王 杰， 李勝光， 宋一帆， 白 珂， 馬天磊

(鄭州大學 電氣工程學院，河南 鄭州 450001)

0 引言

隨著科學與技術的發(fā)展，圖像成為越來越重要的信息傳播媒介.然而圖像在形成、傳送和儲存的過程中，由于一些不可抗拒的因素，會產(chǎn)生圖片污染進而造成圖片退化，即模糊圖片[1-2].通常，圖像在退化過程中可用下面模型進行近似，

g=h?f+n,

(1)

式中：f為清晰圖片；g為觀察到的圖片；n是零均值高斯白噪聲；h為點擴散函數(shù)；?是卷積算子.圖像復原技術是一個病態(tài)問題，通常使用正則化技術去解決這個問題，通過最小化下式的變分問題來復原清晰圖像f，

(2)

式中：第一項通常被稱為保真項，用來保存圖像的最大信息，此部分可以通過最大后驗估計推導出來[3]；第二項被稱為正則化項，通過改善正則化項使復原的圖像更清晰.正則化參數(shù)α>0.

正則化項φ(f)的選取對復原出的圖像質量有著至關重要的影響.Rudin等[4]提出一種全變差方法，用φ(f)=‖f‖1表示正則化項.這種方法能夠比較好地保存圖像的邊緣信息，然而會產(chǎn)生階梯效應.為了減弱復原圖片的階梯效應并且保存圖像的邊緣信息，Lysaker等[5]提出了一種用二階次全變差正則化項取代原始全變差正則化項的方法.Chan等[6]提出了一種混合的全變差公式，將一階和二階全變差混合使用.也有其他學者采用更高階的全變差公式，然而階次越高，改進后的模型就越復雜，計算難度也會隨之增加，產(chǎn)生一些不良效應.Huang等[7]通過引入輔助變量來代替真實圖片,提出了一種快速總變差(Fast-TV)最小化方法.Liu等[8]和Shi等[9]采用重疊組稀疏正則化項恢復噪聲損壞圖像，在減輕階梯效應方面非常有效.Bai等[10]提出了一種基于交替方向乘子法求解全變差正則化的模型，該模型對去除椒鹽噪聲非常有效，但對于隨機噪聲效果一般.賴明倩等[11]提出了一種全范數(shù)全變差的算法，既保留了邊緣效果又減弱了階梯效應.

全變差正則化方法能夠較好地保留圖像的邊緣信息，但會產(chǎn)生階梯效應，所以要對正則化項進行改進以便減弱階梯效應.采用重疊組稀疏全變差函數(shù)(OGSTV)代替正則化項，該方法曾被用來去除一維噪聲[12]，能夠保留邊緣特性，并且減弱階梯效應.重疊組稀疏全變差通常是利用交替方向乘子(ADMM)方法來進行求解.但在求解過程中，其懲罰因子對復原效果有較大影響，且一般由經(jīng)驗選取，不易調出最佳效果，所以筆者提出了一種自適應交替方向乘子法來求解該模型，在復原圖片的過程中根據(jù)復原情況能夠實時地調節(jié)ADMM的懲罰因子.該算法不僅能夠保存圖像的邊緣特性，并且能夠克服全變差的階梯效應.此外，自適應交替乘子法比經(jīng)典的交替乘子法更具有魯棒性，第3節(jié)的試驗證明了該算法的高效性.

1 預備知識

1.1 重疊組稀疏

(3)

所以對應的全變差公式的正則化項變?yōu)?

φ(s)=φ(xs)+φ(ys).

(4)

1.2 OGSTV

通過引入定義的重疊組稀疏正則化項，圖像復原公式(2)可轉換為：

(5)

對于圖片中的每個像素值都有一定的范圍約束PΩ=[pl,pu]，這種約束被稱為黑箱約束[13].通過引入一些輔助變量vx、vy、z，將式(5)轉化為有約束問題，

s.tvx=xf,vy=yf,z=f.

(6)

相應的增廣拉格朗日函數(shù)為:

φ(vy))+PΩ(z)+μT{(xf-vx)+

(7)

式中：μ是拉格朗日乘數(shù)；σ>0是懲罰因子.式(7)可以用ADMM算法進行求解.

