江蘇省常熟市塔前小學 戴美蘭

《反比例的意義》是蘇教版小學數(shù)學第十二冊第六單元的內(nèi)容，反比例關(guān)系和正比例關(guān)系一樣是一種重要的數(shù)量關(guān)系，它滲透了初步的函數(shù)思想，學生理解并掌握了這種數(shù)量關(guān)系，可以加深對比例的理解，解決一些簡單的實際問題。教學中我基于學生的已有認知水平，合理整合教學內(nèi)容，最大限度地拓寬學生探究學習的空間，引導學生經(jīng)歷過程，意義建構(gòu)概念本質(zhì)。

一、在微課復習中提煉數(shù)學方法

課標指出：數(shù)學教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上。在此之前，學生已經(jīng)學習了正比例的意義，對“相關(guān)聯(lián)的量”“成正比例的兩個量的變化規(guī)律”“如何判斷兩個量是否成正比例”已經(jīng)有了認識，也掌握了研究比例規(guī)律的一些數(shù)學基本方法，這為學習《反比例的意義》奠定了基礎(chǔ)。所以老師課前特意錄制了一段微課，課始師生共同觀看，重溫正比例意義的學習活動，激活已有認知經(jīng)驗，喚起學習表象和數(shù)學思考：觀察例1表格，圍繞問題思考并展開討論，全班交流發(fā)現(xiàn)，最后歸納總結(jié)時間和路程成正比例關(guān)系……借助微課的“導”，師生共同提煉出研究比例規(guī)律的數(shù)學方法：觀察、思考、討論、發(fā)現(xiàn)、歸納、總結(jié)……為學生自主探究反比例的意義做了有效的鋪墊。我們知道，方法的習得比知識的傳授更重要。

二、在核心問題中展開自主探究

出示例3表格：用60元購買筆記本，筆記本的單價和購買的數(shù)量如下表：

單價/（元/本） 1 2 3 4 5 6 …數(shù)量/本 60 30 20 15 12 10 …

（1）引導：運用研究正比例關(guān)系的數(shù)學方法，研究單價和數(shù)量之間有著怎樣的關(guān)系？可以圍繞下面兩個問題開展小組討論，覺得有需要的也可以請數(shù)學書來幫忙。

課件出示：

①表中的單價和數(shù)量是怎樣變化的？

②這種變化有什么規(guī)律？

（2）集體交流，引導學生認識和發(fā)現(xiàn)：

①表中有兩種相關(guān)聯(lián)的量，單價發(fā)生變化，筆記本數(shù)量也發(fā)生變化。單價越低，本數(shù)越多；單價越高，本數(shù)越少。

（板書：單價和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量，單價變化，數(shù)量也隨著變化）

②筆記本的數(shù)量隨著單價的變化而變化，用單價×數(shù)量可以發(fā)現(xiàn)總價是不變的。

引導：你能舉幾個例子說說嗎？

（板書：1×60=60 2×30=60 ……）

提問：你能說說乘積60表示什么意思嗎？（總價）

你能用一個式子表示出單價、數(shù)量和總價之間的關(guān)系嗎？（板書：單價×數(shù)量=總價[一定]）

（3）追問：單價和數(shù)量這兩種量成什么關(guān)系？為什么？

請幾位學生交流和補充想法。

（板書：單價和數(shù)量成反比例關(guān)系，單價和數(shù)量是成反比例的量）

由于有了正比例意義的學習經(jīng)驗，反比例意義的學習教師沒有做細致的引導，而是把學習的主動權(quán)交給學生，圍繞兩個核心問題展開小組討論，教師只做點撥和引導。學生通過觀察、思考、計算、比較，充分經(jīng)歷了數(shù)據(jù)的變化過程，真切感受到單價擴大、數(shù)量縮小，單價縮小、數(shù)量擴大，總價不變這種和正比例完全相反的變化，體會到變中不變的規(guī)律。借助數(shù)學書來幫忙，則通過自學課本，學生主動發(fā)現(xiàn)單價和數(shù)量之間的關(guān)系，理清了單價和數(shù)量成反比例關(guān)系的兩個必要條件，把探究活動中積累的經(jīng)驗和發(fā)現(xiàn)的規(guī)律上升到理性的認識，對反比例的意義有初步的理解和感悟。

三、在研究單導學中展開多維對話

在學生初步理解反比例意義的基礎(chǔ)上，請學生拿出研究單，仿照例3的學習方法，嘗試著去完成“試一試”，看看工作效率和工作時間有著怎樣的關(guān)系。

生產(chǎn)240個零件，工作效率和工作時間如下表：

工作效率/ (個/時) 120 80 60 48 40 …工作時間/時 2 3 4 …

（1）根據(jù)表中的已知條件把表格填寫完整,說說工作時間是隨著（ ）的變化而變化的。

（2）舉例算出相對應的兩個數(shù)的乘積各是（ ）。

（3）這個乘積表示的實際意義是（ ）。

（4）用式子表示它與工作效率和工作時間之間的關(guān)系：（ ）○（ ） = （ ）。

（5）想一想，工作效率和工作時間成反比例嗎？同桌說說為什么。

“試一試”完全采用自主探究的方式繼續(xù)感知反比例關(guān)系。學生嘗試完成五個問題后，同桌首先展開對話，說說自己的發(fā)現(xiàn)，接著學生上臺自主介紹探究過程，臺上和臺下的學生自主對話，互相補充、互相提醒。這一過程，學生的思維被有效激活，興趣被有效激發(fā)，教師適時引導小結(jié)“工作效率、工作時間和工作總量”三者之間的關(guān)系。借助研究單的導學功能，自主式發(fā)現(xiàn)和交流演繹出更多的精彩。教師適時點撥學生抓住成反比例量的知識核心，通過生生之間、生本之間、師生之間的多維對話，再次經(jīng)歷判斷成反比例量的思考過程，積累感性認識，深化理性認識，意義建構(gòu)反比例的概念。

