范劉洋, 汪可友, 李國杰, 吳 巍, 葛維春

(1. 電力傳輸與功率變換控制教育部重點實驗室(上海交通大學), 上海市 200240;2. 國網(wǎng)遼寧省電力有限公司, 遼寧省沈陽市 110006)

0 引言

近年來,隨著技術的成熟和成本的降低,風電、太陽能等可再生能源裝機容量得到了快速的提高[1]。國家風電發(fā)展“十二五”規(guī)劃中提出,2020年中國風電裝機規(guī)模將達到2×108kW,風電裝機容量將占總裝機容量的11%[2]。風電具有間歇性、波動性等特點,日前預測誤差可達在20%,遠高于負荷預測誤差[3]。大規(guī)模風電的接入,給電力系統(tǒng)調(diào)度帶來了巨大挑戰(zhàn)。

近年來,魯棒優(yōu)化理論被應用于這一領域,并取得良好效果[4-9]。魯棒優(yōu)化使用閉凸集合描述參數(shù)的不確定性,并計算目標函數(shù)在“最壞情況”下的最優(yōu)問題[10-13]。相比于隨機規(guī)劃,魯棒優(yōu)化不要求獲得隨機變量分布函數(shù),不需要生成典型場景,更易于實施。但另一方面,魯棒優(yōu)化結果一般保守性較強。

魯棒優(yōu)化結果的保守性直接受到不確定參數(shù)集合的影響。最早,文獻[10]采用每個不確定變量在一定置信水平下的上下界作為不確定集。近年來,文獻[11-12]采用橢球集合描述不確定集,文獻[4-5,7]采用盒式集合描述不確定集,進一步降低了魯棒優(yōu)化的保守性,由于盒式集合的線性性質(zhì),這種不確定集合在電力系統(tǒng)中應用更為廣泛。

但是,以上不確定集合均假定每個時刻不確定參數(shù)服從的是獨立分布律,這并不符合實際情況。以含風電的調(diào)度問題為例,當風電場之間距離較近時,兩個或多個風電場之間的出力會具有相關性。這種現(xiàn)象已經(jīng)在風電場建設規(guī)劃、風險機組組合、隨機規(guī)劃場景生成等問題中被注意到[14-17]。

然而對風電預測誤差時間相關性(以下簡稱“時間相關性”)的研究仍然較少。電力系統(tǒng)在制定機組組合計劃時,需要的是提前一天到一周內(nèi)的風速預測信息。這一時間尺度的風速預測往往使用數(shù)值天氣預報(numeric weather predictor,NWP)模型[18]。該方法根據(jù)風場周圍的氣壓、氣溫、等高線以及障礙物等物理信息構建風速的微分方程表達式,對風速進行預測。文獻[18-19]根據(jù)大量的風電場運行歷史數(shù)據(jù),建立了1 h步長的一階風速馬爾可夫鏈模型。其中,狀態(tài)轉移概率矩陣呈近似對角分布,對角線及其附近元素數(shù)值較大,這從側面驗證了風速在時間上的相關特點。文獻[20]分析了愛爾蘭風電場的風電數(shù)據(jù),直接指出風電預測誤差序列具有明確的自相關性特性,并提出利用該特性降低風電預測誤差的統(tǒng)計方法。文獻[21]將風電預測誤差的協(xié)方差矩陣加入高斯分布中,并驗證考慮相關性的模型可以提高魯棒最優(yōu)潮流模型的經(jīng)濟性。在魯棒機組組合(RUC)問題中,理論上同樣可以利用時間相關性特點,剔除一些概率密度較低的場景,降低不確定集合的保守性。但是魯棒優(yōu)化本質(zhì)為多層優(yōu)化問題,對約束條件要求較高,統(tǒng)計方法的分析結果需要表示為線性約束才能應用于魯棒優(yōu)化算法中。

本文首先以德國巴登—符騰堡州風電接入真實數(shù)據(jù)為基礎,驗證了時間相關性的存在,并以Pearson相關系數(shù)(PCC)為相關性測度,提出了不確定變量的相關性約束。接著,根據(jù)利用不確定集合的離散型特點,將相關性約束近似簡化為線性約束。本文將簡化后的相關性約束加入RUC中,并在列與限制生成(C&CG)算法的基礎上改進Bender’s分解后子問題的求解方法,用于求解含有相關性約束的RUC。最后在真實風電預測數(shù)據(jù)的基礎上,大量仿真實驗驗證了所提相關性約束的有效性。

