樊志毅 趙展輝

摘 要：非線性偏微分方程大量出現(xiàn)在數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)、化學(xué)、生物、工程等領(lǐng)域.因而，尋求其精確解對(duì)深刻理解模型所反應(yīng)的非線性現(xiàn)象具有十分重要的理論意義和學(xué)術(shù)價(jià)值.本文利用拓展的F-展開，結(jié)合 [（G′/G）] -展開法研究BLP方程，得到了新的行波解.

關(guān)鍵詞：[（G′/G）] -展開法；改進(jìn)的[（G′/G）] -展開法；（1+1）維BLP方程；行波解；精確解

中圖分類號(hào)：O175.29 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2018.04.016

0 引言

在經(jīng)濟(jì)全球化的今天，科學(xué)技術(shù)也日益的發(fā)達(dá)，非線性偏微分方程在不同的學(xué)科領(lǐng)域中的作用也日益凸顯，尤其是與物理學(xué)有關(guān)的各個(gè)分支領(lǐng)域，如流體力學(xué)、非線性光學(xué)等.研究非線性偏微分方程的精確解將有助于我們更好地理解以及解釋上述的物理科學(xué).

在所求得的非線性偏微分方程的精確解中，孤立波解是一類很特別的解，其含義表示波在傳播過(guò)程中的速度和形狀都沒(méi)有發(fā)生改變，即保持了穩(wěn)定性.可積系統(tǒng)中都可以求解出孤子解.近些年來(lái)，隨著孤子理論的發(fā)展，尋找求得孤子解的方法也逐漸成為一個(gè)熱門的研究方向，如：齊次平衡法[1]、Darboux變換[2-3]、三波法[4]等都是目前求解非線性偏微分方程常用的方法.

基于已有的研究方法，通過(guò)運(yùn)用[（G/G）]-展開法[5]及其改進(jìn)的方法[6]來(lái)求解（1+1）維BLP方程，以便可以獲得豐富的精確的孤立波解.

1 [（G/G）] -展開法簡(jiǎn)介

王明亮等[1]提出了齊次平衡方法及其應(yīng)用，齊次平衡方法是求解非線性偏微分方程的一個(gè)重要的方法.李二強(qiáng)等[5]提出了（G/G）-展開法，事實(shí)表明，[（G/G）] -展開法的確是一種簡(jiǎn)便的方法，且求解過(guò)程十分簡(jiǎn)單明了，很容易掌握.因此，為相關(guān)研究人員所利用，由此許多研究者對(duì)已有的[（G/G）] -展開法進(jìn)行改進(jìn)（即讓解的形式由正向指數(shù)冪拓展到負(fù)向指數(shù)冪），以便獲得更豐富的精確解.

為能更好理解[（G/G）] -展開法，下面將簡(jiǎn)單敘述此方法求解的過(guò)程：

以（2+1）維非線性方程為例（即含有[x，y，t]為自變量的非線性方程），該方程的一般形式為：

[pu， ut， ux， uy， uxx， uxy， uxt，…=0，] （1）

其中，[u=u（x， y， t）]，[p]表示[u]以及[u]的各階偏導(dǎo)數(shù)的一個(gè)多項(xiàng)式.

對(duì)所求的非線性方程進(jìn)行行波變化：

[ux， y， t=uξ，] [ ξ=kx+ly+ct，] （2）

由此可以得到一個(gè)關(guān)于[u=u（ξ）]的非線性常微分方程，即：

[pu， u， u， …=0.] （3）

假設(shè)所求的非線性方程有形如

[uξ=i=0naiGGi] （4）

的解.

若用改進(jìn)的[（G/G）] -展開法來(lái)求解，則所求的非線性方程有形如

[uξ=i=-nnaiGGi] （5）

的解.

在方程（4）中的[G=G（ξ）]需滿足方程：

[G+λG+μG=0 ，] （6）

在方程（5）中的[G=G（ξ）]需滿足方程：

[G+μG=0 ，] （7）

在上式的方程中，[ai（i=1， 2， …， n）， c、k、l、μ、λ]都為待定系數(shù)，正整數(shù)[n]則由齊次平衡方法（即令最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)次方數(shù)等于最高階非線性項(xiàng)次方數(shù)）來(lái)確定.

當(dāng)待定系數(shù)[n]確定后，便知道了解的項(xiàng)數(shù)，此時(shí)便可以將式（4）或式（5）代回到方程（3），得到一個(gè)關(guān)于[（G/G）]的多項(xiàng)式.接下來(lái)，令[（G/G）]的各次項(xiàng)的系數(shù)為0，通過(guò)使用Maple軟件便可以求解待定系數(shù)[ai（i=1， 2， …， n） ， c、k、l、μ、λ].

