郭輝, 佟瑞庭, 劉更, 張文杰, 馬尚君
(陜西省機(jī)電傳動與控制工程實驗室(西北工業(yè)大學(xué)), 陜西 西安 710072)
行星滾柱絲杠副(planetary roller screw mechanism,PRSM)是一種可以將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動和直線運(yùn)動相互轉(zhuǎn)換的機(jī)械傳動裝置。PRSM具有高速度、大推力和長壽命等優(yōu)點(diǎn),廣泛應(yīng)用于深海探測[1]、航空航天[2]、醫(yī)療設(shè)備[3]和高精密機(jī)床[4]等領(lǐng)域。PRSM工作時主要通過滾柱、絲杠和螺母之間的螺紋牙嚙合進(jìn)行運(yùn)動和動力的傳遞,滾柱的兩螺紋牙工作面承受交變載荷,尤其是在螺紋牙承載較大的情況下,更容易引起滾柱螺紋牙的疲勞破壞從而降低PRSM的使用壽命。
目前,國內(nèi)外對PRSM的理論研究已經(jīng)有較多的研究成果,但主要集中于運(yùn)動學(xué)分析、接觸特性、傳動效率和摩擦力矩等方面,對PRSM螺紋牙載荷分布以及如何使各螺紋牙承載分布更均勻的相關(guān)研究還不夠深入。楊家軍等[5]分別計算了PRSM中的3種變形即Hertz接觸變形、軸段變形和螺紋牙變形,建立了滾柱螺紋牙的載荷分布,并且得到了PRSM軸向靜剛度。Jan等[6]將PRSM滾動體等效為受剪應(yīng)力的矩形單元,建立了PRSM載荷分布計算模型,并與有限元結(jié)果進(jìn)行對比。Jones等[7]利用直接剛度法建立了PRSM的彈簧剛度模型,且通過直接剛度法計算了螺紋牙的載荷分布,進(jìn)而求出其接觸應(yīng)力,并分析了滾柱個數(shù)和螺紋牙個數(shù)分別對螺紋牙載荷分布的影響。張文杰等[8]綜合考慮了PRSM軸段剛度、螺紋牙剛度和接觸剛度以及安裝方式、受力狀態(tài)等因素,建立了PRSM載荷分布模型,并分析了安裝方式、受力狀態(tài)、結(jié)構(gòu)參數(shù)和牙型參數(shù)等對PRSM螺紋牙載荷分布的影響。Lisowski[9]采用有限元法研究了PRSM滾柱與絲杠接觸應(yīng)力、螺紋牙輪廓優(yōu)化以及絲杠與滾柱螺紋嚙合及相關(guān)幾何參數(shù)的問題。Abevi等[10]利用桿、梁和非線性彈簧建立了PRSM的載荷分布模型,并研究了滾柱彎曲變形對PRSM載荷分布的影響。張文杰等[11]從PRSM結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計和螺紋精度設(shè)計方面展開研究,采用單因素方法研究了主要設(shè)計參數(shù)對載荷分布的影響規(guī)律,并得到了PRSM均載設(shè)計中設(shè)計參數(shù)優(yōu)化的方法。Zhdanova等[12]通過使用2個彈性接觸層的PRSM棒模型,求得PRSM螺紋牙載荷分布,并通過相關(guān)方程得出PRSM螺紋牙載荷分布與其幾何參數(shù)、零件材料、加工精度以及嚙合面間摩擦力之間的關(guān)系。上述文獻(xiàn)研究了PRSM螺紋牙載荷分布不均并得到其分布規(guī)律。然而,如何通過改變螺紋牙結(jié)構(gòu)形狀,在滿足螺紋牙強(qiáng)度的同時使得PRSM具有較好的載荷分布特性,達(dá)到螺紋牙承載均勻的目的,鮮有文獻(xiàn)對其進(jìn)行研究。