1 風電預測誤差的時間相關性模型

1.1 時間相關性驗證

在進行風電預測誤差的時間相關性建模之前,首先需要確認其存在性。對于某一個時間序列x(t),自相關系數(shù)用于表征序列本身在不同時間的相關程序,該數(shù)值越高,表示歷史數(shù)據(jù)對當前時刻的影響程度越大。自相關系數(shù)計算公式為:

(1)

t時刻的相對預測誤差et可以表示為:

(2)

記相對誤差序列為:

s0=[e1e2…eN-1]

(3)

s1=[e2e3…eN]

(4)

式中:N為風電預測的樣本數(shù)量。顯然,s1是s0向后平移一個時間間隔的序列。

以德國巴登—符騰堡州的風電接入數(shù)據(jù)為預測誤差序列樣本[22]。圖1是以2015年1月樣本數(shù)據(jù)序列生成s0和s1向量所繪制的散點圖。圖中:下標i=1,2,…,N-1;j=2,3,…,N。從圖1中可以直觀地看到,s0和s1向量具有明顯的正相關性。為了進一步確認相關性水平,計算s0和s1的PCC。相關系數(shù)越大,則說明歷史數(shù)據(jù)對當前數(shù)據(jù)的影響越強,預測誤差的時間相關性越高。若相關系數(shù)大于0.6,則認為預測誤差具有顯著的時間相關性?？紤]到該地區(qū)氣候的季節(jié)特性,對風電預測數(shù)據(jù)以月為單位進行檢驗。預測數(shù)據(jù)的時間間隔為1 h。

圖1 預測誤差序列散點圖Fig.1 Scatter plot of predictive error sequence

圖2是對2015年每個月內(nèi)的預測數(shù)據(jù)進行相關性計算的結果?？梢钥吹?各個月份都體現(xiàn)出了正相關性,平均相關系數(shù)在0.69左右,表明之前的預測誤差具有時間相關性假設是成立的。

圖2 以1 h為間隔的預測誤差樣本Pearson相關性系數(shù)Fig.2 Pearson correlation coefficient of 1 hour interval predictive error sequence

1.2 時間相關性約束建模

在確認時間相關性后,可以利用這一點,進一步縮小不確定集合規(guī)模,將相關性較低的預測誤差序列剔除,降低魯棒優(yōu)化的保守程度。

圖3 某月內(nèi)每天預測誤差相關系數(shù)分布Fig.3 Distribution of daily correlation coefficient for predictive error within a month

圖3是某典型月內(nèi),每天的預測誤差相關系數(shù)分布直方圖。其中的紅色曲線是對預測誤差分布進行Kernel擬合的曲線?？梢钥吹?由于樣本數(shù)量較少,預測誤差分布規(guī)律不明顯,并非典型的正態(tài)分布。但是可以確定的是,置信水平為95%時,樣本的相關系數(shù)均在[0.36,1]范圍內(nèi)?；谝陨戏治?可以對不確定集合加入時間相關性約束。

(5)

式中:pe為風電出力的日前預測場景;p為風電出力的可能場景;C(·)為PCC計算函數(shù);γ為可能場景與預測場景的時間相關性下限,與預設的置信水平有關;ρ為置信水平。

式(5)本質(zhì)上是預測誤差時間序列自相關性的體現(xiàn)。由于相關性約束的存在,獨立分布的時間序列(比如白噪聲)將不被優(yōu)化模型考慮,因此魯棒優(yōu)化可以得到更加經(jīng)濟的結果。γ可以作為魯棒優(yōu)化保守程度的調(diào)節(jié)參數(shù),置信水平越高,γ越小,不確定集合越大,優(yōu)化結果越保守。

1.3 時間相關性約束簡化

式(5)是從時間相關性角度建立的約束條件。但是相關系數(shù)計算函數(shù)C(·)計算過程復雜,是一個高度非線性的函數(shù)。式(5)難以直接加入魯棒優(yōu)化中,必須進行簡化處理。

盒式不確定集合一般形式可以表示為:

(6)

Δ不等于0時,式(6)描述的不確定集合是一個多維空間中的多面體。文獻[4]指出,魯棒優(yōu)化過程中,最差情景時不確定變量d取值必定為該多面體的某個極點。進一步地,文獻[23]指出,當Δ為整數(shù)時,對于魯棒優(yōu)化問題,式(6)描述的集合可以改寫為以下形式:

