賈奧男 沈海軍 周徐斌 龐亞飛 姚駿

(上海衛(wèi)星工程研究所，上海 200240)

衛(wèi)星飛行過程中，由于外力、太陽照射、機械振動等因素的影響，有效載荷所在的基準板會發(fā)生微小的變形，從而使有效載荷在標準指向上產生小角度偏轉，嚴重影響了高精度載荷的工作性能[1]。例如，風云四號衛(wèi)星(FY-04)的閃電成像儀在軌發(fā)生的角度變化雖然只有1′～5′，但由于軌道高，對地圖像移動距離達到了萬米級別。

隨著我國衛(wèi)星事業(yè)的發(fā)展，特別是高分辨率對地觀測衛(wèi)星的發(fā)展，對有效載荷的指向精度要求越來越高，其微角度偏差測量的需求越來越迫切。角度測量是計量科學中較為成熟的一個分支，國內外已研制出多種測角儀器，以滿足各種需要[2]。但是滾轉角的高精度測量一直是精密測量技術領域的一個難題[3]。目前，滾轉角測量主要有激光干涉法、偏振光測量法等，不過這些方法大都處于原理和試驗階段，距離實際工程應用還有一定距離[4-6]。而傳統(tǒng)的地面高精度角度測量儀器或無法經受衛(wèi)星發(fā)射時主動段的振動，或無法適應衛(wèi)星的在軌環(huán)境，或其安裝使衛(wèi)星結構設計十分復雜。

蓋亞(GAIA)空間望遠鏡[7]是歐洲航天局發(fā)射的高精密光學天文衛(wèi)星，其上搭載了一套激光干涉角度測量系統(tǒng)，用于對GAIA衛(wèi)星的兩臺望遠鏡載荷相對轉角進行測量，精度達到了0.5 μrad。針對基準面的直接變形測量，文獻[8]提出了基于應變測量的大型星載相控陣天線結構在軌變形測量及配準系統(tǒng)方案；文獻[9]提出了基于位置傳感器(PSD)的位移測量系統(tǒng)，用于測量低軌道星-2衛(wèi)星(LEOStar-2)上搭載的核光譜望遠鏡陣列(NuSTAR)的鏡面與探測器之間的相對位移變形。

在軌變形量的準確測量是結構在軌變形控制的基礎，并可為圖像配準系統(tǒng)提供修正依據，為提高衛(wèi)星在軌性能提供技術保障。因此，設計制造出一種既有著小巧的機械結構，又能有較高的測量精度及分辨率的三維微角度測量儀對于解決在軌微轉角測量問題提供技術手段。

本文針對航天器在軌變形問題，設計了一種能夠測量兩個被測物體間相對轉角的方案，根據位移計測量的各面上多點的位移變化，提出了3種角度求解算法。與傳統(tǒng)地面高精度測角儀器相比，本方案不僅適用于在軌測量，而且能同時測量三維角度。

1 測量方案

隨著現代激光位移傳感器技術的發(fā)展，對于微小位移的測量已經達到了很高的精度。本文提出的方案通過面的微角度旋轉與由此產生的面上點的位移之間的關系，來求解相應的角度。

為了測量有效載荷偏離基準的三維角度，現設計如圖1所示的測量裝置(綠色與藍色結構)。黃色物體代表星上有效載荷和基準物體，剛性懸臂分別從其上引出，用以傳遞發(fā)生的轉動。為方便描述，稱被包覆的立方為內接頭，相鄰的為外接面，并給外接面的各面分別命名：頂面、側面、后面。外接面的3個面相互正交，內接頭提供位移計的安裝位置。