本文考慮PRSM安裝方式以及受力狀態(tài)對載荷分布的影響,利用有限元方法對PRSM螺紋牙載荷分布進(jìn)行分析,得到了螺紋牙載荷分布,并與文獻(xiàn)[8]中得到的解析結(jié)果進(jìn)行對比,以驗證計算方法的正確性。在此基礎(chǔ)上,分析了PRSM中滾柱與絲杠和螺母接觸點(diǎn)變形關(guān)系,提出滾柱螺紋牙修形的方法,通過減小PRSM絲杠、滾柱和螺母的軸段變形,螺紋牙變形以及嚙合點(diǎn)Hertz接觸變形[8]的累積作用,從而使得PRSM螺紋牙承載均勻。在此基礎(chǔ)上,對修形后PRSM螺紋牙載荷分布進(jìn)行有限元數(shù)值計算,結(jié)果表明該修形方法能夠明顯改善螺紋牙承載狀況,對提高PRSM的承載能力及使用壽命具有重要意義。
常用的PRSM主要有2種,分別是標(biāo)準(zhǔn)式PRSM和反向式PRSM。本文主要以標(biāo)準(zhǔn)式PRSM為研究對象,即將絲杠的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動通過滾柱的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換為螺母的直線往復(fù)運(yùn)動。標(biāo)準(zhǔn)式PRSM的結(jié)構(gòu)如圖1所示,主要由滾柱A、絲杠B、螺母C、內(nèi)齒圈D和保持架E等組成。
圖1 PRSM結(jié)構(gòu)示意圖
根據(jù)PRSM螺母安裝方式的不同,可將安裝方式分為2類,即同側(cè)安裝和異側(cè)安裝。在同一種安裝方式下,由于螺母承受載荷方向的不同,PRSM有2種不同的受力狀態(tài),如圖2所示。
圖2 PRSM不同安裝方式及受力狀態(tài)[8]
1.2.1 模型假設(shè)
由PRSM主要通過螺紋牙承載的特點(diǎn),在建立PRSM有限元模型時,只考慮滾柱與絲杠和螺母螺紋嚙合部分。在計算過程中,根據(jù)PRSM結(jié)構(gòu)及承載特點(diǎn),在有限元模型中作如下簡化:1) 在有n個滾柱的PRSM中,每個滾柱承受載荷相同,因此,僅取整個PRSM結(jié)構(gòu)的1/n;
2) PRSM中滾柱、絲杠以及螺母的材料各向同性。
1.2.2 網(wǎng)格劃分
選取如表1 所示的結(jié)構(gòu)參數(shù)建立PRSM三維模型。材料選用GCr15,彈性模量212 GPa,泊松比μ為0.29,屈服極限為1 617 MPa。在PRSM有限元模型中,由于絲杠和滾柱螺紋的螺旋升角不同,因而絲杠側(cè)滾柱與絲杠接觸點(diǎn)的位置會偏離絲杠和滾柱軸線所在平面。螺母和滾柱螺紋的螺旋升角相同,所以螺母側(cè)滾柱與螺母接觸點(diǎn)的位置則位于螺母和滾柱軸線所在的平面內(nèi)。因此,對有限元模型中螺母側(cè)和絲杠側(cè)接觸區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格密化,如圖3所示。接觸區(qū)域采用八節(jié)點(diǎn)六面體非協(xié)調(diào)實體網(wǎng)格單元C3D8I,非接觸區(qū)簡化其網(wǎng)格模型以減少計算時間。
表1 PRSM主要結(jié)構(gòu)參數(shù)
圖3 PRSM有限元模型