(7)

容易理解,在式(7)表示方式下,原本連續(xù)的預測誤差序列e=d+-d-。所以式(5)中對從e中截取而生成的s0和s1的相關系數(shù)的約束,可以轉化成對d+和d-的約束。考慮到d+和d-的在式(7)完全對稱,下文的討論將以d+為例。

(8)

(9)

記d+序列之和為Δ+,這里定義的Δ+可以類比式(6)中的不確定預算Δ。并定義變化標志變量v+為:

(10)

相應的,記v+求和為Λ+,類比Δ+,稱Λ+為該序列的 “變化量預算”。因為Λ+代表著原序列出現(xiàn)前后不一致的次數(shù)，并給出以下定理。

證明1PCC的計算公式如下:

(11)

式中：cov(·)為求協(xié)方差函數(shù)。

(12)

(13)

這4種組合中,出現(xiàn){0,1}和{1,0}次數(shù)之和為Λ+。出現(xiàn){1,1}的次數(shù)為(2Δ+-Λ+)/2。出現(xiàn){0,0}的次數(shù)為N-1-(2Δ+-Λ+)/2-Λ+。

定理2是式(5)化簡的重要依據(jù)。預測誤差在使用連續(xù)集合式(6)描述時,本身具有無窮多種可能場景。即使使用離散集合式(7)進行描述,也存在多達2N種可能。由定理2可知,并不需要對如此多種可能場景的相關系數(shù)一一計算。所有Λ+和Δ+相同序列的相關系數(shù)都相同。為了更形象地解釋定理2,利用表1進行說明。

表1 典型序列的PCC與不確定預算、變化量預算的關系Table 1 Relationship between PCC and uncertainty budget/variation budget in typical sequences

表1展示了6組典型序列的相關系數(shù)與不確定預算、變化量預算的關系。比較前三組和后三組序列可以看到,在變化量預算Λ+一定的情況下,即使序列具體排列不同,相關系數(shù)也不會變化。這樣一來,僅需要研究Λ+,Δ+和相關系數(shù)的關系即可。對相系數(shù)的約束可以轉化為對Λ+和Δ+參數(shù)的線性約束。

至此,考慮風電相關性的不確定集合可表示為:

(14)

式中:Λ為總的不確定預算,即d+和d-序列的不確定預算Λ+與Λ-之和;上標u表示啟動,d表示關停。

對于某個風電場在N個時間間隔內(nèi)出力的不確定集合,式(7)需要2N個整數(shù)變量,而式(14)需要6N個整數(shù)變量,故而考慮時間相關性約束后,魯棒優(yōu)化的求解時間可能增加。

2 計及時間相關性的魯棒優(yōu)化求解

在第1節(jié)中,通過對相關系數(shù)的簡化,將非線性的相關性約束式(5)簡化為線性約束,并用式(14)表示改進后的不確定集合。本節(jié)將討論含有式(14)的魯棒優(yōu)化求解算法。

在電力系統(tǒng)中,RUC的一般形式為(考慮到篇幅限制,這里只列出簡潔模型,詳細模型見附錄A):

(15)

s.t.Fx≤f

(16)

Ax+By≤g

(17)

Iyy+Idd=k

(18)

My+Nd≤l

(19)

式中:x為機組狀態(tài)變量,是二進制離散變量;y為機組參數(shù)變量,是連續(xù)型變量;其余變量含義見文獻[4]。式(16)表示機組對機組狀態(tài)的約束,包括啟停邏輯約束、最小啟停時間約束、備用率約束等;式(17)表示機組狀態(tài)和機組出力關系約束,包括容量約束,爬坡率約束等;式(18)表示系統(tǒng)的功率平衡約束;式(19)表示傳輸線安全約束。

本文文獻[13]提出的C&CG算法進行求解。由于式(14)為離散型集合,本文中對Bender’s分解后產(chǎn)生的子問題的求解不再采用文獻[13]的方式。Bender’s分解后子問題為:

(20)

寫出min問題部分對偶形式,式(20)變?yōu)殡p線性規(guī)劃問題:

(21)

s.t.b+λTB+ηTIy+θTM=0

(22)

(23)