圖1 初步設計的測量裝置Fig.1 Preliminary designed measuring device

被測物體旋轉后連帶懸臂進行轉動，轉動后的裝置如圖1(b)所示。在各面上布置一定數量的位移計，對兩面之間的相對位移變化進移測量，通過位移與轉角之間的關系計算內接頭與外接面間的相對轉動，從而得到有效載荷相對基準的轉角。由于位移計本身的測量結果中包含著接頭的轉角與平移信息，在求出轉角的同時，可以進一步求出接頭之間的相對平移。結合接頭的轉角與平移信息，可以反推出被測物體的相對平移信息。總之，即用接頭之間的相對位移變化，反推出被測物體之間相對轉角與相對平移。

2 數學模型

2.1 坐標系建立

在內接頭和外接面上分別建立隨體坐標系o-xyz和O-XYZ，其原點在各自的中心。坐標系遵循右手定則，坐標軸分別與各面垂直，如圖2所示。圖2(a)中兩坐標系初始時重合，即內外接頭的對應面相互平行。由于測量的是相對轉角，假定內接頭靜止，外接面相對內接頭旋轉，此時內接頭隨體坐標系相當于慣性坐標系。即通過外接面隨體坐標系相對于內接頭隨體坐標系的轉動加平動來表征內外接頭之間的相對位姿關系。

圖2 坐標系定義Fig.2 Definition of coordinate system

相應的，可以得到內接頭隨體坐標系o-xyz下各測點的坐標：Ai=(xAi,yAi,zAi)，Bi=(xBi,yBi,zBi)，i=1,2,3。其中，測點為位移計的測量點，以激光位移計為例，測點即為光點。由三點定面的矢量叉乘運算可以得到外接面隨體坐標系O-XYZ在內接頭隨體坐標系o-xyz下坐標軸的矢量表示。

平臺頂板經過熱變形后，內外接頭發(fā)生相對轉動，如圖2(b)所示，外接面隨體坐標系旋轉后為O′-X′Y′Z′。假定位移計光路設置與O-XYZ的各坐標軸平行。相應的，仍可以得到o-xyz下各測點的坐標

(1)

式中：ΔhAi、ΔhBi為相應測點位移計的前后讀數之差。需要注意的是，Ai與Ai′并非同一點，即轉動前和轉動后的測點并不相同。如圖3所示，A為初始測點，AA為原測點A經過轉動和平動后所到達的新位置，A′為位移計的新測點。

圖3 頂面轉動前后測點示意圖Fig.3 Diagram of point on top surface before and after

由此同樣可以得到坐標系O′-X′Y′Z′在坐標系o-xyz下坐標軸的向量表示。

2.2 相對轉角求解

對于轉角求解，有多種方法。假設三面上均有3個測點，根據方法需要確定所需測點。

2.2.1 解方程法

由式3.1可以得到初始狀態(tài)下外接面隨體坐標系的坐標軸矢量為X，Y，Z。設外接面相對于內接頭隨體坐標系轉動的三個歐拉角為θ、φ、γ，平移量為Δx、Δy、Δz。

則通過變換矩陣[10]和平移量可以得到相對運動后的位移計原測點AAi、BBi、CCi(i=1,2,3)，以及外接面隨體坐標系的坐標軸矢量X′、Y′、Z′；相對運動后的位移計新測點Ai′、Bi′、Ci′可由式(1)得到。

由平面法線和平面上一點可以得到得到平面表達式。如圖3所示，由于AAi與Ai′在同一平面內，將A′的坐標帶入平面表達式即可得到方程。對于側面和后面亦是如此。

由此便得到關于θ、φ、γ，Δx、Δy、Δz的方程組。由于有6個未知數，需要6個方程。但6個方程所包含的測點必須涵蓋三個面(詳見2.3節(jié))，即頂面、側面、后面測點分配可以按3-2-1、2-2-2等形式分配。通過數值迭代的方法求解方程組，6個輸入便可以得到6個輸出。