1.2.3 邊界條件
按照PRSM真實運(yùn)動及受力狀態(tài),在對模型進(jìn)行有限元分析計算過程中,需要對PRSM有限元前處理模型進(jìn)行邊界條件的施加。由于本模型是多體接觸問題,因此為了提高其計算的收斂性,同時采用力邊界條件和位移邊界條件。位移邊界條件設(shè)置為絲杠和螺母的兩扇形面對稱約束,螺母和滾柱只保留軸向自由度,絲杠端面固定。力邊界條件為給螺母端面施加軸向載荷,本文所采用的PRSM(結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1),承載能力為5 t,滾柱數(shù)量為10個,因此,在螺母端面施加的載荷為5 000 N。
采用與文獻(xiàn)[8]相同的結(jié)構(gòu)材料參數(shù)、安裝方式及受力狀態(tài),得到不同安裝方式下PRSM載荷分布的有限元解。定義絲杠側(cè)接近固定支撐端螺紋牙序號為1,滾柱與螺母螺紋牙序號按照相同的方向定義。PRSM有限元模型載荷分布的結(jié)果與文獻(xiàn)[8]進(jìn)行對比,如圖4和圖5所示。
圖4 異側(cè)安裝絲杠受壓螺母受壓
圖5 同側(cè)安裝絲杠受壓螺母受拉
由圖4和圖5可以看出,在PRSM不同安裝方式及受力狀態(tài)下,絲杠側(cè)和螺母側(cè)有限元模型載荷分布結(jié)果與文獻(xiàn)[8]的解析解基本吻合,從而驗證了該P(yáng)RSM有限元模型載荷分布結(jié)果的正確性。
由1.3節(jié)的模型驗證結(jié)果可以看出,PRSM絲杠固定端和螺母承載側(cè)的螺紋牙承受載荷最大,滾柱與絲杠接觸側(cè)螺紋牙承受載荷隨螺紋牙序號的增加而逐漸減小。而滾柱與螺母接觸側(cè)螺紋牙承受的載荷在異側(cè)安裝時,隨螺紋牙序號的增加而逐漸減小;同側(cè)安裝時,隨螺紋牙序號的增加而逐漸增大。PRSM在高承載情況下工作,會造成滾柱承載側(cè)第1個螺紋牙產(chǎn)生較大的載荷和接觸應(yīng)力,滾柱與絲杠和螺母螺紋牙承受載荷和接觸應(yīng)力較大,在循環(huán)交變的載荷和接觸應(yīng)力作用下,加速螺紋接觸表面的粘著磨損,同時加快接觸疲勞磨損,可能會引發(fā)最大承載螺紋牙的疲勞斷裂,嚴(yán)重縮短PRSM的使用壽命。
基于上述結(jié)果,本文提出一種PRSM滾柱螺紋牙修形的方法,使得滾柱與絲杠和螺母螺紋牙接觸時,各螺紋牙承受相同或相近的載荷。修形后滾柱能夠有效降低PRSM螺母側(cè)和絲杠側(cè)螺紋牙承受的最大載荷,降低摩擦,減小磨損,進(jìn)而提高PRSM的使用壽命。
2.1.1 修形原理
通常為了提高承載能力和降低摩擦,滾柱螺紋牙端面設(shè)計成圓弧面[13]。圖6為滾柱螺紋牙端面示意圖,修形過程中保證滾柱螺紋牙端面輪廓形狀不變,以圖6中螺紋牙端面對稱線為螺紋牙半牙厚變化的固定基準(zhǔn),絲杠側(cè)滾柱螺紋牙半牙厚從絲杠的自由端開始沿螺旋線方向線性減小。同理螺母側(cè)滾柱螺紋牙半牙厚從螺母的自由端開始沿螺旋線方向線性減小。滾柱螺紋牙半牙厚減小的最大值稱為最大修形量。
圖6 滾柱螺紋牙端面示意圖
