上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 上海 201620

1 研究背景

構(gòu)型、性能和尺度是機(jī)構(gòu)學(xué)研究的永恒主題。機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的結(jié)果直接決定了機(jī)器人的工作空間大小、靈巧性、可操作度、各向同性、奇異位形、最大速度、最大加速度、傳輸精度等諸多運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，而運(yùn)動(dòng)學(xué)性能又是機(jī)器人機(jī)構(gòu)構(gòu)型優(yōu)劣評(píng)判的重要標(biāo)準(zhǔn)和尺度設(shè)計(jì)的前提條件。另一方面，機(jī)器人機(jī)構(gòu)的多維尺度空間與性能指標(biāo)間存在明顯的非線性關(guān)系，很難用具有明確物理意義的無(wú)量綱參數(shù)來(lái)表達(dá)［1-2］。因此，采用精確量化的方法來(lái)描述和揭示機(jī)構(gòu)尺度與運(yùn)動(dòng)學(xué)性能間的關(guān)系是機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)過(guò)程中具有挑戰(zhàn)性的關(guān)鍵問(wèn)題，對(duì)于機(jī)器人的研發(fā)及應(yīng)用具有全局性影響。

美國(guó)的Gosselin等人將全域條件性指標(biāo)定義為雅可比矩陣條件數(shù)的倒數(shù)在整個(gè)工作空間內(nèi)的平均值，可用于評(píng)價(jià)整個(gè)工作空間中機(jī)器人輸入、輸出間傳遞關(guān)系的精確度及所有構(gòu)形的相對(duì)誤差均值，因而全域條件性指標(biāo)被廣泛用于機(jī)器人機(jī)構(gòu)的尺寸設(shè)計(jì)［3-4］。但全域條件性能指標(biāo)僅能反映整個(gè)工作空間內(nèi)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能的平均水平高低，無(wú)法體現(xiàn)出機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能的波動(dòng)情況。在分析Gosselin等人提出的全域條件性能指標(biāo)的基礎(chǔ)上，石志新等［5］提出了全域性能波動(dòng)指標(biāo)。

筆者在考慮雅可比矩陣、黑塞矩陣在速度和加速度水平上對(duì)串聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)性能影響的同時(shí)，突破了以往僅以雅可比矩陣為依據(jù)進(jìn)行性能分析的局限性，并對(duì)經(jīng)過(guò)尺度優(yōu)化的串聯(lián)噴涂機(jī)器人進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)仿真，仿真結(jié)果證實(shí)了基于全域運(yùn)動(dòng)學(xué)性能指標(biāo)的機(jī)構(gòu)尺度優(yōu)化方法的正確性。筆者所做研究為設(shè)計(jì)性能優(yōu)良的機(jī)器人機(jī)構(gòu)提供了理論依據(jù)。

2 串聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)全域性能指標(biāo)

2.1 全域條件性能指標(biāo)

記雅可比矩陣為G，記黑塞矩陣為H，雅可比矩陣的條件數(shù)定義為kG=||G||||G+||，黑塞矩陣條件數(shù)定義為kH=||H||||H+||，G+、H+分別為G、H的廣義逆矩陣。全域條件性能指標(biāo)的數(shù)學(xué)含義是雅可比矩陣或黑塞矩陣條件數(shù)的倒數(shù)在整個(gè)工作空間內(nèi)的平均值，表達(dá)式為：

式中：ηJ為全域條件性能指標(biāo)；kJ為矩陣的條件數(shù)；ω為機(jī)器人的可達(dá)工作空間。

在計(jì)算||H||時(shí)，可以分別取H的每一層，這樣||H||就有6個(gè)數(shù)，然后再計(jì)算kH：

根據(jù)矩陣范數(shù)的性質(zhì)，可知 1≤kJ＜+∞，則ηJ取值范圍為 0＜ηJ≤1，J∈｛G，H｝。ηJ值越大，就越接近 1，表明機(jī)器人在整個(gè)工作空間內(nèi)的靈巧度及控制精度越高，運(yùn)動(dòng)學(xué)性能越好。

2.2 全域性能波動(dòng)指標(biāo)

機(jī)器人在實(shí)際使用中不僅要求機(jī)構(gòu)具有良好的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，而且還希望保持良好的性能穩(wěn)定性。針對(duì)全域性能指標(biāo)的缺陷，筆者采用運(yùn)動(dòng)學(xué)全域性能波動(dòng)指標(biāo)：

