裂隙深度為400 mm時，裂隙張開度在10 000計算步時開始緩慢增加，沒有明顯的突變；在187 000計算步時，預(yù)置裂紋開始擴展，張開度明顯增加；在198 000計算步時，預(yù)置裂紋貫通襯砌，產(chǎn)生跳躍式變化。與深度為300 mm的預(yù)置裂紋的張開度隨計算步的變化曲線對比分析可知，當(dāng)預(yù)置裂隙深度為400 mm時，襯砌的安全性有較大幅度的降低。當(dāng)預(yù)置裂隙深度為500 mm時，預(yù)置裂隙的張開度在6 000計算步時開始增加，并且有較明顯的突變；在167 000計算步時，預(yù)置裂紋開始擴展，張開度明顯增加；在178 000計算步時，預(yù)置裂紋貫通襯砌，產(chǎn)生跳躍式變化，且增量值明顯大于上述兩個算例。圖6表明，預(yù)置裂紋深度對襯砌破壞的時間和裂隙的張開度有較大影響，在實際工程中應(yīng)予以重視，并在裂隙貫通襯砌前進行修復(fù)處理，以保證隧道安全。對比李治國等[30]對裂紋的判定標(biāo)準(zhǔn)可知，本文案例中裂紋深度的擴展規(guī)律及對隧道襯砌張開度的影響規(guī)律與判定標(biāo)準(zhǔn)中的基本一致。

4 結(jié)論

1）襯砌破壞的主要原因為拉應(yīng)力，初始裂紋起裂并未發(fā)生在預(yù)置裂紋尖端，而是發(fā)生在襯砌拱肩內(nèi)側(cè)，說明襯砌拱肩內(nèi)側(cè)是拉應(yīng)力最大的位置，受預(yù)置裂紋的影響，左側(cè)拱腰處也是較為危險的位置。

2）預(yù)置裂紋的深度對裂紋貫通時間有較大影響，隨著預(yù)置裂紋深度的增加，預(yù)置裂紋貫通襯砌的時間逐漸減小。

3）預(yù)置裂紋的深度對裂紋張開度的變化有較大影響，隨著預(yù)置裂紋深度的增加，預(yù)置裂紋張開度逐漸增大，并在貫通襯砌時有明顯突變，這樣便于確定襯砌治理時機，對公路隧道安全評價有較好的理論支持。

參考文獻(xiàn)：

[1] AYDAN O. Crustal stress changes and characteristics of damage to geoengineering structures induced by the Great East Japan Earthquake of 2011 [J]. Bulletin of Engineering Geology & the Environment，2015， 74： 10571070.

[2] CHIU Y C， WANG T T， HUANG T H. Investigating continual damage of a nineteenth century masonry tunnel [J]. Proceedings of the IceForensic Engineering， 2014， 167 ：109118.

[3] LEE C H， CHIU Y C， WANG T T， et al. Application and validation of simple imagemosaic technology for interpreting cracks on tunnel lining [J]. Tunnelling & Underground Space Technology， 2013， 34（1）：6172.

[4] LEE C H， WANG T T. Invert anomalies in operational rock tunnels： appearance， causes， and countermeasures [J]. Journal of Performance of Constructed Facilities， 2016， 30（3）：04015048.

[5] PHILLIPS J. A quantitative evaluation of the sustainability or unsustainability of three tunnelling projects [J]. Tunnelling and Underground Space Technology， 2016， 51：387404.

[6] WU H N， HUANG R Q， SUN W J， et al. Leaking behavior of shield tunnels under the Huangpu River of Shanghai with induced hazards [J]. Natural Hazards， 2014， 70（2）：11151132.

[7] AMORIM D L N D， PROENCA S P B， FLOREZLOPEZ J. Simplified modeling of cracking in concrete： Application in tunnel linings [J]. Engineering Structures， 2014， 70（9）：2335.

[8] BIAN K， LIU J， XIAO M， et al. Cause investigation and verification of lining cracking of bifurcation tunnel at Huizhou Pumped Storage Power Station [J]. Tunnelling & Underground Space Technology， 2016， 54（27）：123134.

[9] RICHARDS J A. Inspection， maintenance and repair of tunnels： international lessons and practice [J]. Tunnelling & Underground Space Technology， 1998， 13（4）：369375.

[10] ULUSAY R， AYDAN O， GENIS M， et al. Stability assessment of avanos underground congress centre （Cappadocia， Turkey） in soft tuffs through an integrated scheme of rock engineering methods [J]. Rock Mechanics & Rock Engineering， 2013， 46（6）：13031321.

[11] 方利成，杜彬，張曉峰.隧道工程病害防治圖集[M].北京：中國電力出版社， 2001：5372.

FANG L C， DU L， ZHANG X F. Atlas of disease prevention and control of tunnel engineering [M]. Beijing：China Electric Power Press，2001：5372.（in Chinese）

[12] CHARPENTIER D， TESSIER D， CATHELINEAU M.Shale microstructure evolution due to tunnel excavation after 100 years andimpact of tectonic paleofracturing：Case of Tournemire， France [J]. Engineering Geology， 2003， 70（1/2）： 5569.

[13] 李占海， 朱萬成， 馮夏庭，等. 側(cè)壓力系數(shù)對馬蹄形隧道損傷破壞的影響研究[J]. 巖土力學(xué)， 2010， 31（Sup2）：441448， 468.