圖7為修形前后PRSM螺紋牙軸向間隙變化示意圖,其中粗橫線表示滾柱、絲杠和螺母的軸段,豎線表示簡化的滾柱、絲杠和螺母的螺紋牙,細(xì)橫線表示在修形前后螺紋牙軸向間隙大小??梢钥闯鰸L柱螺紋牙修形前后PRSM螺紋牙軸向間隙發(fā)生了較大變化:螺母側(cè)從自由端到加載端螺紋牙間隙逐漸變大,絲杠側(cè)從自由端到固定端螺紋牙間隙逐漸變大。而滾柱螺紋牙修形方法的本質(zhì)就是通過改變螺紋牙間的間隙,補(bǔ)償由于承載后變形累積,進(jìn)而減緩PRSM螺紋牙承載分布不均。
圖7 滾柱螺紋牙修形前后軸向間隙變化示意圖
圖8為滾柱螺紋牙修形后PRSM承載示意圖,修形后的滾柱與絲杠和螺母接觸時能減少由于承載變形累積而引起的螺紋牙載荷分布不均勻,從而使得PRSM各螺紋牙承載均勻。
圖8 滾柱螺紋牙修形后PRSM承載示意圖
滾柱螺紋牙的修形是在已經(jīng)完成加工的滾柱螺紋牙的基礎(chǔ)上,通過砂輪磨削進(jìn)行滾柱螺紋牙修形的精加工。在整個滾柱螺紋牙修形的過程中,通過改變砂輪的進(jìn)給速度,即由正常的勻速進(jìn)給變?yōu)閯蚣铀龠M(jìn)給。但是,滾柱與絲杠接觸側(cè)和滾柱與螺母接觸側(cè)承受的載荷方向不同,因而滾柱螺紋牙的修形過程中砂輪進(jìn)給的方向也不同,且砂輪進(jìn)給的速度也不相同。
在對滾柱螺紋牙的單側(cè)進(jìn)行修形時,假設(shè)滾柱的螺距為P,共有n個螺紋牙,且其旋轉(zhuǎn)的角速度為ω,那么在已知最大修形量為Δx的情況下,可以推算出砂輪進(jìn)給的速度和加速度,具體推導(dǎo)過程如下:
在每一個滾柱旋轉(zhuǎn)周期內(nèi),砂輪進(jìn)給的位移為等差數(shù)列,則砂輪從螺紋牙1到n總共走過的軸向位移s為
(1)
經(jīng)歷的總時間t總為
(2)
式中,T為滾柱旋轉(zhuǎn)的周期
(3)
(4)
加工標(biāo)準(zhǔn)螺紋時,軸向進(jìn)給速度v0為
(5)
那么加工完最大修形量時進(jìn)給的速度vt為
(6)
所以進(jìn)給的加速度a為
(7)
進(jìn)給的速度為:
(8)
2.1.2 最優(yōu)修形量分析方法
由于PRSM螺紋結(jié)構(gòu)復(fù)雜,無法用解析方法對修形后PRSM螺紋牙承受的載荷進(jìn)行準(zhǔn)確的計算。因此,主要通過有限元方法計算得到PRSM修形后的螺紋牙載荷分布。本文在表1結(jié)構(gòu)參數(shù)的基礎(chǔ)上對PRSM中滾柱螺紋牙進(jìn)行修形,主要以圖2中的安裝方式c(異側(cè)安裝絲杠受壓螺母受壓)為例,建立裝配有修形后滾柱的PRSM的三維模型,在保證材料參數(shù)、邊界條件等前處理方法與模型驗證中的有限元模型完全相同的情況下,簡化PRSM接觸模型進(jìn)行有限元分析計算。
由1.3節(jié)模型驗證的結(jié)果中可以提取出滾柱、絲杠和螺母承載后的累積變形量。在螺母端面承載5 000 N的情況下,提取得到絲杠、滾柱和螺母的累積變形量分別為0.012 97,0.012 41和0.008 1 mm。在對修形后PRSM載荷分布分析的基礎(chǔ)上,將滾柱的絲杠側(cè)和螺母側(cè)螺紋牙半牙厚的最大修形量定為0.002,0.004,0.006,0.008,0.010,0.012和0.014 mm,求得PRSM滾柱螺紋牙的載荷分布,利用統(tǒng)計學(xué)的方法得出在總承載5 t且沿螺旋線方向線性均勻修形時,PRSM中滾柱螺紋牙的最優(yōu)修形量。
(9)
式中,Fi為絲杠側(cè)或者螺母側(cè)各螺紋牙上的載荷,i的取值為1, 2, 3, …, 19, 20。