式中：σJ為機(jī)器人全域性能波動(dòng)指標(biāo)。

機(jī)器人全域性能波動(dòng)指標(biāo)的數(shù)學(xué)含義為雅可比矩陣或黑塞矩陣條件數(shù)的倒數(shù)在整個(gè)工作空間內(nèi)的均方差，其大小反映了機(jī)器人機(jī)構(gòu)在整個(gè)工作空間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)性能相對(duì)于平均性能的波動(dòng)幅度。σJ值越小，表明在工作空間內(nèi)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)性能越穩(wěn)定，機(jī)器人末端的輸出運(yùn)動(dòng)也越平穩(wěn)。

綜合應(yīng)用全域條件性能指標(biāo)和全域性能波動(dòng)指標(biāo)，可以更加全面、精細(xì)地評(píng)價(jià)機(jī)器人全域運(yùn)動(dòng)學(xué)性能的好壞，從而更合理地優(yōu)化機(jī)構(gòu)的尺寸。當(dāng)兩個(gè)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的全域性能指標(biāo)比較接近時(shí)，可以依據(jù)全域性能波動(dòng)指標(biāo)來(lái)進(jìn)一步評(píng)判它們的優(yōu)劣，進(jìn)而選擇性能較優(yōu)的機(jī)構(gòu)。

3 噴涂機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)性能指標(biāo)求解

3.1 噴涂機(jī)器人構(gòu)型

筆者研究的具有六個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的噴涂機(jī)器人構(gòu)型及坐標(biāo)系設(shè)置如圖1所示，噴涂機(jī)器人D-H參數(shù)見(jiàn)表1。表1中扭轉(zhuǎn)角αi-1為初始姿態(tài)下設(shè)定的角度，圖1中β為偏交型手腕的偏角。

3.2 工作空間求解

結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)和Simulink軟件中的SimMechanics模塊建立系統(tǒng)模型，可以迅速準(zhǔn)確地求解出噴涂機(jī)器人的工作空間［6-7］，如圖2所示。求得的噴涂機(jī)器人工作空間由大量離散點(diǎn)構(gòu)成。

3.3 雅可比矩陣和黑塞矩陣求解

雅可比矩陣和黑塞矩陣取決于機(jī)器人機(jī)構(gòu)的位姿，并隨機(jī)構(gòu)位姿的改變而改變。根據(jù)影響系數(shù)法［8］，噴涂機(jī)器人雅可比矩陣的表達(dá)式為：

式中：Si（i=1，2，...，6）為串聯(lián)機(jī)構(gòu)各運(yùn)動(dòng)副軸線（Zi軸）在基坐標(biāo)系O0-X0Y0Z0中的方向向量；Ri為各坐標(biāo)系原點(diǎn)Oi在基坐標(biāo)系中的位置向量；P為機(jī)器人手腕末端在基坐標(biāo)系中的位置向量。

表1 噴涂機(jī)器人D-H參數(shù)

▲圖1 噴涂機(jī)器人構(gòu)型及坐標(biāo)系設(shè)置

▲圖2 噴涂機(jī)器人工作空間

串聯(lián)機(jī)構(gòu)各運(yùn)動(dòng)副對(duì)P的矢徑為P-Ri，且Si、Ri、P均為3×1的列向量，由此可知雅可比矩陣G為6×6方陣。

噴涂機(jī)器人黑塞矩陣的表達(dá)式為：

黑塞矩陣H為6×6×6的矩陣，其中的元素0均表示［0 0 0］T矩陣，采用Aij=SiSj、Bij=Si［Sj（P-Ri）］（i，j=1，2，...，6）向量積進(jìn)行簡(jiǎn)寫，Sj與Si的物理含義和本質(zhì)相同，只是為了作區(qū)別，即Sj（j=1，2，...，6）同樣分別對(duì)應(yīng)串聯(lián)機(jī)構(gòu)各運(yùn)動(dòng)副軸線（Zi軸）在基坐標(biāo)系中的方向向量。

4 機(jī)構(gòu)尺度優(yōu)化

筆者以圖1中的a2和d4，即大臂及小臂的長(zhǎng)度優(yōu)化為例，按照上述方法得到了具有不同a2、d4尺度的機(jī)器人機(jī)構(gòu)性能指標(biāo)，求得了每組機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)全域條件性能指標(biāo)和全域性能波動(dòng)指標(biāo)數(shù)值，據(jù)此繪出全域條件性能指標(biāo)圖譜及全域性能波動(dòng)指標(biāo)圖譜，如圖3～圖6所示。

