張明春

【摘要】對(duì)于數(shù)學(xué)科學(xué)來(lái)說(shuō)主要是抽象思維和理論思維，這是事實(shí)；但從人類(lèi)數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)的發(fā)展來(lái)說(shuō)，形象思維是最早出現(xiàn)的，并在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中都起著重要的作用.隨著計(jì)算機(jī)多媒體的出現(xiàn)和飛速發(fā)展，在網(wǎng)絡(luò)技術(shù)廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域的同時(shí)，也給學(xué)校教育帶來(lái)了一場(chǎng)深刻的變革——用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，改善人們的認(rèn)知環(huán)境——越來(lái)越受到重視.從國(guó)外引進(jìn)的教育軟件幾何畫(huà)板以其學(xué)習(xí)入門(mén)容易和操作簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)及其強(qiáng)大的圖形和圖像功能、方便的動(dòng)畫(huà)功能被國(guó)內(nèi)許多數(shù)學(xué)教師看好，并已成為制作中學(xué)數(shù)學(xué)課件的主要?jiǎng)?chuàng)作平臺(tái)之一.那么，幾何畫(huà)板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有哪些應(yīng)用呢？作為一名高中數(shù)學(xué)教師，筆者就此談幾點(diǎn)體會(huì).

【關(guān)鍵詞】曲線與方程；數(shù)形結(jié)合；追蹤；軌跡

一、幾何畫(huà)板在高中代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

“函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)部分；同時(shí)，函數(shù)是以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的一種刻畫(huà)，這又決定了它是對(duì)學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育的重要材料.就如華羅庚所說(shuō)：“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微.”函數(shù)的兩種表達(dá)方式——解析式和圖像，兩者之間常常需要對(duì)照（如，研究函數(shù)的單調(diào)性、討論方程或不等式的解的情況、比較指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖像之間的關(guān)系等）.為了解決數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題，在有關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)中多以教師手工繪圖為主，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端；應(yīng)用幾何畫(huà)板快速直觀地顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂效率，進(jìn)而起到事半功倍的效果.

具體說(shuō)來(lái)，可以用幾何畫(huà)板根據(jù)函數(shù)的解析式快速作出函數(shù)的圖像，并可以在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出多個(gè)函數(shù)的圖像，如在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x2，y=x3和y=x12的圖像，比較各圖像的形狀和位置，歸納冪函數(shù)的性質(zhì)；還可以作出含有若干參數(shù)的函數(shù)圖像，當(dāng)參數(shù)變化時(shí)函數(shù)圖像也相應(yīng)地變化，如，在講函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像時(shí)，傳統(tǒng)教學(xué)只能將A，ω，φ代入有限個(gè)值，觀察各種情況時(shí)的函數(shù)圖像之間的關(guān)系；

利用幾何畫(huà)板則可以以線段b，T的長(zhǎng)度和A點(diǎn)到x軸的距離為參數(shù)作圖（如圖1所示），當(dāng)拖動(dòng)兩條線段的某一端點(diǎn)（即改變兩條線段的長(zhǎng)度）時(shí)分別改變?nèi)呛瘮?shù)的首相和周期，拖動(dòng)點(diǎn)A則改變其振幅，這樣在教學(xué)時(shí)既快速靈活，又不失一般性.

幾何畫(huà)板在高中代數(shù)的其他方面也有很多用途.例如，借助于圖形對(duì)不等式的一些性質(zhì)、定理和解法進(jìn)行直觀分析——由“半徑不小于半弦”證明不等式a+b≥2ab（a，b∈R+）等；再比如，講解數(shù)列的極限的概念時(shí)，作出數(shù)列an=10-n的圖形（即作出一個(gè)由離散點(diǎn)組成的函數(shù)圖像），觀察曲線的變化趨勢(shì)，并利用幾何畫(huà)板的制表功能以“項(xiàng)數(shù)、這一項(xiàng)的值、這一項(xiàng)與0的絕對(duì)值”列表，幫助學(xué)生直觀地理解這一較難的概念.

二、幾何畫(huà)板在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

立體幾何是在學(xué)生已有的平面圖形知識(shí)的基礎(chǔ)上討論空間圖形的性質(zhì)；它所用的研究方法是以公理為基礎(chǔ)，直接依據(jù)圖形的點(diǎn)、線、面的關(guān)系來(lái)研究圖形的性質(zhì).從平面圖形到空間圖形，從平面觀念過(guò)渡到立體觀念，無(wú)疑是認(rèn)識(shí)上的一次飛躍.如，兩條互相垂直的直線不一定畫(huà)成交角為直角的兩條直線；正方體的各面不能都畫(huà)成正方形等.這樣一來(lái)，學(xué)生不得不根據(jù)“歪曲真相”的圖形去想象真實(shí)情況，這便給學(xué)生認(rèn)識(shí)立體幾何圖形增加了困難.而應(yīng)用幾何畫(huà)板將圖形動(dòng)起來(lái)，就可以使圖形中各元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系惟妙惟肖，使學(xué)生從各個(gè)不同的角度去觀察圖形.這樣，不僅可以幫助學(xué)生理解和接受立體幾何知識(shí)，還可以讓學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力得到充分發(fā)揮.