2 應(yīng)用[（G/G）]-展開法求解（1+1）維BLP方程

考慮BLP方程

[ut+2uux-12vx=0 ，]

[vt-12uxxx+2uvx=0.] （8）

方程組（8）稱為（1+1）維BLP方程.

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，BLP方程具有混沌現(xiàn)象，混沌（Chaos）是一種貌似無(wú)規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，指在確定性非線性系統(tǒng)中，不需附加任何隨機(jī)因素亦可出現(xiàn)類似隨機(jī)的行為（內(nèi)在隨機(jī)性）.

下面將分別用[（G/G）] -展開法及其改進(jìn)的方法對(duì)（1+1）維BLP方程進(jìn)行求解和討論.

首先對(duì)式（8）進(jìn)行行波變換：

[ux，t=uξ ， ξ=kx+ct ，] （9）

[vx，t=vξ， ξ=kx+ct ，] （10）

則式（8）變成如下方程組：

[cu+2kuu-12kv=0 ，]

[cv-12k3u+2kuv′=0.] （11）

假設(shè)方程組的解滿足以下形式：

[uξ=i=0naiGGi，] （12）

[vξ=j=0mbjGGj.] （13）

式中：[ai（i=0 ， 1 ， 2 ， …， n） ， bj（j=0 ， 1 ， 2 ， … ， m）]為待定系數(shù)，且[G=G（ξ）]滿足以下方程：

[G+λG+μG=0 ，] （14）

方程（14）中[λ]和[μ]都是待定系數(shù).將方程（12）和方程（13）代入方程組（11），由齊次平衡原理得到如下等式：

[2n+1=m+1 ，]

[n+3=m+n+1 ，]

由以上2個(gè)等式解得[n=1，m=2.]為此，方程組（11）解可以寫成以下形式：

[uξ=a1GG+a0 ，]

[vξ=b2GG2+b1GG+b0.]

[a1≠0 ， b2≠0 ， b1≠0 ，] （15）

通過(guò)Maple軟件的求解，可以得到有關(guān)的系數(shù)解.

[a0=k2λ-2c4k ， a1=12k ， b0=12k2μ ， b1=12k2λ ， b2=12k2.] （16）

式中：[c、k、μ、λ、a0、b0]為任意常數(shù).將式（16）所得到的解代入待定解（15）中，則方程（11）的解可以寫成：

[uξ=k2λ-2c4k+k2GG ，]

[vξ=k2μ2+k2λ2GG+k22GG2.] （17）

式中：[ξ=kx+ct ， c、k、μ、λ]是任意常數(shù).若已經(jīng)求出方程（14）的通解后，把它代入上面的待定解（17）就可以求出關(guān)于（1+1）維BLP方程的3種不同類型的行波解，而方程（14）的解分以下3種情況進(jìn)行討論：

1）[λ2-4 μ>0]，根據(jù)方程（14）的通解可以得到：

[GG=-λ2+λ2-4 μ2A1sinh12λ2-4 μξ+A2cosh12λ2-4 μξA1cosh12λ2-4 μξ+A2sinh12λ2-4 μξ ，] （18）

式中：[A1、A2]是可以取任意常數(shù)，把通解（18）代入待定解（17）后，就可以得到方程（8）的扭結(jié)波解：

[uξ=k2λ-2c4k+k2-λ2+λ2-4 μ2A1sinh12λ2-4 μξ+A2cosh12λ2-4 μξA1cosh12λ2-4 μξ+A2sinh12λ2-4 μξ ，]

[vξ=k2μ2+k2λ2-λ2+λ2-4 μ2A1sinh12λ2-4 μξ+A2cosh12λ2-4 μξA1cosh12λ2-4 μξ+A2sinh12λ2-4 μξ+]

[k22-λ2+λ2-4 μ2A1sinh12λ2-4 μξ+A2cosh12λ2-4 μξA1cosh12λ2-4 μξ+A2sinh12λ2-4 μξ2.] （19）

式中：[ξ=kx+ct， c、k、A1、A2、μ、λ]都是任意常數(shù).利用輔助方程（14）的通解，當(dāng)[A1、A2]取不同的值時(shí)，所得的解也就不同，例如取[A1>0，A21>A22]，則扭結(jié)波解（19）可以寫成下面的形式：

[uξ=-c2k+kλ2-4 μ4tanhλ2-4 μξ2+ξ0 ，]

[vξ=k2μ2+k2λ2-λ2+λ2-4 μ2tanhλ2-4 μξ2+ξ0+]

[k22-λ2+λ2-4 μ2tanhλ2-4 μξ2+ξ02.] （20）

式中：[ξ=kx+ct，ξ0=arctanhA2A1， A1、A2、c、k、μ、λ]是任意常數(shù).