(10)
(11)
SF表示各螺紋牙載荷的均方差,表征各螺紋牙上的載荷偏離載荷平均值的程度,SF值越小說明各螺紋牙上的載荷越接近螺紋牙平均載荷。
2.2.1 螺母側(cè)承載結(jié)果分析
圖9 螺母側(cè)螺紋牙軸向承載
圖9為滾柱修形量由0~0.014 mm變化的過程中螺母側(cè)螺紋牙軸向載荷隨螺紋牙序號的變化情況,可以看出隨著滾柱螺紋修形量的增加,螺母側(cè)螺紋牙承受載荷隨螺紋牙序號增加的整體趨勢由逐漸增加變?yōu)橄葴p小后增加最后變?yōu)橹饾u減少。
表2 螺母側(cè)螺紋載荷隨滾柱螺紋牙修形量的變化情況
2.2.2 絲杠側(cè)承載結(jié)果分析
圖10為滾柱修形量由0.002~0.014 mm變化的過程中絲杠側(cè)螺紋牙軸向載荷隨螺紋牙序號的變化情況,可以看出隨著滾柱螺紋牙修形量的增加,絲杠側(cè)螺紋牙承載隨螺紋牙序號變化趨勢由逐漸減小變?yōu)橄葴p小后增大。表3為絲杠側(cè)螺紋載荷參數(shù)隨滾柱螺紋牙修形量變化情況。
表3 絲杠側(cè)螺紋載荷隨滾柱螺紋牙修形量的變化情況
由表3可以看出,所列各修形量絲杠側(cè)各螺紋牙的平均載荷均為250.001 N。修形量為0.012 mm時,SF為17.500 2 N是所列各修形量SF值中的最小值,說明在修形量為0.012 mm時,各螺紋牙之間載荷波動最小。此時,螺紋牙承載的最大值為292.469 N,是所列各修形量螺紋牙承載最大值中的最小值,螺紋牙承載的最小值為230.752 N,是所列各修形量螺紋牙承載最小值中的最大值。因此,可以得出在所列的各修形量中絲杠側(cè)滾柱螺紋牙修形量為0.012 mm時各螺紋牙承載最均勻。
圖10 絲杠側(cè)螺紋牙軸向承載
從上述分析結(jié)果中可以看出絲杠側(cè)載荷分布不均現(xiàn)象比螺母側(cè)嚴(yán)重,絲杠側(cè)較螺母側(cè)分布更為不均主要是由于螺母的軸段剛度比絲杠側(cè)大,軸段剛度越大,在相同的載荷下變形累積越小,螺紋牙載荷分布越均勻。絲杠側(cè)和螺母側(cè)對滾柱螺紋的修形量的敏感程度不同,螺母側(cè)螺紋的承載較絲杠側(cè)更為敏感。因此,本文在得到螺母側(cè)和絲杠側(cè)滾柱螺紋的最優(yōu)修形量后,再將滾柱兩接觸側(cè)的修形量分別設(shè)置為最優(yōu)修形量,計算后得到最優(yōu)修形量的螺紋牙載荷分布。
由2.2.1的分析可以看出,螺母側(cè)滾柱螺紋修形為0.004 mm和0.006 mm時,螺母側(cè)螺紋牙承載達(dá)到了較為均勻的狀態(tài),絲杠側(cè)滾柱螺紋修形量為0.012 mm時,絲杠側(cè)螺紋牙承載最均勻。因此,最終最優(yōu)修形量滾柱應(yīng)為螺母側(cè)修形0.004 mm或者0.006 mm,絲杠側(cè)修形0.012 mm,對其進(jìn)行建模并計算得到2種情況下PRSM滾柱螺紋牙的載荷分布。圖11和圖12分別為螺母側(cè)修形0.004 mm和絲杠側(cè)修形0.012 mm時,滾柱螺紋牙載荷分布以及螺母側(cè)修形0.006 mm和絲杠側(cè)修形0.012 mm時,滾柱螺紋牙載荷分布圖。
圖11 螺母側(cè)修形0.004 mm,絲杠側(cè)修形0.012 mm時滾柱螺紋牙載荷分布
圖12 螺母側(cè)修形0.006 mm,絲杠側(cè)修形0.012 mm時滾柱螺紋牙載荷分布