式中:λ,η,θ分別為式(17)至式(19)的拉格朗日乘子。

顯然,對雙線性項(ηTIdd,θTNd)的處理是求解的關鍵。將式(14)同樣寫為簡潔形式:

{d|d=Tz+T0,Rz≤r}

(24)

式中:z為包括v，d+，d-的二進制變量。則雙線性項變?yōu)棣荰Cz,θTGz,其中C=IdT,G=NT。以ηTCd為例:

(25)

顯然,只有cij不為0時,對式(25)的計算才是有意義的?？紤]到zj的二進制性質(zhì),引入附加變量qk:

-zjQ≤qk≤zjQ

(26)

ηi-(1-zj)Q≤qk≤ηi+(1-zj)Q

(27)

其中,q的下標k與i,j的關系為:矩陣C中第k個不為零的元素為cij。Q為q的上界。容易理解,式(26)和式(27)等價于當zj等于0時,qk等于0;當zj不等于0時,qk等于ηi。因此,qk=ηizj。

至此,子問題由雙線性規(guī)劃轉化為混合整數(shù)線性規(guī)劃,可以被CPLEX等成熟的商業(yè)求解器求解。但是,注意到該問題的求解效率與矩陣C和矩陣G的稀疏性密切相關。矩陣C由功率平衡約束轉化而來,規(guī)模較小;而矩陣G由傳輸線安全約束轉化而來,規(guī)模較大。在實際計算時,可以先忽略傳輸線安全約束,待計算完成后,再校驗各條線路上功率是否越限。如越限,則將該線路加入傳輸線安全約束中,再次計算。

3 算例分析

3.1 參數(shù)說明

為了驗證本文提出的考慮時間相關性的不確定集合的有效性,對以下三種機組組合模型進行對比。

1)傳統(tǒng)機組組合(TUC)。采用確定性優(yōu)化算法,不考慮風電預測誤差。

2)RUC。采用第3節(jié)所述的魯棒優(yōu)化算法,考慮風電預測誤差,但不考慮時間相關性,對不確定集的描述如式(7)所示。

3)計及時間相關性的魯棒機組組合(TRUC)。采用第3節(jié)所述的魯棒優(yōu)化算法,對不確定集的描述如式(14)所示。

電力系統(tǒng)模型采用IEEE 118節(jié)點標準算例,包括118條母線、54臺發(fā)電機以及186條傳輸線[24]。風電接入和系統(tǒng)負荷數(shù)據(jù)來自德國巴登—符騰堡州電網(wǎng)運營商Transnet BW的公開數(shù)據(jù)[22]。對風電及負荷數(shù)據(jù)稍作調(diào)整,使其符合IEEE 118節(jié)點電力系統(tǒng)正常運行的功率范圍。調(diào)整后系統(tǒng)最大負荷大約為6 500 MW,最大風電滲透率大約為40%,平均風電滲透率大約為8%。以該地區(qū)2015年運行數(shù)據(jù)為歷史數(shù)據(jù),對不確定集合參數(shù)進行估計。

三種機組組合算法在MATLAB 2014b及YALMIP上完成[25]?；旌险麛?shù)規(guī)劃采用CPLEX 12.6進行求解。魯棒優(yōu)化結果的間隙誤差(即上下界之差除以下界)上限為0.1%。所有計算在配備處理器型號為Intel Core i7-4790 4核3.6 GHz以及16 GB RAM的個人計算機上完成。

3.2 典型日優(yōu)化結果比較

為了驗證本文提出的TRUC的有效性,首先以某典型日風電預測情況為輸入數(shù)據(jù),計算三種機組組合模型的求解結果,并對機組組合結果進行安全校驗。安全校驗指的是在風電場真實出力情況下,日前制定的機組組合計劃是否能夠滿足電力系統(tǒng)安全性要求[5-7]。其數(shù)學模型為:

(28)

式中:s1至s4為保證式(17)和式(19)滿足而引入的松弛變量。

若R(x)=0則說明在s1至s4均為零的情況下,系統(tǒng)功率平衡約束、傳輸線安全約束等可以滿足。反之,R(x)>0則代表機組組合無法滿足系統(tǒng)安全性要求,此時需要實施切負荷或棄風等緊急措施。在Δ等于8,Λ等于2時,三種模型求解結果如表2及圖4所示。

表2 三種模型典型日優(yōu)化結果對比(Δ=8,Λ=2)Table 2 Comparison of optimization results of three models in a typical day (Δ=8, Λ=2)

