陸有海

一、激活方形面積問題的求解經(jīng)驗，引出圓形面積的求解問題

1．什么是面積？

物體表面或幾何圖形的大小。

2．長方形面積問題是怎樣求解的？

面積問題求解的基本途徑就是用面積單位進行直接測量。但是，在實際測量過程中，會遇到不可直接測量的情況，從而，促使人們?nèi)ヌ剿髦苯訙y量面積以外的可行方法。除了直接測量面積以外，人們發(fā)現(xiàn)了長方形長與寬的乘積與面積的關(guān)系，因此，人們通過測量長方形的長與寬來求解長方形的面積問題。如，長方形的水塘就必須通過測量水塘的長與寬來求水塘的面積。

（1）用面積單位直接測量長方形的面積（測量）。

（2）通過測量長與寬間接測量長方形的面積（測量+計算）。

3．其他方形面積問題是怎樣求的？

在長方形面積求解基礎(chǔ)上，其他圖形面積問題的求解途徑，除了直接測量和直接探索解決以外，還可以借助事物之間的關(guān)系來求解。

（1）第一種求解思路：（直接測量）直接用面積單位進行測量。顯然，長方形面積的直接測量，只要面積單位適當，測量比較方便。但是，其他圖形并沒有長方形這種方方正正的規(guī)范性，因此，直接測量會或多或少遇到“不完整”的問題。

（2）第二種求解思路：（局部割補）局部割補化解直接測量問題，完成直接測量任務(wù)。盡管直接測量不能直接解決其他圖形的面積測量問題，但是在問題求解過程中，這是必需的過程。只有經(jīng)歷這個過程，才能自然地發(fā)現(xiàn)解決問題的辦法（局部割補）。顯然，這種局部割補方法具有多樣性，在問題的求解過程中，我們還必須充分展示這種“充分性”。

（3）第三種求解思路：（整體割補）整體割補是局部割補的一種特殊割補方法，為其他圖形面積問題的轉(zhuǎn)化提供重要的手段。整體割補方法的出現(xiàn)基于充分的局部割補，但是它為超越局部割補創(chuàng)新方法奠定了基礎(chǔ)。局部割補解決直接測量的問題，整體割補提高了直接測量問題解決的效率，并且，直接將圖形轉(zhuǎn)化成了已知求解問題方法的圖形。顯然，不同的圖形，整體割補法具有多樣性與差異性。

（4）第四種求解思路：（割補化歸）整體割補的成功（事實上）就是問題化歸的成功。這種成功為化歸前后進行觀察比較提供了材料與對象，為發(fā)現(xiàn)圖形面積的本質(zhì)問題奠定了基礎(chǔ)。

如，平行四邊形面積與平行四邊形的底與高的乘積相聯(lián)系；三角形面積與三角形的底與高的乘積的一半相聯(lián)系；梯形面積與梯形的上底、下底、高之間存在直接的聯(lián)系。

從視覺上看，面積大小與物體表面（圖形）的大小有關(guān)。從本質(zhì)上看，面積大小與物體表面的特征量數(shù)及相互之間的聯(lián)系直接相關(guān)。因此，圖形（方形）面積由其自身圖形的特征量數(shù)及其相互關(guān)系所決定。因此，在探索未知圖形面積問題時，我們需要探尋與面積相關(guān)的特征量數(shù)，以及它們與面積之間的關(guān)系。這是面積問題教學(xué)的核心與目標，也是方形面積教學(xué)活動需要積累的基本活動經(jīng)驗。圓形面積問題求解的教學(xué)活動就是在這種數(shù)學(xué)經(jīng)驗的引領(lǐng)下起步的。

（5）第五種求解思路：（直接計算）直接計算公式來自于圖形的割補化歸與推導(dǎo)。直接計算的公式包括：這些圖形面積的計算，必須基于圖形自身特征量數(shù)。

二、探尋圖形面積問題的求解方法

1．數(shù)學(xué)實驗途徑。

實驗是指實際驗證圖形（面積）自身具有的各種特征量數(shù)之間關(guān)系的存在性的操作、觀察、猜測、發(fā)現(xiàn)等數(shù)學(xué)活動。

圓形面積的數(shù)學(xué)實驗，首先要理清相關(guān)的特征量數(shù)（圓的周長、圓的半徑、圓的直徑），事實上，決定圓的面積大小的特征量數(shù)就是圓的半徑。因為，在圓的認識中，已經(jīng)知道圓的半徑?jīng)Q定圓的大?。ò霃?jīng)Q定了直徑，半徑?jīng)Q定了周長）。也就是說，影響圓形面積的關(guān)鍵因素事實上就只有一個，那就是圓形的半徑。因此，我們只需研究圓形面積與圓形半徑之間的關(guān)系。

