鄒寶娟 譚文群

摘 要：本文針對(duì)“數(shù)字信號(hào)處理”課程的特點(diǎn)，將對(duì)比教學(xué)法應(yīng)用于課程的教學(xué)實(shí)踐，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維能力，改善教學(xué)效果，提高教學(xué)質(zhì)量的目的。

關(guān)鍵詞：對(duì)比法；數(shù)字信號(hào)處理；譜分析

一、 引言

對(duì)比法就是對(duì)各相互聯(lián)系的對(duì)象進(jìn)行比較，找出其異同點(diǎn)。在教學(xué)中，對(duì)比法是非常重要的方法之一，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用對(duì)比的方法，能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)課程中基本概念和規(guī)律本質(zhì)的理解，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)基本知識(shí)的理解和記憶，提高課堂教學(xué)效果都是有好處的。

“數(shù)字信號(hào)處理”是用數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理的一門(mén)學(xué)科，課程內(nèi)容涉及面廣、理論性強(qiáng)、概念抽象多，起點(diǎn)高，難度大。學(xué)生們初學(xué)時(shí)常感覺(jué)到概念難以建立，方法難以掌握。通過(guò)對(duì)數(shù)字信號(hào)處理課程內(nèi)容的梳理可以發(fā)現(xiàn)，很多基本概念、性質(zhì)和算法之間有著密切的聯(lián)系，具有某些相似性。同時(shí)，該課程與先修的“信號(hào)與系統(tǒng)”在理論基礎(chǔ)、分析方法上密切相關(guān)，知識(shí)繼承性強(qiáng)。因此，在數(shù)字信號(hào)處理課程教學(xué)中恰當(dāng)運(yùn)用對(duì)比法，有助于學(xué)生在新舊知識(shí)之間建立聯(lián)系，溫故而知新，使學(xué)生更深刻理解基本概念、掌握正確的學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

下面就此談幾點(diǎn)具體的做法。

二、 綜合運(yùn)用多種對(duì)比法，加深學(xué)生對(duì)概念的理解和對(duì)性質(zhì)及算法的把握

對(duì)比的方法多種多樣，如新舊對(duì)比、正反對(duì)比、相似對(duì)比、同類(lèi)對(duì)比、總結(jié)對(duì)比等。恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用對(duì)比法可以加深學(xué)生對(duì)課程中概念的理解和對(duì)性質(zhì)及算法的把握。

（一） 系統(tǒng)因果性、穩(wěn)定性的判斷

在離散時(shí)間系統(tǒng)的分析中，系統(tǒng)的因果性、穩(wěn)定性判斷問(wèn)題是一個(gè)學(xué)生易錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)。在該課程中，判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性共有三種方法：定義、充要條件和系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布（收斂域）。之所以有三種判斷方法，跟系統(tǒng)的描述法有關(guān)。離散時(shí)間系統(tǒng)可以分別從時(shí)域和Z域（復(fù)頻域）進(jìn)行描述，時(shí)域的描述有輸入輸出描述法和系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)兩種，Z域的描述是系統(tǒng)函數(shù)（傳輸函數(shù)）。這三種系統(tǒng)描述法分別對(duì)應(yīng)系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性的判斷的三種方法，如表1。

按照表1，我們可以根據(jù)給定的系統(tǒng)描述方法確定采用相應(yīng)的判斷法。筆者在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生只記充要條件，往往把簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化了。如系統(tǒng)H（z）=1-z-1（1-0.9z-1）（1-0.2z） 5<|z|≤∞，判斷其因果性穩(wěn)定性。按照表1中第三種方法，系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包含∞點(diǎn)，但不包含單位圓，這是一個(gè)因果且不穩(wěn)定的系統(tǒng)。有的學(xué)生第一反應(yīng)是進(jìn)行逆Z變換，大量計(jì)算（計(jì)算過(guò)程復(fù)雜易出錯(cuò)）最后還是得到一個(gè)不正確的結(jié)論。

y（n）=∑Mi=0bix（n-i）-∑Ni=1aiy（n-i）

系統(tǒng)n時(shí)刻的輸出取決于n時(shí)刻及n時(shí)刻以前的輸入信號(hào)，而和n時(shí)刻以后的輸入信號(hào)無(wú)關(guān)

系統(tǒng)對(duì)任意的有界輸入，都能得到有界輸出

系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

h（n）

系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是因果序列

h（n）=0 n<0

系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)絕對(duì)可和∑∞n=-∞|h（n）|<∞

系統(tǒng)函數(shù)

H（z）

系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)均在某個(gè)圓內(nèi)，收斂域包含∞點(diǎn)

系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包含單位圓

（二） 譜分析中譜線密度與頻譜分辨率的對(duì)比

對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析，就是計(jì)算信號(hào)的傅里葉變換。由于DFT是時(shí)域和頻域均為離散化的變換，適合數(shù)值運(yùn)算，所以常采用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析。譜分析中需要經(jīng)歷2個(gè)步驟：一是時(shí)域采樣并且截?cái)?；二是為了?shù)值計(jì)算，在頻域上也要離散化。其中柵欄效應(yīng)、頻率分辨率是譜分析中常見(jiàn)的問(wèn)題。

因?yàn)镈FT計(jì)算頻譜只限制在基頻整數(shù)倍處的頻譜，兩點(diǎn)之間的頻譜值不知道，這種現(xiàn)象稱(chēng)為柵欄效應(yīng)。減少柵欄效應(yīng)的一種方法是增加頻域的采樣點(diǎn)數(shù)N，在不改變時(shí)域長(zhǎng)度的情況下，可以在時(shí)域數(shù)據(jù)的尾部加零，增加一個(gè)周期內(nèi)的點(diǎn)數(shù)，這樣進(jìn)行DFT后譜線更密。

