●

(天水市第一中學(xué),甘肅 天水 741000)

1 試題呈現(xiàn)

題目已知函數(shù)f(x)=ex-ax2．

1)若a=1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1；

2)若f(x)在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)，求a．

(2018年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第21題)

2 表征解讀

本題條件只是一個(gè)含e的函數(shù)解析式，蘊(yùn)藏著一個(gè)參數(shù)a和兩類(lèi)基本函數(shù)(指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù))，第1)小題屬于不等式的證明；第2)小題通過(guò)零點(diǎn)求參數(shù)，結(jié)構(gòu)與形式凸顯了數(shù)學(xué)之美：簡(jiǎn)單、簡(jiǎn)潔、簡(jiǎn)捷.結(jié)構(gòu)如此經(jīng)典之美的數(shù)學(xué)題，就會(huì)激發(fā)學(xué)生對(duì)解法作深入研究的動(dòng)力.

3 解法探究

3.1 第1)小題剖析

視角1函數(shù)角度.

從證明的目標(biāo)“當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1”成立入手，將目標(biāo)直譯為在條件“x≥0”下，不等式“f(x)min≥1”成立即可.

解法1若a=1，則函數(shù)f(x)=ex-x2，求導(dǎo)可得f′(x)=ex-2x，此時(shí)不好判斷該導(dǎo)數(shù)f′(x)的正負(fù)，故設(shè)g(x)=ex-2x，則

g′(x)=ex-2，

令g′(x)=0，解得x=ln 2，列表1.

表1 導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)值

從表1可知g(x)≥g(ln 2)=2-2ln 2>0，從而f′(x)>0，因此函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，+∞)上單調(diào)遞增，故f(x)>f(0)=1.

視角2等價(jià)轉(zhuǎn)化角度.

對(duì)所要證明的不等式，如果直接不好證明，可以先進(jìn)行等價(jià)變形，然后再證明其成立即可.

解法2當(dāng)a=1時(shí)，不等式f(x)≥1等價(jià)變形為(x2+1)e-x-1≤0．設(shè)函數(shù)g(x)=(x2+1)e-x-1，求導(dǎo)可得

g′(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x．

當(dāng)x≠1時(shí)，g′(x)<0，函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減．而g(0)=0，故當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)≤0，即f(x)≥1．

易知在[0,+∞)上g′(x)≥0恒成立，因此g(x)在x=0處取到最小值，即g(x)≥g(0)=1,故不等式f(x)≥1成立．

評(píng)注本題是一道常規(guī)不等式的證明題，既考查了學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力，又考查了數(shù)學(xué)思想.學(xué)生在考試中容易從函數(shù)角度思考，思路如果清晰，就能夠很快解決問(wèn)題.若對(duì)此題進(jìn)行深入研究，就會(huì)發(fā)現(xiàn)此題中對(duì)函數(shù)f(x)直接求導(dǎo)，不容易確定函數(shù)的走勢(shì)，需要靈活處理：等價(jià)變形為

(x2+1)e-x-1≤0,

或

或?qū)?dǎo)函數(shù)f′(x)=ex-2x二次求導(dǎo)才能夠解決問(wèn)題，有利于對(duì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)關(guān)系的深刻理解.

3.2 第2)小題剖析

本小題是零點(diǎn)問(wèn)題，屬于高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，求解時(shí)常將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解的問(wèn)題，或轉(zhuǎn)化為兩個(gè)新函數(shù)的圖像交點(diǎn)問(wèn)題.一旦參數(shù)參與其中，問(wèn)題就會(huì)變得復(fù)雜一些.

視角1直接分離參數(shù).

令h′(x)=0，解得x=2，列表2如下：

表2 導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)值

視角2直接對(duì)參數(shù)討論.

上述視角1的直接分離參數(shù)是常用方法，但有時(shí)也可以對(duì)參數(shù)直接進(jìn)行分類(lèi)討論.本題中函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)無(wú)法直接判斷，因此需要對(duì)導(dǎo)函數(shù)f′(x)進(jìn)行二次求導(dǎo)，當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論.

解法2對(duì)函數(shù)f(x)=ex-ax2(其中x>0)求導(dǎo)可得f′(x)=ex-2ax，設(shè)g(x)=ex-2ax，對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)可得g′(x)=ex-2a.

由于x∈(0,+∞)，下面對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論：

此時(shí)需要討論1-ln 2a的正負(fù)：

聯(lián)立

視角3直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切.

從而

視角4兩條曲線(xiàn)相切.

借助常見(jiàn)的函數(shù)y=ex和y=ax2(其中a>1)的圖像與性質(zhì)，將“方程ex-ax2=0只有一個(gè)根”，變形為“方程ex=ax2只有一個(gè)根”，等價(jià)轉(zhuǎn)化為“函數(shù)y=ex的圖像和函數(shù)y=ax2(其中a>1)的圖像相切”，從而求得a的值.

解法4f(x)=ex-ax2=0變形得ax2=ex.設(shè)函數(shù)g(x)=ex，h(x)=ax2,易知g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

由第1)小題ex>x2可知，參數(shù)a一定滿(mǎn)足a>1.又函數(shù)y=ax2(其中a>1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.結(jié)合題意“方程ex-ax2=0只有一個(gè)根”，即“方程ex=ax2只有一個(gè)根”，下面討論的對(duì)象是指數(shù)函數(shù)y=ex與二次函數(shù)y=ax2的交點(diǎn)問(wèn)題.