表1：半徑分別為1、2、3、4的圓的面積的實驗數(shù)據(jù)（測量結(jié)果）

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研究圓的面積的實驗，我們總是選取可以測量面積與半徑的圓形進行研究，而圓形的面積用直接測量來獲得準確的數(shù)值似乎是不可能的，因此，關(guān)于圓形面積與圓形半徑的關(guān)系的實驗似乎存在著較大的困難。事實上，我們也只能發(fā)現(xiàn)一個近似的關(guān)系。盡管發(fā)現(xiàn)的是近似關(guān)系，但是也不能否定這種實驗的數(shù)學(xué)價值。

通過實驗我們借助估計分別獲得了不同半徑下的圓形面積的估計值，如表1所示，估計結(jié)果與半徑的關(guān)系，在教師的引導(dǎo)下，可以發(fā)現(xiàn)一個大致的關(guān)系：S圓形≈3r2。

圓形的特征決定了我們的實驗不可能獲得完全準確的圓形面積與圓形半徑之間的關(guān)系。

類似于圓的周長的實驗方法來解決圓的面積問題，當然，也可以用更小的單位（方格）來計量，會使估計值更逼近精確值，但是，這種實驗結(jié)果的誤差還是不能忽略。

2．問題化歸途徑。

將圓形面積的求解當作一個問題，解決問題的總體策略，或為直接求解（實驗法就是一種直接求解的方法），或為化歸求解（將未知問題轉(zhuǎn)化為可求解的問題）。

化歸策略求解圓形面積問題，需要理清兩件事：一是求解的問題是什么？二是求解問題可以化歸的對象問題是什么？

在圓面積求解問題中，求解的問題：一個直徑（半徑）為d的圓形面積是多少？求解問題可以化歸的對象問題：已知長與寬的長方形面積、已知邊長的正方形面積、已知底與高的平行四邊形面積或三角形面積、已知上底與下底及高的梯形面積。

因此，問題化歸求一個已知直徑或半徑的圓形面積問題，重要的事情在于：確定化歸的基本對象與探尋化歸的有效方法。

怎樣才能確定化歸的基本對象？怎樣才能探尋化歸的有效方法？思路與邏輯主要還是產(chǎn)生于方形面積的求解經(jīng)驗。

方形面積求解經(jīng)驗主要有：用最基本的測量方法直接度量；局部割補再進行直接度量；將圖形割補化歸。因此，圓形面積問題的求解將在這些經(jīng)驗的基礎(chǔ)上來展開。

圖1：度量圓形面積

（1）到定義，嘗試度量求解——積聚探索動力。

面積是指平面圖形的大小，即含有多少個面積單位。根據(jù)圖形的實際情況，我們可以選定適當大小的面積單位來測量平面圖形的面積。圓形不是方形，無法直接度量面積，如圖1所示，要進行割補也具有一定的困難。當然，我們也可以嘗試取更小的面積單位，但是，面積單位太小，操作就顯得十分繁瑣。因此，我們已經(jīng)不太可能通過割補獲得準確的圓形面積。但是，在這個直接度量的過程中，我們可以發(fā)現(xiàn)，如圖1（右）所示，圓形面積與圓形的外切正方形面積之間的大致關(guān)系：圓形面積大約是圓形外接正方形面積的四分之三，即顯然，3r2＜S圓＜4r2。

根據(jù)圓形直徑與圓形周長之間的關(guān)系的探索經(jīng)驗，我們也曾經(jīng)獲得到一個類似的關(guān)系，即3d＜l＜4d，最后，根據(jù)實驗結(jié)果，我們有l(wèi)圓=dπ。因此，我們也必然會獲得一個有趣的猜測性結(jié)果：S圓=r2π。

（2）向科學(xué)，嘗試實驗求解——體驗無奈現(xiàn)實。

有了完美的猜想，需要有客觀實踐的支持。在科學(xué)研究中，“實驗”是一種科學(xué)的研究方法。但是，實驗就是要真實地通過測量獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，來發(fā)現(xiàn)與驗證相關(guān)的猜測。因此，我們會進一步去審視圓形面積與半徑之間的關(guān)系：S圓÷r2=？，進一步去探尋圓形面積的有效測量方法。但是，鑒于曲直之間難以通過有效割補的方法來實現(xiàn)轉(zhuǎn)換，我們已經(jīng)處于山前無路的窘境了。