2）[λ2-4 μ<0]，根據(jù)方程（14）的通解可以得到：

[GG=-λ2+λ2-4 μ2-A1sin12λ2-4 μξ+A2cos12λ2-4 μξA1cos12λ2-4 μξ+A2sin12λ2-4 μξ ，] （21）

式中：[A1、A2]是任意常數(shù)，把通解（21）代入待定解（17）后，就可以得到方程（8）的三角函數(shù)解：

[uξ=-2c4k-λ2+λ2-4 μ2-A1sin12λ2-4 μξ+A2cos12λ2-4 μξA1cos12λ2-4 μξ+A2sin12λ2-4 μξ ，]

[vξ=k2μ2+k2λ2-λ2+λ2-4 μ2-A1sin12λ2-4 μξ+A2cos12λ2-4 μξA1cos12λ2-4 μξ+A2sin12λ2-4 μξ+]

[k22-λ2+λ2-4 μ2A1sinh12λ2-4 μξ+A2cosh12λ2-4 μξA1cosh12λ2-4 μξ+A2sinh12λ2-4 μξ2.] （22）

式中：[ξ=kx+ct ， c、k、A1、A2、μ、λ]是任意常數(shù).利用輔助方程（14）的通解，當(dāng)[A1、A2]取不同的值時(shí)，所得的解也就不同，例如取[A1>0 ， A21>A22]，則三角函數(shù)解（22）可以寫成下面的形式：

[uξ=-c2k+k4 μ-λ24tan4 μ-λ2ξ2+ξ1 ，]

[vξ=k2μ2+kλ2-λ2+k4 μ-λ22tan4 μ-λ2ξ2+ξ1][+]

[k22-λ2+4 μ-λ22tan4 μ-λ2ξ2+ξ1.] （23）

式中：[ξ=kx+ct ， ξ1=arctanA2A1， A1、A2、c、k、μ、λ]是任意常數(shù).

3）[λ2-4 μ=0]，由方程（14）的通解可知：

[GG=-λ2+A2A1+A2ξ ，] （24）

式中：[A1、A2]是任意常數(shù)，把通解（24）代入待定解（17）后，便可以得到方程（8）的有理函數(shù)解：

[uξ=k2λ-2c4k+k2-λ2+A2A1+A2ξ ，]

[vξ=k2μ2+k2λ2-λ2+A2A1+A2ξ+k22-λ2+A2A1+A2ξ2.] （25）

式中：[ξ=kx+ct ， c、k、A1、A2、μ、λ]是任意常數(shù).

設(shè)方程（8）有如下形式的解，即：

[uξ=i=-nnaiGGi，] （26）

[vξ=j=-mmbjGGj，] （27）

式中：[ai（i=-n ， … ， 0 ， 1 ， … ， n）]、[bj（j=-m ， … ， 0 ， 1 ， … ， m）]，并且[G=Gξ]還滿足方程：

[G+μG=0，] （28）

式中：[μ]是待定常數(shù).把形式解（26）和式（27）代入方程組（11），由齊次平衡方法可以得到以下等式：

[2n+1=m+1 ，]

[n+3=m+n+1 ，]

由上面的等式可以解得：[n=1 ， m=2.]為此，方程組（11）解的形式可以寫成如下等式：

[uξ=a-1GG+a0+a1GG ，]

[vξ=b-2GG-2+b-1GG+b0+b1GG+b2GG2.] （29）

通過(guò)Maple軟件求解，得到如下系數(shù)解：

[a0=-c2k ， a1=12k ， b0=k22 μ ， b2=k22 ， a-1=0 ， b-2=0 ， b-1=0 ， b1=0.] （30）

式中[c、k、μ]是任意常數(shù).把系數(shù)解（30）代入式（29）后，方程（11）的解可以化為：

[uξ=-c2k+12kGG ，]

[vξ=k22 μ+k22GG2.] （31）

式中：[ξ=kx+ct ， c、k、μ]是任意常數(shù).當(dāng)求出方程（28）的解后，把它代入式（31），就可以求解出關(guān)于（1+1）維BLP方程的3種不同類型的行波解，下面對(duì)參數(shù)的不同情況進(jìn)行討論：

① [μ>0]，由方程（28）的通解可知：

[GG=μ-A1sinμξ+A2cosμξA1cosμξ+A2sinμξ ，] （32）

式中：[A1、A2]是任意常數(shù)，把通解代入形式解方程組（31）后，可以得到方程（8）的三角函數(shù)解：

[uξ=-c2k+12kμ-A1sinμξ+A2cosμξA1cosμξ+A2sinμξ ，]

[vξ=k22 μ+k22μ-A1sinμξ+A2cosμξA1cosμξ+A2sinμξ2.] （33）

式中：[ξ=kx+ct ， μ>0 ， A1、A2、c、k]都是任意常數(shù).