LI Z H， ZHU W C， FENG X T， et al. Effect of lateral pressure coefficients on damage and failure process of horseshoeshaped tunnel [J]. Rock and Soil Mechanics， 2010， 31（Sup2）：441448， 468. （in Chinese）

[14] 楊建平，陳衛(wèi)忠.小凈距公路隧道支護時機對圍巖穩(wěn)定性影響研究[J]. 巖土力學(xué)，2008，29（2）： 483490.

YANG J P， CHEN W Z. Effect of supporting time on stability of small spacing roadway tunnel [J]. Rock and Soil Mechanics， 2008，29（2）： 483490.（in Chinese）

[15] 方建勤， 夏才初. 隧道埋深對二襯合理支護時機影響分析[J]. 地下空間與工程學(xué)報， 2011， 7（2）： 263268.

FANG J Q， XIA C C. Analysis on relationship between tunnel depth and supporting time of secondary liner [J]. Chinese Journal of Underground Space and Engineering， 2011， 7（2）： 263268.（in Chinese）

[16] 周勇.巖體流變情況下隧道合理支護時機的數(shù)值模擬[J]. 巖土力學(xué)， 2012， 33（1）： 268273.

ZHOU Y. Numerical simulation for appropriate lining time of tunnel considering rock mass rheological conditions [J]. Rock and Soil Mechanics， 2012， 33（1）： 268273. （in Chinese）

[17] 李曉紅，靳曉光. 初期支護對軟巖隧道圍巖穩(wěn)定性和位移影響分析[J]. 巖土力學(xué)， 2005， 26（8）： 12071210.

LI X H， JIN X G. Discussion on influence of initial support to stability and deformation of surrounding rock mass in soft rock tunnel [J]. Rock and Soil Mechanics， 2005，26（8）： 12071210. （in Chinese）

[18] 劉寧.深埋隧洞開挖圍巖應(yīng)力演化過程監(jiān)測及特征研究[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報， 2011， 30 （9）：17291737.

LIU N. Monitoring and characteristics study of stress evolution of surrounding rock during deep tunnel excavation [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2011，30 （9）：17291737. （in Chinese）

[19] 來弘鵬， 謝永利， 楊曉華. 公路隧道襯砌斷面型式模型試驗研究[J]. 巖土工程學(xué)報 ， 2006， 28（6）：740744.

LAI H P， XIE Y L， YANG X H. Model test study on sectional form of highway tunnel lining [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2006， 28（6）：740744. （in Chinese）

[20] 周曉軍， 高楊， 李澤龍， 等. 地質(zhì)順層偏壓隧道圍巖壓力及其分布特點的試驗研究[J]. 現(xiàn)代隧道技術(shù)， 2006 43（1）：1221.

ZHOU X J， GAO Y， LI Z L， et al. Experimental study on the uneven rock pressure and its distribution applied on a tunnel embedded in geologically bedding strata [J]. Modem Tunnelling Technology， 2006，43（1）：1221.（in Chinese）

[21] 肖林萍， 趙玉光， 申玉生. 雙連拱隧道結(jié)構(gòu)內(nèi)力樣式及圍巖穩(wěn)定性模型試驗研究[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報， 2006， 24（23）： 43464351.

XIAO L P， ZHAO Y G， SHEN Y S. Model experimental study on style of structrual internal force and stability of surrounding rock in doublearch tunnel [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2006，24（23）： 43464351. （in Chinese）

[22] 謝紅強， 何川， 李永林. 寒區(qū)隧道結(jié)構(gòu)抗防凍試驗研究及仿真分析[J]. 公路， 2006（2）： 184188.

XIE H Q， HE C， LI Y L. A Study on frost resistance test of tunnel structure in cold areas and numerical simulation [J]. Highway， 2006（2）： 184188. （in Chinese）

[23] BI J， ZHOU X P. Numerical simulation of zonal disintegration of the surrounding rock masses around a deep circular tunnel under dynamic unloading [J]. International Journal of Computational Methods， 2015， 12（3）： 1550020.

[24] ZHOU X P， BI J. Zonal disintegration mechanism of crossanisotropic rock mass around a deep circular tunnel under dynamic unloading [J]. Theoretical and Applied Fracture Mechanics， 2012， 60（1）： 1522.

[25] ZHOU X P， BI J， QIAN Q H. Numerical simulation of crack growth and coalescence in rocklike materials containing multiple preexisting flaws [J]. Rock Mechanics and Rock Engineering， 2015，48（3）：10971114.

[26] 侯公羽. 基于開挖卸荷效應(yīng)的地鐵隧道施工過程數(shù)值分析[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報， 2013， 32（1）：29152924.

HOU G Y. Numerical analysis of subway tunnel construction process based on excavation unloading effect [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2013， 32（1）：29152924. （in Chinese）

[27] 高峰.隧道開挖模擬的支撐荷載法研究[J]. 中國公路學(xué)報， 2010， 23（4）： 7077.

GAO F. Research on support load method in simulation of tunnel excavation [J]. China Journal of Highway and Transport， 2010， 23（4）： 7077. （in Chinese）

[28] 李治國， 張玉軍. 襯砌開裂隧道的穩(wěn)定性分析及治理技術(shù)[J]. 現(xiàn)代隧道技術(shù)， 2004， 41（1）：2631.

LI Z G， ZHANG Y J. Stability analysis for tunnels with cracked linings and the techniques for repairing the cracked linings [J]. Moden Tunnelling Technology， 2004， 41（1）：2631. （in Chinese）

（編輯 王秀玲）