許國會　王涵　匡佳佳

【摘要】數(shù)列不等式證明是高考的重要題型，本文總結(jié)了一些常用的放縮技巧以及相應(yīng)的例題以幫助學(xué)生進一步理解，包括裂項放縮、并項放縮、利用基本不等式放縮等.

【關(guān)鍵詞】數(shù)列不等式；放縮技巧；高考

數(shù)列不等式證明是高考的重要題型，其中恰當(dāng)放縮是解決不等式問題的重點也是難點所在.高考中常常將其作為壓軸題的命題熱點，這類題技巧性強，學(xué)生不易處理.本文總結(jié)了一些常用的放縮技巧以幫助學(xué)生快速解題.

一、裂項放縮

裂項放縮一般是針對通項是分式的數(shù)列，通過將分式拆分為兩個分式之和或差，目的是通分化簡為兩個整式之和或差，以方便計算.

例1已知S=13+15+17+…+199，求S的整數(shù)部分.

解由題意可得一般項12n+1=22n+1+2n+1<22n+1+2n-1=2n+1-2n-1，

因此13+15+17+…+12n+1<（3-1）+（5-3）+（7-5）+…+（2n+1-2n-1）=2n+1-1.

又因為12n+1=22n+1+2n+1>22n+1+2n+3=2n+3-2n+1，

因此13+15+17+…+12n+1>（5-3）+（7-5）+…+（2n+3-2n+1）=2n+3-3.

綜上所述，2n+3-3

即8.32≈101-3

所以，S的整數(shù)部分為8.

評注本題利用12n+1<22n+1+2n-1及12n+1>22n+1+2n+3放縮為某兩項的差，逐項相消，得到S的取值范圍，進而得到S的整數(shù)部分.

二、并項放縮

并項放縮則剛好與裂項放縮相反，觀察數(shù)列的通項發(fā)現(xiàn)很難放縮，但將數(shù)列幾項合并為一項后再放縮會更加簡單，這一方法的關(guān)鍵在于如何恰當(dāng)?shù)刂亟M.

例2已知數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-（-1）n-1，求證n∈N+時，1a1+1a2+…+1a2n-1+1a2n<1.

證明由題意當(dāng)k為正奇數(shù)時，1ak+1ak+1=12k+1+12k+1-1=3×2k22k+1+2k-1<32k+1.

當(dāng)n∈N+時，1a1+1a2+…+1a2n-1+1a2n=1a1+1a2+1a3+1a4+…+1a2n-1+1a2n<322+324+…+322n=3×141-14n1-14=1-14n<1，得證.

評注本題若將兩項合為一項再進行放縮，即證明當(dāng)k為正奇數(shù)時，1ak+1ak+1<32k+1，此時不等式右邊就是一個新的等比數(shù)列求和，進而得到結(jié)論.

三、利用基本不等式放縮

基本不等式本身就存在放縮，常用的基本不等式有a2+b2≥2ab，a+b≥2ab，ab+ba≥2（ab>0）等一些變形公式.對于一些結(jié)論中有相關(guān)不等式的證明不失為一種有效的方法.

例3已知an=5n-4，證明5amn-aman>1對任何正整數(shù)m，n都成立.

證明要證5amn-aman>1即證5amn>1+aman+2aman.

因為amn=5mn-4，aman=（5m-4）（5n-4）=25mn-20（m+n）+16，

即只需要證5（5mn-4）>1+25mn-20（m+n）+16+2aman，

即證明20m+20n-37>2aman.

因為2aman≤am+an=5m+5n-8<20m+20n-37，

故命題得證.

評注本題中用到的是a+b≥2ab，a，b為實數(shù)，且a=b時等號成立.