利用輔助方程（28）的通解，當(dāng)[A1、A2]取不同的值時(shí)，所得的解也就不同，例如取[A1>0 ， A21>A22]，則三角函數(shù)解（33）可以寫成：

[uξ=-c2k+12kμtanμξ+ξ0 ，]

[vξ=k22 μ+k22μtanμξ+ξ02.] （34）

式中：[ξ=kx+ct ， ξ0=arctanA2A1 ， μ>0 ， A1、A2、c、k]是任意常數(shù).

②[ μ<0]，根據(jù)方程（28）的通解可以得到：

[GG=-μA1sinh-μξ+A2cosh-μξA1cosh-μξ+A2sinh-μξ ，] （35）

式中：[A1、A2]都是任意常數(shù)，把通解（35）代入式（31）后，可以得到方程（8）的扭結(jié)波解：

[uξ=-c2k+12k-μA1sinh-μξ+A2cosh-μξA1cosh-μξ+A2sinh-μξ ，]

[vξ=k22 μ+k22-μA1sinh-μξ+A2cosh-μξA1cosh-μξ+A2sinh-μξ2.] （36）

式中：[ξ=kx+ct ， μ<0 ， A1、A2、c、k]是任意常數(shù).利用輔助方程（28）的通解，當(dāng)[A1、A2]取不同的值時(shí)，所得的解也就不同，例如取[A1>0、A21>A22]，則扭結(jié)波解（36）可以寫成：

[uξ=-c2k+12k-μtanh-μξ+ξ1 ，]

[vξ=k22 μ+k22-μtanh-μξ+ξ12.] （37）

式中：[ξ=kx+ct ， ξ1=arctanhA2A1 ， μ<0 ， A1、A2、c、k]是任意常數(shù).

③[ μ=0]，根據(jù)方程（28）的通解可以得到：

[GG=A2A1+A2ξ ，] （38）

式中：[A1、A2]是任意常數(shù)，把通解代入式（31）后，可以得到方程（8）的有理函數(shù)解：

[uξ=-c2k+12kA2A1+A2ξ ，]

[vξ=k22 μ+k22A2A1+A2ξ2.] （39）

式中：[ξ=kx+ct ， μ=0， A1、A2、c、k]是任意常數(shù).

3 結(jié)論

當(dāng)考慮取不同的參數(shù)時(shí)，方程求解出來(lái)的解也不同，因此用[（G/G）] -展開法及其改進(jìn)的方法所求解出來(lái)的精確解豐富了（1+1）維BLP方程的解系.同時(shí)，[（G/G）] -展開法具有一定的普遍性和適應(yīng)性，該方法不僅可以對(duì)一個(gè)方程進(jìn)行求解，還可以對(duì)一族方程進(jìn)行求解.因此[（G′/G）] -展開法確實(shí)是求解非線性偏微分方程精確解的一個(gè)十分有效的方法.

在求解本文的兩個(gè)方程中，所構(gòu)造的輔助函數(shù)[G]滿足的方程除[G+λG+μG=0]和[G+μG=0]外，還可以考慮輔助函數(shù)[G]所滿足的方程為[G2+qG2=p ， p≠0]，這可以找到方程更多的精確解.

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Solving （1+1） dimensional Boiti-Leon-Pempinelli （BLP） equation with（G[′]/G）-expansion method

FAN Zhiyi， ZHAO Zhanhui*

（College of Science， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545006， China）

Abstract： The nonlinear partial differential equation has been applied in mathematics， physics， mechanics， chemistry， biology and engineering. So it is significant to obtain its exact solution for the understanding of the nonlinear phenomenon. This paper studies BLP equation by using（G[′]/G）-expansion method and modified（G[′]/G）-expansion method， finding out the new traveling wave solutions.

Key words：（G[′]/G）-expansion method； modified（G[′]/G）-expansion method； （1+1） dimensional BLP equation； traveling wave solution； exact solution

（學(xué)科編輯：張玉鳳）