鐘淑燕 周永慶

“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”是義務(wù)教育課教科書六年級上冊第三單元“分?jǐn)?shù)除法”中的內(nèi)容，一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算，包括整數(shù)除以分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)兩種情況。在教材例2中，解決“誰走得快一些”這一實(shí)際問題的過程中，自然列出兩個(gè)算式，列式的依據(jù)是“路程÷時(shí)間=速度”的數(shù)量關(guān)系，與以前不同的是路程、時(shí)間由整數(shù)變成了分?jǐn)?shù)。由于學(xué)生對數(shù)量關(guān)系比較熟悉，所以學(xué)生對列出除法算式不會感到困難，本節(jié)課的重點(diǎn)是理解一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算算理。在教學(xué)中，我從以下幾方面進(jìn)行思考：

一、巧用“猜想”，引發(fā)“思考”

讓學(xué)生在計(jì)算中學(xué)會“數(shù)學(xué)思考”是數(shù)學(xué)追求的理想和境界，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)要求，而 “猜想”不僅能引發(fā)學(xué)生的“思考”，還可以激發(fā)學(xué)生求知的欲望。教師出示例2的情境圖，學(xué)生在理解題意的基礎(chǔ)上，很快就能根據(jù)“速度=路程÷時(shí)間”列出算式：2÷■，■÷■，教師板書算式后，讓學(xué)生猜一猜：“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”可以怎么算呢？先讓學(xué)生與同桌說說自己的猜想。由于已經(jīng)有了“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的基礎(chǔ)，大部分學(xué)生會想到像分?jǐn)?shù)除以整數(shù)一樣，乘除數(shù)的倒數(shù)，如，2÷■=2×■=3；也會有部分學(xué)生受分?jǐn)?shù)乘法的影響，會認(rèn)為應(yīng)該像分?jǐn)?shù)乘法一樣，用分子除以分子，分母除以分母，如：2÷■=■=■。“猜”是為了更好地鼓勵(lì)學(xué)生“想”，小學(xué)生的好奇心比較強(qiáng)，不論他們“猜”的結(jié)果如何，他們都會對自己的“猜想”充滿期待，看似簡單的“猜想”，讓即將探究的計(jì)算算理變得很神秘，也使計(jì)算課更有活力。

二、借助線段，分析“算理”

“驗(yàn)證”是探究算理的重要環(huán)節(jié)，在驗(yàn)證“2÷■”的計(jì)算方法時(shí)，學(xué)生會用不同的方式去驗(yàn)證，可利用“商×除數(shù)=被除數(shù)”驗(yàn)證，因?yàn)?÷■=2×■=3，而3×■=2，說明計(jì)算結(jié)果是對的；也可用“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”來說明，即：2÷（2÷3）=2÷2×3=3；還可用商不變的性質(zhì)來推導(dǎo)，即：2÷■=（2×3）÷（■×3）=6÷2=3。不管學(xué)生用哪種方法驗(yàn)證，先讓學(xué)生思考：每小時(shí)行的比2 km多還是少，再引導(dǎo)學(xué)生通過直觀的線段圖來分析說明算理：

■小時(shí)是把1小時(shí)平均分成3份，取其中的2份，有2個(gè)■小時(shí)。只要把其中的1份路程求出來，就能求出3份的路程，而已知2份的路程，求其中的一份，就是乘，即2×■，1小時(shí)有3個(gè)■小時(shí)，1小時(shí)走了多少千米？列式就是“2×■×3”，利用乘法結(jié)合律得到“2÷■=2×■×3=2×■=3”。通過線段圖，幫助學(xué)生深入理解算理，使學(xué)生直觀地看到由除到乘的轉(zhuǎn)化過程。教師在該環(huán)節(jié)要保證足夠的時(shí)間讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，這一過程是提高學(xué)生推理能力、培養(yǎng)學(xué)生探究精神、體會幾何直觀思想、形成問題解決能力的最佳機(jī)會。驗(yàn)證第二種猜想（分子除以分子，分母除以分母）時(shí)，讓學(xué)生任意選擇算式驗(yàn)證，使學(xué)生明白用分子除以分子、分母除以分母也可行。如：■÷■=■=■可行，計(jì)算2÷■=■÷■=■=■=3和■÷■=■=■=2也都可行。在學(xué)生理解算理的基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生觀察計(jì)算過程中算式在形式上有什么變化，使學(xué)生看到■變成了■，除號也變成了乘號。

三、利用遷移，提煉算理

理解“2÷■”算理后，計(jì)算小紅的速度時(shí)，教師不需引導(dǎo)得太多，放手讓學(xué)生自己嘗試，使學(xué)生在整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上通過遷移類推：■÷■=■×■=2（km）。學(xué)生反饋時(shí)，重點(diǎn)讓學(xué)生交流“×■”的理由，為了使學(xué)生更清晰理解算理，可以用分析“2÷■”算理的方法，讓學(xué)生自己畫線段圖加以說明：■小時(shí)就是把1小時(shí)平均分成12份，取其中的5份，5份中的1份恰好就是■的■，列式為■×■，12份就是“■×■×12”，得到“■×■”。到此為止，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)三類分?jǐn)?shù)除法，在總結(jié)計(jì)算方法時(shí)，教師先板書三類分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算過程：■÷2=■×■=■；2÷■=2×■=3；■÷■=■×■=2，再引導(dǎo)學(xué)生用語言描述，如：甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)，也可用字母或符號表示，如：a÷b（b≠0）=a×■，只要正確，都應(yīng)給予肯定，以提高學(xué)生的語言表達(dá)能力和抽象概括能力，并讓學(xué)生觀察總結(jié)三個(gè)算式計(jì)算要點(diǎn)：一是被除數(shù)不變；二是除號變乘號；三是除數(shù)變成它的倒數(shù)，掌握“變與不變”的計(jì)算要領(lǐng)，逐步抽象一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算法，與抽象建模的思想相滲透，再明確算法。

總之，算理的突破是小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)的重難點(diǎn)，在教學(xué)時(shí)，應(yīng)遵循算理與算法并存、算理與算法并重的原則，借助直觀的教學(xué)手段及方法遷移幫助學(xué)生理解算理，并給學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)思考的平臺，學(xué)生在掌握計(jì)算方法的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，才能為今后的持續(xù)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。