胡杰，劉娟

(1.山西農業(yè)大學 軟件學院，山西 太谷 030801； 2.山西農業(yè)大學 文理學院，山西 太谷 030801)

鼠的種類繁多，適應能力強，孕期短，產子率高，數(shù)量可在短時間內迅速增加。當鼠類數(shù)量超過經濟臨界值時，會造成很大危害，簡稱為鼠害。在農業(yè)上，害鼠幾乎嚙食所有農作物，如水稻、馬鈴薯、小麥、玉米、蔬菜、大豆等糧食和經濟作物；在林業(yè)上，害鼠主要啃咬樹種、成樹、幼苗等，影響森林更新，固沙植樹，綠化環(huán)境；在牧草業(yè)上，害鼠主要大量啃食牧草，破壞土壤植被，使草場退化，土壤沙化。鼠害不僅對農業(yè)，林業(yè)，牧草業(yè)造成危害，而且會對農業(yè)建筑物和一些農田水利設施造成很大危害。故對鼠害的控制刻不容緩。常用的方法有以下幾種：一是用捕鼠夾、自制土箭等機械滅鼠的物理防治，常用于倉庫，庭院，作為輔助工具；二是噴灑磷化鋅、殺鼠靈等化學毒餌的化學防治，雖能在短時間內能大面積殺死害鼠,但是毒性會威脅人類及畜類的安全，污染環(huán)境，還會使害鼠產生抗藥性；三是定期投放天敵(黃鼠狼、蛇)、投放僅對鼠類有殺傷力而對人畜無害的微生物病原體、使用不育劑等的生物防治，雖無污染性，但是效果不能立刻顯現(xiàn)。所以，結合生物防治的無污染性和化學防治的快速性，一般采取綜合鼠害治理。

由于投放天敵和噴灑毒餌是不連續(xù)的，但是投放和噴灑的瞬時會使害鼠數(shù)量和天敵數(shù)量發(fā)生很大變化，故引入脈沖微分方程[1～7]來研究害鼠防治系統(tǒng)。許多數(shù)學學者研究了被捕食者和捕食者之間的功能性反應，如Holling-I， Holling-II，Holling-III，Ivlev等功能性反應函數(shù)但絕大部分功能性反應僅是食餌密度的單調功能性反應函數(shù)[1,3,5]。事實上由于生物系統(tǒng)的復雜性很多功能性反應函數(shù)還依賴捕食者的密度，同時也不一定是單調函數(shù)，比如比率依賴型[8]功能性反應。

(1)

故本文在不同固定脈沖時刻分別投放毒餌和天敵的具有比率依賴型功能性反應的如下脈沖微分方程：

(2)

1 預備知識

當系統(tǒng)(2)中x(t)=0時，有：

(3)

由脈沖微分方程的不動點定理和頻閃映射，得到系統(tǒng)(3)的周期解為：

進而得到相應的解為：

引理1.1[9]系統(tǒng)(2)前兩個方程的右端函數(shù)的光滑性使得解存在且唯一。

引理1.2[10]設z(t)=(x(t)，y(t))為系統(tǒng)(3)的解，且初始條件z(0+)≥0，則對于所有的t≥0有z(t)≥0。若初始條件z(0+)>0，則對于所有的t≥0，有z(t)>0。

綜上，可得系統(tǒng)(2)存在鼠害滅絕周期解(0,y(t))。

2 鼠害滅絕周期解的穩(wěn)定性

定理2.1 若參數(shù)滿足

(4)

(5)

令

經簡單計算，可得如下基解矩陣：

則系統(tǒng)(2)中的脈沖條件變?yōu)椋?/p>

故

為單值矩陣的特征值。由脈沖微分方程的Floquet定理知：

定理2.2 若系統(tǒng)(2)中參數(shù)滿足

(6)

則系統(tǒng)(2)的鼠害滅絕周期解是全局漸近穩(wěn)定的。

證明：由系統(tǒng)(2)知：

由比較定理知：x(t)≤u(t)，其中有：

故當t 充分大時，對任意的ε1>0，均有x(t)≤K+ε1。

簡單起見，設x(t)≤K+ε1對任意ε1>0均成立。

(7)

類似地，可假設(7)式對t>0成立。

由系統(tǒng)(2)知：

經計算得:

故

x((n+l)T)≤x(lT)ηn→0(n→∞)

對于t∈[(n+l-1)T,(n+l)T]，有：

0≤x(t)≤x((n+l-1)T)(1-p1)erT，

故x(t)→0(t→∞).

由比較定理知：

(8)

由引理1.3知：

由式子(8)知：

定理得證。

3 數(shù)值分析

進一步，取參數(shù)r=25，K=1.5，d=0.15，p1=0.9,p2=0.1,u=8,k=0.5,ω=0.6,c=1,m=0.5,x(0)=1，y(0)=0。經簡單計算可得T*≈4.6。用Matlab軟件進行數(shù)值分析，當T=2，從圖1和圖2中容易看出，害鼠數(shù)量經過一系列震蕩很快趨于0，而天敵數(shù)量不停的周期性震蕩最終趨于穩(wěn)定。同樣地，當T=5時，由圖3和圖4知，害鼠和天敵都共存，并且呈周期性震蕩，此時系統(tǒng)(2)是穩(wěn)定的。

圖1 T=2時鼠害種群的時間序列圖Fig.1 Time sequence diagram of harmful rodent pest population when T=2

圖2 T=2時天敵 種群的時間序列圖Fig.2 Time sequence diagram of natural enemy population when T=2

圖3 T=5時鼠害 種群的時間序列圖Fig.3 Time sequence diagram of harmful rodent population when T=5

圖4 T=5時天敵和害鼠的相圖Fig.4 The phase diagram of natural enemy population and harmful rodent pest when T=5

4 結語

中，可以根據(jù)農業(yè)、林業(yè)、牧草業(yè)害鼠的具體情況，采取相應的生物防治和化學防治相結合的綜合鼠害治理方法，選擇相應的參數(shù)p1、r、c和m，從而得到臨界值T*。選擇T