2 自適應ADMM-OGSTV

在式(7)中，σ通常是由經(jīng)驗選取.但試驗證明其值選取的大小對圖片恢復質量有著至關重要的影響.所以提出了一種自適應正參數(shù)σ的選取方法.對式(7)進行變形得,

(8)

利用ADMM算法對式(8)進行求解可得復原圖片f的迭代公式為(文獻[14]中給出了相應的求解過程)，

(9)

由式(9)可以容易地看出圖片復原迭代公式是以Si,i=1,2,3為步長的梯度下降.為了證明σ值變化對f的影響，令σ為自變量，其他參數(shù)為常量，可得,

f=argminΦ(σ),

(10)

(11)

為了在圖片復原過程中根據(jù)復原情況進行自適應的迭代，以空間歐式距離作為復原前后相似度度量得，

(12)

當Δk+1<ε，ε為任意小常數(shù)，圖像復原迭代過程中圖片再無變化，迭代終止.在迭代過程中根據(jù)Δk實時調整σk值，做如下定義，

(13)

3 試驗與結果

為了更加充分地驗證本算法，筆者選取不同尺度的圖片進行測試，所有測試圖片如圖1所示，其中圖Goldhill尺寸為512×512，圖Lena尺寸為256×256.

圖1 測試圖片F(xiàn)ig.1 The picture for test

在試驗過程中，分別對測試圖片進行了兩種高斯模糊，模糊核為7×7記為模糊核1；模糊核為21×21記為模糊核2，高斯函數(shù)標準差均為2.兩種運動模糊，位移像素為10，偏移角度為30，記為模糊核3；位移像素20，偏移角度為45，記為模糊核4，偏移角度均為逆時針方向，論文以下內容采用此簡記方式.筆者方法和最新的Fast-TV算法[7]、TVFN算法[11]和OGSATV-ADM4算法[8]進行了對比.為了保證對比的公平，所有算法的迭代終止條件為ε=1×10-5，其他條件為其論文中證明的最優(yōu)條件.筆者方法經(jīng)試驗證明參數(shù)γ取1.01，參數(shù)η取1.09；重疊組稀疏窗，選取W=3，文獻[15]已驗證其最優(yōu)性.實驗環(huán)境為Windows 7, 64位Intel Core i5-3230 CPU 2.5 GHz，MATLAB版本為2014 a.

筆者對恢復出來的圖片進行質量評價時，使用的是3種常用的評價方法，相對誤差(RE)、峰值信噪比(PSNR)和信噪比(SNR)，使用這3種方法[7]比較容易和其他算法進行對比.模糊信噪比[7](BSNR)為試驗附加噪聲.

3.1 ADMM計算步長的影響

采用交替方向乘子法去優(yōu)化重疊組稀疏正則化模型時，為了驗證正項懲罰參數(shù)σ對復原圖片性能的影響，筆者選取圖片Goldhill在模糊核1附加BSNR=40的零均值高斯噪聲情況下，繪制了信噪比在不同σ值的曲線，具體如圖2所示.

圖2 不同σ值復原圖片的SNR值Fig.2 SNR values of the picture at different σ values

由圖2可知，不同σ對復原圖片的SNR影響是至關重要的，即使σ發(fā)生非常微小的變化也能對復原結果產(chǎn)生巨大的影響.通過手動調節(jié)σ不僅費時，而且不易找出最佳σ值.所以筆者提出一種自適應調節(jié)方法，在迭代過程中根據(jù)復原圖片fk和fk+1進行實時的調節(jié)，這樣不僅易于操作，而且復原效果更好.

3.2 自適應步長復原效果

為了驗證自適應步長的復原效果，筆者對不同尺寸圖片進行了仿真，模糊和復原效果如圖3所示.圖3(a)、3(c)中依次為模糊核1至4，Gold-hill、Lena的退化圖像，對于每種模糊類型都加入了BSNR=40的零均值高斯噪聲.圖3(b)、3(d)為相應的復原效果圖.從人眼感官上，復原出的圖片既保留了邊緣特性又消除了階梯效應，對于不同尺寸的圖片在不同模糊類型和不同模糊核上均取得了較好結果.