像在講二面角的定義時(shí)（如圖2所示），當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)A所在的半平面也隨之轉(zhuǎn)動(dòng)，即改變二面角的大小，圖形的直觀的變動(dòng)有利于幫助學(xué)生建立空間觀念和空間想象力；在講棱臺(tái)的概念時(shí)，可以演示由棱錐分割成棱臺(tái)的過(guò)程（如圖3所示），更可以讓棱錐和棱臺(tái)都轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)，使學(xué)生在直觀掌握棱臺(tái)的定義，并通過(guò)棱臺(tái)與棱錐的關(guān)系由棱錐的性質(zhì)得出棱臺(tái)的性質(zhì)的同時(shí)，讓學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；在講錐體的體積時(shí)，可以演示將三棱柱分割成三個(gè)體積相等的三棱錐的過(guò)程（如圖4所示），既避免了學(xué)生空洞的想象而難以理解，又鍛煉了學(xué)生用分割幾何體的方法解決問(wèn)題的能力；在用祖暅原理推導(dǎo)球的體積時(shí)，運(yùn)用動(dòng)畫(huà)和軌跡功能作圖5，當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)O時(shí)，平行于桌面的平面截球和柱錐所得截面也相應(yīng)地變動(dòng)，直觀美麗的畫(huà)面在學(xué)生學(xué)得知識(shí)的同時(shí)，給人以美的感受，創(chuàng)建一個(gè)輕松、樂(lè)學(xué)的氛圍.

三、幾何畫(huà)板在平面解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

平面解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，它研究的主要問(wèn)題，即它的基本思想和基本方法是：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，借助形和數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求出表示平面曲線的方程，把形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)來(lái)研究；再通過(guò)方程，研究平面曲線的性質(zhì)，把數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為形來(lái)討論.而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導(dǎo)致點(diǎn)、線按不同的方式做運(yùn)動(dòng)，曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系比較抽象，學(xué)生不易理解，顯而易見(jiàn)，展示幾何圖形變形與運(yùn)動(dòng)的整體過(guò)程在解析幾何教學(xué)中是非常重要的.這樣，幾何畫(huà)板又以其極強(qiáng)的運(yùn)算功能和圖形圖像功能在解析幾何的教與學(xué)中大顯身手.如，它能作出各種形式的方程（普通方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程）的曲線；能對(duì)動(dòng)態(tài)的對(duì)象進(jìn)行“追蹤”，并顯示該對(duì)象的“軌跡”；能通過(guò)拖動(dòng)某一對(duì)象（如點(diǎn)、線）觀察整個(gè)圖形的變化來(lái)研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上曲線的位置關(guān)系.

具體地說(shuō)，比如，在講平行直線系y=x+b或中心直線系y=kx+2時(shí)，如圖6所示，分別拖動(dòng)圖（1）中的點(diǎn)A和圖（2）中的點(diǎn)B時(shí)，可以相應(yīng)的看到一組斜率為1的平行直線和過(guò)定點(diǎn)（0，2）的一組直線（不包括y軸）.再比如，在講橢圓的定義時(shí)，可以由“到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡”入手——如圖7所示，令線段AB的長(zhǎng)為“定值”，在線段AB上取一點(diǎn)E，分別以F1為圓心、AE的長(zhǎng)為半徑和以F2為圓心、AE的長(zhǎng)為半徑作圓，則兩圓的交點(diǎn)軌跡即滿(mǎn)足要求.先讓學(xué)生猜測(cè)這樣的點(diǎn)的軌跡是什么圖形，學(xué)生各抒己見(jiàn)之后，教師演示，如圖7（1）所示，學(xué)生豁然開(kāi)朗：“原來(lái)是橢圓”.這時(shí)教師用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)B（即改變線段AB的長(zhǎng)），使得|AB|=|F1F2|，如圖7（2）所示，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的軌跡變成了一條線段F1F2，學(xué)生開(kāi)始謹(jǐn)慎起來(lái)并認(rèn)真思索，不難得出圖7（3）所示（|AB|<|F1F2|時(shí)）的情形.經(jīng)過(guò)這個(gè)過(guò)程，學(xué)生不僅能很深刻地掌握橢圓的概念，也鍛煉了其思維的嚴(yán)密性.

綜上所述，使用幾何畫(huà)板進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，通過(guò)具體的感性的信息呈現(xiàn)，能給學(xué)生留下更為深刻的印象，使學(xué)生不是把數(shù)學(xué)作為單純的知識(shí)去理解，而是能夠更有實(shí)感地去把握.這樣，既能激發(fā)學(xué)生的情感、培養(yǎng)學(xué)生的興趣，又能大大提高課堂效率.

【參考文獻(xiàn)】

[1]朱俊杰，繆亮，周傳高.幾何畫(huà)板課件制作百例[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.

[2]魏志雄，王豫黔.幾何畫(huà)板數(shù)學(xué)課件制作實(shí)例教程[M].北京：人民郵電出版社，2006.