2.2.2 方向余弦矩陣法

使用方向余弦矩陣[11-12]表示外接面隨體坐標系與內接頭隨體坐標系的關系。

設o-xyz到O′-X′Y′Z′的方向余弦矩陣、o-xyz到O-XYZ的方向余弦矩陣、O-XYZ到坐標系o-xyz的方向余弦矩陣分別為H2、H1與H0。由R·H1=H2，則可以得到坐標轉換矩陣為R=H2·H1-1。用θ、φ、γ定義外接面相對于內接頭隨體坐標系轉動的3個歐拉角。按3-1-2的旋轉順序，可以求得在坐標系O-ZXY下從坐標系O-XYZ到O′-X′Y′Z′的歐拉角為

(2)

將θ1、φ1、γ1投影到坐標系o-xyz中即可得到外接面相對內接頭旋轉的三維角度。

(3)

2.2.3 四元數法

四元數在幾何與工程應用上的重要性首先體現在它與旋轉的關系上，單位四元數簡潔地表示了三維空間中的旋轉[13]。

取外接面頂面為例，如圖4所示，可將其任意的轉動分解為兩次旋轉：平面α1繞n轉動σ1角，再繞Z′轉動Φ1角，即得到平面α2。其中，平面α1為原面，法線為Z；平面α2為旋轉后的面，法線為Z′；兩面的交線為n；σ1為法線Z和法線Z′的夾角，即平面α1和平面α2的二面角。

法線Z和法線Z′可由測點坐標求得，于是可以得到n，σ1。由此可以寫出兩次轉動的四元數：p1，p2。其中，p2包含未知數Φ1。對于側面，采用同樣的分解方式，可以得到兩次轉動的四元數q1，q2。由于頂面和側面屬于同一個外接面剛體，因此頂面的轉動和側面的轉動最終效果應當一致，通過四元數乘法可得

p2p1=q2q1

(4)

通過四元數對應項相等，即可得到關于Φ1、Φ2的方程組。通過數值方法求解，便可得到Φ1、Φ2。將Φ1(或Φ2)帶回原四元數，然后進行四元數相乘運算，便可得到描述整體轉動的四元數。

圖4 頂面旋轉分解圖Fig.4 Rotation decomposition of top surface

2.3 平移求解

位移計讀數不僅包含著角度信息，還包含著位移信息。而接頭的位移則分成兩部分，如圖5所示：假設被測物體繞Z軸旋轉，側面上某一測點Bi到達位置Bbi；然后接頭沿Y方向移動，Bbi到達位置BBi。則接頭的位移分成兩部分，如圖5所示：d2即為因引入懸臂由旋轉造成的外接面的平移，dy為被測物體y方向的位移。本節(jié)所求為總平移Δy=dy+d2。

圖5 懸臂而引起的位移示意圖Fig.5 Displacement due to cantilever

取頂面為例，如圖6所示，被測物體旋轉后，頂面由原來的平面α1，變成了平面α3。把這個過程分成兩部分：首先，平面α1繞內接頭隨體坐標系的各坐標軸分別旋轉至平面α2，相應地測點從綠點位置移到了紅點位置；然后，平面α2平移至平面α3，相應地測點從紅點位置移到了黃點位置。而測量同一面的位移計，對于旋轉，各位移計讀數變化不同；而對于平移，各位移計讀數變化相同，如圖6所示。即指向同一面的各位移計所得到的平移信息相同。因此，為得到平移量，需3個面上的位移計信息。

對于解方程法，可以直接得到位移量。而對于方向余弦矩陣法和四元數法，由于只用到了兩個測面，因此需要補充第3個面的測點。具體過程可以參照2.2.1節(jié)，與解方程法不同的是，此時θ、φ、γ已經為已知量，第3面上只需挑選一點就能獲得平移量。

圖6 旋轉與平移位移計示意圖Fig.6 The measures of rotation and translation by displacement sensor