3.3 算法對比

為了驗證筆者所提算法的優(yōu)越性，依次用算法Fast-TV、TVFN、OGSATV-ADM4和本文算法對不同尺度圖片在不同模糊類型和不同模糊核下，對復原圖片進行了對比，對比結果如表1所示.由表1可知，筆者所提算法的PSNR、SNR和RE均優(yōu)于其他算法，不過在復原時間上略長于Fast-TV和OGSATV-ADM4，但保證了復原效果.

圖3 Goldhill和Lena不同模糊和復原圖片F(xiàn)ig.3 Different blur and restore pictures of Goldhill and Lena

為進一步驗證筆者所提方法的優(yōu)越性，選取Goldhill在模糊核1情況下，各算法的迭代結果對比如圖4所示.筆者算法在獲取最佳結果時迭代次數(shù)最少，證明了所提算法加速過程的有效性.由于Fast-TV、TVFN、OGSATV-ADM4和筆者算法輔助變量儲存空間[16]依次為O(5mn)、O(6mn)、O(6mn)和O(8mn)，所以筆者算法在自適應迭代過程中消耗一些時間.

各算法的計算時間迭代結果如圖5所示.由圖5可知，筆者算法獲得最佳結果的計算時間略長，然而所提算法本身具有加速過程且復原結果具有很大提升，即使相比原算法多用0.14 s也是具有研究價值的.

各算法在不同模糊情況下的復原效果如圖6所示.圖6選取Goldhill在模糊核1和Lena在模糊核4情況下的模糊圖片.在圖6第一行中，我們可以觀察到Fast-TV和TVFN在箭頭所指處都產(chǎn)生了塊狀效應即階梯效應，OGSATV-ADM4在一定程度上避免了階梯效應.筆者所提算法不僅避免了階梯效應，而且相比OGSATV-ADM4更符合人眼觀測效應.

圖4 Goldhill SNR在迭代次數(shù)上的迭代結果Fig.4 The SNR iteration results of Goldhill over iterations

圖5 Goldhill SNR在計算時間上的迭代結果Fig.5 The SNR iteration results of Goldhill over time

圖片模糊核GoldhillLena模糊核1模糊核2模糊核3模糊核4模糊核1模糊核2模糊核3模糊核4Fast-TVTVFNOGSATV-ADM4筆者算法PSNR/dB30.7730.0534.1631.0830.2229.4135.0932.19SNR/dB24.4123.9427.7924.4423.0622.2327.4024.93RE0.0630.0670.0450.0600.0700.0770.0430.057時間/s2.963.551.742.661.231.791.131.25PSNR/dB30.9530.3234.3731.2430.4729.5035.3432.31SNR/dB24.6823.9927.9324.5923.2522.3027.6925.02RE0.0600.0650.0430.0590.0690.0750.0400.056時間/s3.915.352.614.082.113.371.741.86PSNR/dB31.1430.6034.5831.3330.6330.1235.7832.38SNR/dB24.7724.2328.2224.9623.7923.2228.8725.47RE0.0580.0610.0390.0560.0670.0690.0360.053時間/s3.073.751.813.011.492.081.351.61PSNR/dB32.0030.7735.4632.2431.4630.5236.3533.47SNR/dB25.6324.4029.1025.8724.5523.6229.4426.56RE0.0520.0600.0350.0510.0590.0660.0340.047時間/s3.213.961.933.141.582.151.461.68

在圖6第二行中，我們可以觀察到，在箭頭所指處筆者所提算法更加清晰，并且在對圖片放大時對比算法都不同程度地產(chǎn)生了階梯效應.通過試驗證明，所提算法對不同尺度的圖片在不同模糊類型和不同的模糊核下復原效果均優(yōu)于對比算法，不僅恢復出了很好的邊界，而且能夠很好地避免階梯效應.

4 結論

筆者研究了基于重疊組稀疏全變差正則化的圖像去模糊算法.為了解決相應的最小化問題，提出了一種自適應交替方向乘子算法來求解該模型，該方法在復原圖片的過程中根據(jù)復原情況能夠實時地調節(jié)ADMM的懲罰因子.通過試驗證明該方法的有效性.與其他算法相比具有較高的峰值信噪比和信噪比，并且具有較小的相對誤差.筆者提出的算法不僅能夠保存邊緣特性，而且能夠避免階梯效應.由于筆者所研究算法是非盲去模糊方法，在未來工作中可能把此算法擴展到盲去模糊問題中.