（3）主回家，嘗試方法創(chuàng)新——體驗奇妙數(shù)學(xué)。

“窘境”在于用較大的面積單位測量精確度不高，“窘境”也在于用較小的面積單位測量數(shù)量太多，“窘境”還在于較大與較小面積單位混合測量的結(jié)果沒有什么規(guī)律，而且大小不等的面積單位還不可以直接相加！也是說，“窘境”窘在無法逼近，無法疊加！

圖2：可逼近可疊加的面積分割方法

在圓形中，我們嘗試著進行不同的分割。顯然，將其分割成平行四邊形與梯形不太可能（圓形是軸對稱圖形，平行四邊形不是軸對稱圖形）；將其分割成長方形與正方形也不能分割成若干個相同的長方形與正方形。不過，讓我們意想不到的驚喜卻是三角形，我們往往沒有想到，圓形可以分割成若干個相同的等腰三角形；當分割的份數(shù)不斷地增多時，若干個三角形的面積之和可以不斷地接近圓形面積。這樣，完全滿足可以逼近，還可以疊加求和的要求。這樣，等腰三角形就成為一種測量圓形面積的“專用”單位。

設(shè)三角形△B1B2O 的高為 hi，底為 ai，則

設(shè)將圓形平均分割成n份，則可以構(gòu)造出n個等腰三角形，則n個等腰三角形面積的和為

顯然，當圓形分割的份數(shù)不斷增多時，三角形底邊長與其對應(yīng)的圓弧長就會不斷地接近，三角形的高就越來越接近圓形半徑的長度。

因此，我們假設(shè)把圓形平均分割成無限多個近似的三角形，這時，所有等腰三角形底邊之和正好就是圓形的周長（nai=l），等腰三角形底上的高正好就是圓形的半徑（hi=r）。因此，圓形面積就是這些三角形面積的和，

（4）助經(jīng)驗，化歸解決問題——感知多樣方法。

圖形面積化歸的基本思路，主要有三種情況：一是多個圖形拼成一個可以求解的圖形；二是將一個圖形分割成多個可以求解的圖形；三是將一個圖形割補（分割拼接）成一個可以求解的圖形。顯然，多個圓形是無法拼成一個可以求解的圖形的；一個圖形分割成多個可以求解的圖形，而且是多個相同的小三角形，這是一種很奇妙的思路；如圖3（左）所示，將圓形分割成8個相同的小三角形（小扇形），那么，理論上，它可以拼成長方形、三角形、平行四邊形、梯形等多種圖形。

圖3：圓形割拼成（類似）平行四邊形

如圖3所示，圓形割拼成了類似平行四邊形，當分割的份數(shù)不斷地增多時，三角形底邊長與對應(yīng)的圓弧長就不斷接近。因此，圓形面積求解問題可以轉(zhuǎn)化為平行四邊形面積的求解問題。

因此，我們可以知道：圓的面積與半徑的大小直接相關(guān)，測量圓形面積的問題可以通過測量圓形半徑來解決。

三、重復(fù)訓(xùn)練鞏固數(shù)學(xué)知識，概括總結(jié)積累活動經(jīng)驗

關(guān)于圓形面積的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，就數(shù)學(xué)知識而言，圓形面積公式是一個重要的基礎(chǔ)知識；根據(jù)相應(yīng)的條件求解面積公式中的相關(guān)的特征值是一個重要的基本技能；探索圓形面積公式所需的分割拼補、想象推理等化歸思想與推理思想是重要的數(shù)學(xué)思想；在圓形面積求解過程中，運用測量、分割、拼擺、想象等數(shù)學(xué)方法求圓形面積問題，這種回家式思維、化歸式思想、無限式想象是重要的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

1．形式化訓(xùn)練。

說一說面積的計算公式：S圓=r2π，其中，S表示圓的面積，r表示圓的半徑。

用一用面積的計算公式：已知圓的直徑或半徑或周長，求圓的面積。

2．實踐性訓(xùn)練。

（1）測量給定圖形的直徑（或半徑）長度，計算圓形的面積。

（2）測量給定圓形事物（柱子等）的周長，計算圓形的面積。

（3）解決日常生活中圓形建筑與圓形裝飾的用料面積。

3．發(fā)展性訓(xùn)練。

說一說圓形面積計算公式是怎樣的（數(shù)學(xué)知識）？說一說圓形面積計算公式是如何獲得的（數(shù)學(xué)過程）？說一說獲得圓形面積計算公式的體會是什么（數(shù)學(xué)體驗、數(shù)學(xué)經(jīng)驗）？關(guān)于圓及圓的面積你還知道了什么（數(shù)學(xué)文化層面的拓展）？