2.4 相對位置確定

被測物體的轉角與接頭轉角相同，但由于懸臂的影響，位移則有所不同。而要確定被測物體的相對位置，需要求出dx，dy，dz。由2.2節(jié)和2.3節(jié)可得到內外接頭的相對轉角與相對位移。進一步地，如圖5所示，BBi與Bbi之間的坐標之差即為dx，dy，dz。

2.5 小結

得到位置和轉角關系后便可得到被測物體之間的相對位姿(位置和姿態(tài))。

解方程法必須用到3個面。如果僅需要測量角度，可以采用只需兩個面的方向余弦矩陣法和四元數法，如表1所示。不僅可以減少裝置的質量，而且可以消除由后面帶來的偏轉效應。不過，如果需要測量角度與位移，方向余弦矩陣法和四元數法需要7個測點。

就所需面數與測點數而言，如果僅需測量角度，方向余弦矩陣法和四元數法占優(yōu)；如果需要測量角度和平移量，解方程法占優(yōu)。

表1 各方法所需面數與測點數統(tǒng)計表

3 算例分析

考慮到星上的有限空間，測量裝置不能過大，以及實際安裝的便捷性，仿真中設單面上各測點分布在邊長為100 mm的正方形的頂點，依照方法不同選擇對應的測點。

3.1 仿真計算

為了驗證算法的正確性，首先給定一組空間角度θ、φ、γ與位移Δx、Δy、Δz，給出理論上各位移計讀數的變化量，然后代入第2節(jié)的方法中，得到θ′、φ′、γ′與Δx′、Δy′、Δz′。將得到的角度與給定的空間角進行比較，以此驗證模型的正確性。

輸入了多組空間角度進行驗證，表中的位移量為總平移量，結果如表2所示。結果表明，計算得到的空間角和平移量與設定值吻合，證明了建模方法的正確性。而計算產生的微小偏差是由matlab軟件的小數位數截斷所帶來的，代入計算的有效位數越多，差異越小。但相對來說解方程法出現的偏差較大，這是由方程的數值求解帶來的，取決于求解過程中的循環(huán)次數。而四元數法也有方程數值求解的過程，但精度卻比解方程法高，這是因為四元數法所涉及的方程較為簡單。由于方向余弦矩陣有解析解，因此精度最高。

表2 仿真計算結果

3.2 參數影響分析

在實際操作中，如圖1(a)所示，對于頂面而言，x和y方向的坐標可通過相對位置確定，而z方向的精確坐標，卻很難通過測量手段獲得。因此，必須計算其對最終測角結果的影響。

利用蒙特卡羅法進行分析，使外接面繞空間任意軸偏轉某一角度，導致內外接頭對應面不平行，各測點z坐標產生偏差，而求解角度時仍使用設計值，提取出多次計算所得的最大誤差，如圖7(a)所示。同樣地，分別給各參數相應的隨機誤差，可以得到位移計本身測量誤差、測點坐標偏差、位移計方向偏差對最終測角結果的影響，分別如圖7(b)(c)(d)所示。

可以看到，在各參數人為可控的范圍內，初始位置對結果的影響遠大于其他參數。因此必須保證測點的坐標精度。

圖7 各參數偏差對測角結果的影響Fig.7 Influence of deviation of each parameter on measurement results

4 試驗驗證

試驗系統(tǒng)采用色散共焦位移傳感器，精度為0.3 μm，如圖8所示，通過質量塊加載，使平臺蜂窩板發(fā)生變形，從而使兩邊的被測物體發(fā)生微轉動，以模擬星上發(fā)生的變形。隨著組數增大，質量塊的質量逐漸增加。

試驗中設置兩面均為3個測點，用最小均方誤差(LMS)采集位移計數據。內接頭為邊長200 mm的立方殼。在一被測物體上安裝自準直儀，對面的另一被測物體安裝棱鏡，達到測量相對轉角的目的。同時為了增加精度，按上述方法布置兩臺，進行相互對照。以自準直儀的測量結果為對照，以方向余弦矩陣法進行結果求解。