由圖3可知，當(dāng)連桿參數(shù)a2=400～440 mm、d4=400～410 mm時(shí)，速度全域條件性能指標(biāo)數(shù)值較大，表明噴涂機(jī)器人在此區(qū)域的速度全域條件性能指標(biāo)較優(yōu)。由圖4可知，當(dāng)連桿參數(shù)a2=400～450 mm、d4=400～410 mm時(shí)，加速度全域條件性能指標(biāo)數(shù)值較大，表明噴涂機(jī)器人在此區(qū)域的加速度全域條件性能指標(biāo)較好。綜合圖 3、圖 4，當(dāng)a2=400～440 mm、d4=400～410 mm時(shí)，噴涂機(jī)器人的速度及加速度全域條件性能指標(biāo)均較為理想。由圖5可知，當(dāng)連桿參數(shù)a2=400～410 mm、d4=406～410 mm時(shí)，速度全域性能波動(dòng)指標(biāo)數(shù)值較小，表明噴涂機(jī)器人在此區(qū)域的速度全域性能波動(dòng)指標(biāo)較好。由圖6可知，當(dāng)連桿參數(shù)a2=403～413 mm、d4=409～410 mm時(shí)，加速度全域性能波動(dòng)指標(biāo)數(shù)值較小，表明噴涂機(jī)器人在此區(qū)域的加速度全域性能波動(dòng)指標(biāo)較好。綜合圖 5、圖 6，當(dāng)a2=403～410 mm、d4=409～410 mm時(shí)，噴涂機(jī)器人的速度及加速度全域性能波動(dòng)指標(biāo)均較為理想。

統(tǒng)籌考慮圖3～圖6，欲使噴涂機(jī)器人的速度、加速度全域條件性能指標(biāo)及全域性能波動(dòng)指標(biāo)同時(shí)較優(yōu)，大臂尺度a2、小臂尺度d4的取值范圍應(yīng)為a2=403～410 mm，d4=409～410 mm，此時(shí)可認(rèn)為噴涂機(jī)器人的全域運(yùn)動(dòng)學(xué)性能最優(yōu)。

5 運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)仿真

▲圖3 速度全域條件性能指標(biāo)圖譜

▲圖4 加速度全域條件性能指標(biāo)圖譜

▲圖5 速度全域性能波動(dòng)指標(biāo)圖譜

▲圖6 加速度全域性能波動(dòng)指標(biāo)圖譜

為驗(yàn)證筆者提出的全域運(yùn)動(dòng)學(xué)性能優(yōu)化方法的有效性，需進(jìn)一步考察具有最優(yōu)a2、d4尺度的噴涂機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的變化規(guī)律。筆者在MATLAB軟件機(jī)器人工具箱仿真環(huán)境中，令機(jī)器人以噴涂作業(yè)常用的矩形折線軌跡勻速噴涂閥門工件表面［9-12］。優(yōu)化之后的尺度參數(shù)為a2=409 mm，d4=409 mm，進(jìn)而研究機(jī)器人末端線速度、線加速度參數(shù)的變化情況。仿真得到的末端線速度、線加速度隨時(shí)間變化的曲線分別如圖7、圖8所示。

由圖7、圖8可以看出，尺度優(yōu)化后，機(jī)器人末端的線速度、線加速度曲線均呈現(xiàn)為更平滑、波動(dòng)幅度減小，這表明尺度優(yōu)化后噴涂機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)更加平穩(wěn)，控制精度相對(duì)提高，從而驗(yàn)證了筆者提出的機(jī)器人機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)全域性能優(yōu)化方法的正確性。

▲圖7 末端線速度隨時(shí)間變化曲線

▲圖8 末端線加速度隨時(shí)間變化曲線

6 結(jié)論

筆者綜合串聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)全域條件性能指標(biāo)和全域性能波動(dòng)指標(biāo)，進(jìn)行噴涂機(jī)器人的機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)優(yōu)化。結(jié)合仿真證實(shí)了這一方法正確可行，且可操作性強(qiáng)、易于圖形化，不僅能夠全面評(píng)價(jià)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，而且能夠精細(xì)、合理地優(yōu)化機(jī)器人機(jī)構(gòu)的尺度。