四、在回顧反思中把握概念本質(zhì)

（1）回顧剛才的學習過程，想一想，例3和“試一試”中討論的兩種量有什么共同的地方？

（2）思考：仿照正比例，想想反比例怎樣用字母表示它們之間的關(guān)系？

（3）追問：現(xiàn)在你們發(fā)現(xiàn)可以依據(jù)什么來判斷兩種量是否成反比例？（小結(jié)并板書課題：反比例的意義）

（4）舉例：生活中還有哪些相關(guān)聯(lián)的量也成反比例關(guān)系？你能舉例說一說嗎？

通過對例3和試一試兩種量共同點的討論，為特殊到一般抽象歸納反比例的意義做了準備，仿照正比例，學生順利地想到可以用X和Y代表兩個相關(guān)聯(lián)的量，用K表示它們的乘積，順利抽象出反比例意義的字母表達式：X×Y=K（一定）。學生在潛移默化中感受到概念學習的一般方法：從感性到理性，從特殊到一般。通過尋找生活中的例子，激活學生的生活體驗，豐富對反比例意義的理解，從而正確把握概念本質(zhì)。

五、在自主練習中深化理解意義

談話：研究單上余下的題目，請同學們自主選擇喜歡的一道題目來練一練，看看題中的兩種量是否成反比例。

學生獨立練習，完成后小組內(nèi)交流。

（1）學生上臺交流，介紹自己的想法。

生1：“練一練”1：因為每袋裝的粒數(shù)×袋數(shù)=總粒數(shù)（一定），所以每袋裝的粒數(shù)和袋數(shù)成反比例。

生2：“練一練”2：因為每天運的噸數(shù)×天數(shù)=總噸數(shù)（一定），所以每天運的噸數(shù)和天數(shù)成反比例。

生3：練習十一第2題（對比練習）。

①交流表中填寫的數(shù)據(jù)。

②討論并交流：

長方形的面積一定，長與寬成反比例嗎？

長方形的周長一定，長與寬成反比例嗎？

重點討論并板書：（長+寬）×2=周長（一定）。

追問：題中討論的是誰與誰的關(guān)系？你能把它轉(zhuǎn)化成長與寬的關(guān)系嗎？

（板書：長+寬=周長÷2[一定]）

明確：長方形周長一定是指長與寬的和一定，而不是積一定，所以長與寬不成反比例。

強調(diào)：只有當兩種相關(guān)聯(lián)量的乘積一定時，它們才能成反比例。

（2）用手勢（√或×）判斷：圓的周長一定，圓周率和直徑成反比例嗎？

交流板書：π×d = c（一定）。

明確：圓周率和直徑不是兩種相關(guān)聯(lián)的量，圓周率不會隨著直徑的變化而變化，所以圓周率和直徑不成反比例。

追問：通過對比練習，你覺得要判斷兩種量是否成反比例有什么需要提醒大家注意的？

強調(diào)：兩種相關(guān)聯(lián)的量和兩個量的乘積一定，兩者缺一不可。

由于學生的認知水平和學習能力參差不齊，不同的學生會選擇不同層次的題目，有基礎(chǔ)的，有提高的，有對比的。這樣通過選擇自己喜歡的一道題，從自身的認知特點和學習能力出發(fā)，滿足了自身的學習需求，不同層次的學生有不同的收獲，對反比例的意義都有自己獨特的建構(gòu)。通過對比辨析，學生真正掌握了判斷兩種量是否成反比例的數(shù)學方法，感悟了模型思想，提高了判斷能力，深化了意義的理解。

六、在拓展延伸中為后續(xù)學習奠基

課件出示：“你知道嗎”。

先讓學生自由讀一讀，問：通過閱讀，你知道了什么？

追問：觀察表格，X和Y的乘積都是……？（板書：X×Y=60[一定]）

觀察反比例圖像，說說點A和點B表示的實際意義各是什么？你還能說出其他各點表示的實際意義嗎？

學生發(fā)現(xiàn)：每個點對應的X軸和Y軸上兩個數(shù)的乘積都是60，這些點連起來是一條曲線。

延伸：正比例圖像是一條直線，反比例圖像是一條曲線，有關(guān)反比例的圖像中學會進一步研究。

通過閱讀“你知道嗎”，向?qū)W生簡要介紹了反比例的圖像，既有利于加深學生對反比例意義的理解，又可以幫助學生獲得對正比例和反比例的完整認識，形成合理的認知結(jié)構(gòu)，同時也勾起學生對研究反比例圖像的濃厚興趣，為后續(xù)的深度學習做了有效的引領(lǐng)。

總之，研究反比例的意義，借助問題式導學、小組式合作、自主式交流、指導式發(fā)現(xiàn)，以核心問題引領(lǐng)課堂，以自主探究貫穿課堂，引導學生進行思考討論、知識建構(gòu)、經(jīng)驗交流、思想感悟，從而真正把握概念本質(zhì)。