修形量/mm最大值/N最小值/NF/NSF/N0.004302.953235.419250.00216.400 5 0.006287.808237.294250.00213.482 6
對比圖11和圖12可以看出,修形后絲杠側(cè)和螺母側(cè)載荷分布都得到了優(yōu)化,由表4可以看出當(dāng)螺母側(cè)修形量為0.006 mm時,SF值較修形量為0.004 mm時明顯減小,說明各螺紋牙載荷更接近于載荷平均值,即螺母側(cè)承載更加均勻,主要是因為絲杠側(cè)螺紋承載對螺母側(cè)螺紋牙的承載產(chǎn)生了一定的影響。因此,PRSM在異側(cè)安裝絲杠受壓螺母受壓的情況下,螺母側(cè)滾柱螺紋修形量為0.006 mm,絲杠側(cè)修形量為0.012 mm時,PRSM螺紋承載達(dá)到了最優(yōu),即各螺紋牙承載達(dá)到較為均勻的狀態(tài)。
本文對不同安裝方式下PRSM的螺紋載荷分布進(jìn)行了有限元數(shù)值計算,并與解析結(jié)果進(jìn)行對比,驗證了計算方法的正確性。通過研究PRSM各種變形,提出了一種滾柱螺紋牙的修形方法。以某種參數(shù)的PRSM為例,在考慮異側(cè)安裝絲杠受壓螺母受壓的情況下,對滾柱兩接觸側(cè)分別修形0.002,0.004,0.006,0.008,0.010,0.012以及0.014 mm后,計算了各種修形量情況下PRSM的載荷分布,研究了不同修形量對PRSM載荷分布的影響規(guī)律,得出以下結(jié)論:
1)絲杠側(cè)載荷分布不均現(xiàn)象較螺母側(cè)嚴(yán)重,主要由于螺母和絲杠的軸段剛度不同。絲杠的軸段剛度比螺母的軸段剛度小,軸段剛度小軸段變形累積越明顯,載荷分布越不均勻。螺母側(cè)螺紋承載和絲杠側(cè)螺紋承載對滾柱螺紋牙修形量的敏感程度不同,滾柱兩接觸側(cè)修形量為0.004 mm和0.006 mm時,螺母側(cè)螺紋牙的載荷分布達(dá)到了較為均勻的狀態(tài);滾柱兩接觸側(cè)修形量為0.012 mm時,絲杠側(cè)螺紋牙的載荷分布達(dá)到了較為均勻的狀態(tài)。因此,螺母側(cè)螺紋承載較絲杠側(cè)螺紋承載對滾柱螺紋牙修形量更為敏感;
2)對滾柱兩接觸側(cè)修形量分別按照螺母側(cè)0.004 mm絲杠側(cè)0.012 mm以及螺母側(cè)0.006 mm絲杠側(cè)0.012 mm進(jìn)行修形,并對修形后的PRSM載荷分布進(jìn)行計算。結(jié)果發(fā)現(xiàn)螺母側(cè)修形量為0.006 mm絲杠側(cè)修形量為0.012 mm時,PRSM螺紋承載達(dá)到最優(yōu)狀態(tài),說明這種均勻改變滾柱螺紋牙厚的滾柱螺紋牙的滾柱螺紋牙修形方法可以有效地改善PRSM螺紋承載狀況,可以為未來高承載PRSM的設(shè)計提供理論基礎(chǔ);
3)對于不同型號參數(shù)以及不同承載狀況的PRSM,其滾柱兩接觸側(cè)(絲杠側(cè)和螺母側(cè))的修形量不同,且(絲杠側(cè)或者螺母側(cè))單側(cè)修形量也不相同。未來PRSM均載設(shè)計時,可以通過對滾柱兩接觸側(cè)修形量進(jìn)行數(shù)值模擬,最后選出能夠適應(yīng)多種型號參數(shù)以及承載能力的PRSM滾柱螺紋牙修形量,拓寬PRSM滾柱螺紋牙修形的應(yīng)用范圍。