圖4 典型日風電預測及“最壞情況”求解結果曲線圖(Δ=8,Λ=2)Fig.4 Wind power prediction and calculation results of “the worst case scenario” in a typical day (Δ=8, Λ=2)

該算例的優(yōu)化結果顯示,相比于RUC算法,TRUC算法在保證安全性的基礎上,提高了機組組合經(jīng)濟性,降低了魯棒優(yōu)化的保守程度。為進一步解釋TRUC機理,將RUC與TRUC計算出的“最壞情境”在圖4中標出。

RUC算法得到的“最壞情境”如圖4中紅線標注,其中出現(xiàn)多次風電爬坡事件,風電出力在預測值及最小值之間多次跳動。根據(jù)前文分析,該情境出現(xiàn)概率較低。而TRUC算法中,在相同的不確定預算時,由于變化量預算的存在,限制了預測誤差變化次數(shù),剔除了概率較低的情境,提高了優(yōu)化經(jīng)濟性。

TRUC優(yōu)化結果受到兩個參數(shù)的影響,不確定預算Δ和變化量預算Λ。下面比較不同的Δ和Λ取值對優(yōu)化結果的影響,如圖5所示。

圖5 不同Δ和Λ情況下的求解結果Fig.5 Optimization results under different Δ and Λ

從圖5中可以看到,對優(yōu)化結果影響最大的是不確定預算的值。比較Δ等于6,8,10的三條曲線,優(yōu)化結果大約變化了2%。而變化量預算對優(yōu)化結果的影響要相對小一些。以Δ曲線為例,比較Λ等于1和Λ等于6,成本變化了大約0.4%。并且,在Λ大于4時,成本變化并不明顯。由此,可以將Λ看作一個輔助參數(shù),是在決策者對Δ進行估計后,對調(diào)度保守性的更精細的調(diào)節(jié)手段。

3.3 長期優(yōu)化結果比較

3.2節(jié)中,已經(jīng)看到變化量預算對優(yōu)化結果的調(diào)節(jié)作用。但是擔心加入變化量預算的約束,是否會對系統(tǒng)的安全性造成影響。從圖5中可以看到,這種可能性是存在的。因此,對一段較長時間內(nèi)TRUC算法的安全性進行評估。以德國巴登—符騰堡州2016年1月到7月間風電接入為輸入數(shù)據(jù),計算三種算法的日前機組組合結果,并進行安全評估。

Δ的取值一般由決策者估計,Δ對優(yōu)化結果的影響已經(jīng)在多篇文章中有討論[4-7]。這里固定Δ取值為8,改變Λ的取值,來考察Λ對優(yōu)化結果及安全性的影響。

表3是三種機組組合模型計算結果的對比。其中,通過安全校驗比例代表了不出現(xiàn)切負荷或棄風等措施的可能性,該數(shù)值越大,代表算法的可靠性越高。從表3中可以看到,相比于RUC算法,TRUC算法提高了機組組合的經(jīng)濟性。在Λ=2時,TRUC可靠性與RUC接近,機組組合成本降低了48萬美元。在Λ=3時,可靠性與RUC相同,但成本降低了約8萬美元。

表3 三種模型長期優(yōu)化結果對比Table 3 Comparison of optimization results of three models in a long term

4 結語

本文研究了風電預測誤差的時間相關性特點,并提出了TRUC算法。該算法中在“不確定預算”外,加入了“變化量預算”參數(shù),作為魯棒優(yōu)化保守性的另一個控制參數(shù)。由本文的理論研究及仿真實驗得出如下結論。

1)某些預測方法得到的風電預測誤差存在強烈的時間相關性。利用時間相關特點,可以進一步縮小不確定集合范圍,降低魯棒優(yōu)化保守性。

2)利用不確定集合離散型特點,預測誤差序列的自相關系數(shù)計算公式可以得到簡化。相關性約束可以近似簡化為線性形式。

3)在真實風電數(shù)據(jù)進行的仿真實驗上,驗證了該算法能夠在不降低機組組合魯棒性的前提下,提高調(diào)度計劃的經(jīng)濟性。

在含風電的RUC問題中,如何將“棄風”加入模型研究中,通過魯棒優(yōu)化手段,進一步降低“棄風”比例,是本文下一步研究的方向。

附錄見本刊網(wǎng)絡版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。