結(jié)合題設(shè)條件，易知“函數(shù)y=ex的圖像”和“函數(shù)y=ax2(其中a>1)的圖像”具有上升的特征，兩條曲線(xiàn)只有相切時(shí)才能夠符合題意.也就是兩個(gè)函數(shù)的圖像只有一個(gè)公共切點(diǎn)(有一條共同的切線(xiàn))，不妨設(shè)該切點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,em).易知第一個(gè)關(guān)系式

em=am2(其中a>1,m>0),

兩條曲線(xiàn)在公共點(diǎn)M處的斜率相等，可得第二個(gè)關(guān)系式

em=2am(其中a>1,m>0).

評(píng)注兩條曲線(xiàn)相切的研究形式多樣，曲線(xiàn)的走勢(shì)多變，研究其相切的難度比較大.

視角5先等價(jià)轉(zhuǎn)化，再分類(lèi).

本題中的“f(x)在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于“函數(shù)h(x)=1-ax2e-x在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)”，再討論函數(shù)h(x)的單調(diào)性，結(jié)合h(x)的最小值分類(lèi)討論得到a的值.

解法5設(shè)函數(shù)h(x)=1-ax2e-x,則f(x)在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)．

1)當(dāng)a≤0時(shí)，h(x)>0，h(x)沒(méi)有零點(diǎn).

2)當(dāng)a>0時(shí)，h′(x)=ax(x-2)e-x．

故h(x)在(2,4a)上有一個(gè)零點(diǎn)，因此h(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)．

評(píng)注對(duì)參數(shù)a分類(lèi)討論，需要判斷各種情況下得到的參數(shù)a的范圍是否符合題意，把各種符合題意的范圍取并集，即為參數(shù)a的取值范圍.但有一些不等式恒成立問(wèn)題需要對(duì)自變量x進(jìn)行分類(lèi)討論，對(duì)各種情況下的a的取值范圍取交集，即為參數(shù)a的取值范圍.

4 解后反思

4.1 審題立足數(shù)學(xué)概念，思悟規(guī)律回歸教材

函數(shù)零點(diǎn)(或方程根的個(gè)數(shù))問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn).在函數(shù)的定義域內(nèi)，探究函數(shù)單調(diào)性和極值，需要弄清函數(shù)的走勢(shì)，以及函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或零點(diǎn)近似值范圍.本題第2)小題涉及“函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)”，強(qiáng)調(diào)了“零點(diǎn)”的個(gè)數(shù)和唯一性等特征下，“確定”對(duì)應(yīng)的參數(shù)a的值.

第2)小題解法剖析中的幾種思維視角，不外乎分離參數(shù)、分離函數(shù)和等價(jià)轉(zhuǎn)化等三大審題、解題策略.本題的分離參數(shù)只有視角1，分離函數(shù)有視角3和視角4，等價(jià)轉(zhuǎn)化有視角2和視角5，不論哪一種策略，都會(huì)立足數(shù)學(xué)中的函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等概念，如視角2中，對(duì)導(dǎo)函數(shù)又采用了二次求導(dǎo)，此時(shí)一定要切記“導(dǎo)函數(shù)正負(fù)決定了原函數(shù)的增減”這一根本點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上討論極值問(wèn)題或最值問(wèn)題就會(huì)顯得自然和舒坦.

4.2 挖掘?qū)忣}視角，深究通性通法

高度重視導(dǎo)數(shù)、函數(shù)之間的關(guān)系(解析式、圖像等)，掌握函數(shù)走勢(shì)(單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性等)的確定方法與技巧，既可以提高解題效率，又可以提升學(xué)生審題的自信心.近幾年數(shù)學(xué)高考常常以函數(shù)為載體，在導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等知識(shí)點(diǎn)的交匯處命制壓軸題，要求學(xué)生要重視運(yùn)算能力和運(yùn)算速度的提高，特別是涉及參數(shù)取值范圍的確定，平時(shí)訓(xùn)練一定要注重算理、算法和正確地分類(lèi)，否則轉(zhuǎn)化方式方法中的邏輯性就會(huì)混亂，簡(jiǎn)捷的思維就難以形成.

4.3 注重?cái)?shù)學(xué)思想方法，積淀解題經(jīng)驗(yàn)

總之，還要掌握一些典型函數(shù)問(wèn)題的解題策略：判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值(或最值)、證明不等式、討論函數(shù)的零點(diǎn)或函數(shù)的圖像等審題、解題常用的方法技巧，力爭(zhēng)做到討論不遺漏、分析要全面、計(jì)算要精準(zhǔn)、思路要簡(jiǎn)捷，從而提高借用數(shù)學(xué)思想方法確定最優(yōu)解題方法的選擇能力,縮短解題長(zhǎng)度和提升解題能力，有利于學(xué)生思維層次的提升，同時(shí)也積淀了多方位、多視角探究解題的經(jīng)驗(yàn)，更加有利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成與提升.