頻率分辨率是譜分析中能夠分辨的兩個(gè)頻率分量最小的間隔。為提高頻率分辨率，在不減小譜分析范圍的情況下，只能增加觀測(cè)時(shí)間，即實(shí)際信號(hào)的長(zhǎng)度及相應(yīng)的采樣點(diǎn)數(shù)。而補(bǔ)零不能增加數(shù)據(jù)的有效長(zhǎng)度，是不能提高頻率分辨率的。

下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明譜線密度與頻率分辨率的不同。設(shè)時(shí)域采樣后的信號(hào)為x（n）=cos（0.46πn）+sin（0.54πn），分別求采樣20點(diǎn)的低密度譜，采樣20點(diǎn)且補(bǔ)80個(gè)零的高密度譜，以及采樣10點(diǎn)的高分辨率譜，如圖1。

（a） （b） （c）

圖1 低密度譜、高密度譜及高分辨率譜的對(duì)比

從圖1中可以知道，圖（a）的譜線間隔和頻率分辨率均為2π20=0.1π；圖（c）的譜線間隔和頻率分辨率均為2π100=0.02π；圖（b）的譜線間隔為2π100=0.02π，與圖（c）的譜線間隔相同，譜線密度明顯高于圖（a），原來(lái)看不到的譜分量可以看到了，有效地減少了柵欄效應(yīng)。由于圖（b）中數(shù)據(jù)的有效長(zhǎng)度是20個(gè)點(diǎn)，所以圖（b）的頻率分辨率是2π20=0.1π，與圖（a）的頻率分辨率相同，即頻率分辨率較低。原信號(hào)中有兩個(gè)頻率分量，分別是0.46π和0.54π，它們相差0.08π，圖（a）和圖（b）的頻率分辨率為0.1π>0.08π，不足以區(qū)分出兩個(gè)頻率分量，而圖（c）的頻率分辨率為0.02π<0.08π，能夠區(qū)分出這兩個(gè)頻率分量。由于是周期信號(hào)，有效長(zhǎng)度取信號(hào)周期的整數(shù)倍還可以減少頻譜泄漏。

三、 一題多解對(duì)比，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力

本課程的各種運(yùn)算不少，經(jīng)常有意識(shí)地讓學(xué)生做一些一題多解練習(xí)并加以對(duì)比，可擴(kuò)展學(xué)生的思維空間，增強(qiáng)運(yùn)用知識(shí)的靈活性，對(duì)所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力。

例如，求兩序列h（n）=δ（n）+2δ（n-1）+3δ（n-2），x（n）=δ（n）+2δ（n-1）線性卷積。

在數(shù)字信號(hào)處理中，卷積運(yùn)算是求線性時(shí)不變系統(tǒng)輸出的主要方法，其定義為y（n）=x（n）*h（n）=∑∞m=-∞x（m）h（n-m），求兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的線性卷積，可采用圖表法、解析法、豎式乘法等多種方法。以本題為例。

（1）圖表法 該法按照卷積的定義，在圖形上分為翻褶、移位、相乘、相加幾個(gè)步驟，列表如表2：

最后得卷積結(jié)果y（n）=δ（n）+4δ（n-1）+7δ（n-2）+6δ（n-3）

（2）解析法 該法可以分成幾個(gè)區(qū)間來(lái)分別考慮，對(duì)于有限長(zhǎng)序列，可用單位脈沖序列來(lái)表示，并利用卷積運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，如式1。

y（n）=h（n）*x（n）=[δ（n）+2δ（n-1）+3δ（n-2）]*[δ（n）+2δ（n-1）]=δ（n）+2δ（n-1）+3δ（n-2）+2δ（n-1）+4δ（n-2）+6δ（n-3）=δ（n）+4δ（n-1）+7δ（n-2）+6δ（n-3）（1）

（3）豎式乘法 如式2，這種方法要注意n=0的位置。

卷積結(jié)果為y（n）=δ（n）+4δ（n-1）+7δ（n-2）+6δ（n-3）

除這三種方法，MATLAB信號(hào)工具箱還提供了conv函數(shù)用于計(jì)算兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的線性卷積。

通過(guò)此例，不僅總結(jié)了求卷積的幾種不同方法，通過(guò)對(duì)比，也活躍了學(xué)生的思維。

四、 結(jié)語(yǔ)

數(shù)字信號(hào)處理課程教學(xué)中可以進(jìn)行的對(duì)比是多種多樣，在教學(xué)中采用對(duì)比法對(duì)于提高學(xué)生靈活運(yùn)用能力，建立縱橫交錯(cuò)的基礎(chǔ)知識(shí)網(wǎng)都有很大提高。但對(duì)比法不是萬(wàn)能的，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，結(jié)合其他教學(xué)方法和教學(xué)手段，使學(xué)生在牢固掌握專(zhuān)業(yè)知識(shí)的同時(shí)，提高創(chuàng)造性思維和分析與解決問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1] 韓德培.物理教學(xué)中的對(duì)比法[J].華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1992，26（4）.

[2] 高西全，丁玉美，闊永紅.數(shù)字信號(hào)處理—原理、實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用（第3版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2016.

[3] 程佩青.數(shù)字信號(hào)處理教程（第2版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2001.

作者簡(jiǎn)介：

鄒寶娟，譚文群，江西省南昌市，南昌工程學(xué)院信息工程學(xué)院。