圖8 試驗系統(tǒng)Fig.8 Experimental system

4.1 試驗結果

圖9為各組偏擺角的測量結果；圖10為各組下俯仰角的測量結果；圖11為各組俯仰角與偏擺角的綜合結果，同一個圈內為同一加載條件下的結果。

圖9 不同加載質量下的偏擺角Fig.9 Bending angles of different loading quality

圖10 不同加載質量下的俯仰角Fig.10 Pitch angles of different loading qualities

可以看到，兩臺自準直儀所標定的轉角本身就有所不同，而且隨著測量角度的增大，這個偏差有進一步擴大的趨勢。這是因為自準直儀a與棱鏡b是有一段距離的，如圖12所示。棱鏡的安裝誤差導致兩自準直儀的測量坐標系不同，即兩自準直儀所測角度并非繞同一軸的轉角。而蜂窩板的變形會導致被測物體的微變形，使自準直儀a與棱鏡b所在位置的局部變形不一致，導致讀數發(fā)生偏差。

圖11 偏擺角與俯仰角的綜合結果Fig.11 Combined results of yaw angles and pitch angles

圖12 自準直儀示意圖Fig.12 Layout of self-collimator

圖13表示角度的偏差值，其中橫坐標為偏擺角偏差值，縱坐標為俯仰角偏差值。由于懸臂位于自準直儀a與棱鏡b中間，所以俯仰角與偏擺角的基準值采用兩自準直儀所測角的平均。由圖13可以看出兩個角的誤差基本穩(wěn)定在5″以內。

圖13 不同加載質量下的偏差結果

4.2 誤差分析

首當其沖的就是位移計本身的測量誤差。而計算中的各項參數均采用設計值，在試驗中由于位移計的夾持方式顯然無法達到要求。測點的坐標預估在各方向上有+1 mm的誤差；位移計方向與設定指向在空間中估計有1°的偏差；初始位置下內外接頭對應面不平行，約有1°的偏差。此外，當邊界條件發(fā)生變化時，由于重力導致懸臂彎曲變形會帶來一定的影響。誤差結果符合3.2節(jié)的分析。

5 應用展望

由3.2節(jié)的分析可知，內外接頭的初始位置對測量精度的影響較大。在地面標定后，經過主動段，需要在軌開機查看位移計讀數，據此調整數學模型的初始位置，然后進行求解。

不過，該方案建立在懸臂為剛體的基礎上。由于在軌環(huán)境惡劣，在交變的溫度場下，如果懸臂本身發(fā)生熱變形，將會導致較大的測角誤差。因此，對于懸臂結構的穩(wěn)定性設計將是日后研究的重點。此外，位移計能否在真空中正常使用也將直接影響裝置的精度。

針對某些因空間障礙無法直接測量的部件，可以通過第三者采用多個裝置組成鏈式傳遞的方式。不過參與的部件增多，精度將有所下降。

由于在軌有效載荷指向精度測量不需要繞自身指向軸的旋轉角，在這種情況下，可以將本方案的兩個面退化為一個面，即可測出二維角度。

6 結束語

原理樣機驗證試驗中，俯仰角與偏擺角的測量精度在5′的視場內分別達到了4″和4.9″。而誤差的很大一部分原因是由于試驗中一些初始參數設置沒有進行精確保證，如(測點坐標、位移計方向等)。如果進一步使這些參數靠近設計值，精度將會進一步提高。實際應用中應優(yōu)先保證對角度求解影響大的參數——測點坐標。后期將基于以上研究內容進行方案優(yōu)化。

在軌變形測量滿足目前衛(wèi)星的高精度發(fā)展的迫切需求，發(fā)展前景廣闊。該裝置結構簡單、性能穩(wěn)定、測量精度較高，可以在衛(wèi)星儀器安裝板底部位于有效載荷的正下方設計相應接口，或直接在有效載荷上設計相應接口，實現在軌相對三維角度測量。