王鵬，王瑩，汪鼎，田瑩

(西安航空學院 機械工程學院，西安 710077)

0 引 言

齒輪是現(xiàn)代機械中應用最廣泛的傳動零件。它具有傳動平穩(wěn)和傳動比準確等優(yōu)點，也是航空發(fā)動機中的重要零件。航空發(fā)動機中的齒輪制造精度直接影響其傳動的性能和安全[1]，因此航空齒輪都屬于高精度齒輪。磨齒加工是獲得高精度齒輪常用的加工方法，數(shù)控成型磨齒機是磨齒加工的重要裝備[2]。

關(guān)于如何提高成型砂輪磨齒加工的精度，國內(nèi)外學者進行了很多研究。國外，N.Yoshino等[3]提出了修正砂輪廓形和試算砂輪位置兩種齒廓偏差補償方法，提高齒輪磨削精度；Y.Kobayash等[4]建立了由齒廓偏差求解砂輪安裝誤差的數(shù)學模型來進行砂輪廓形修整，提高磨齒精度；S.R.Park等[5]基于齊次坐標變換提出一種制造機床的綜合誤差建模方法；A.W.Khan等[6]和Zhao Y等[7]采用變換矩陣、解析二次型、多體系統(tǒng)運動學解決磨齒機制造誤差的問題。國內(nèi)，李平等[8]、宋洪俠等[9]、和張虎等[10]研究了磨齒過程中安裝偏心誤差與齒廓誤差的關(guān)系，減小了齒輪齒廓誤差；張立功等[11]分析了成形法對磨削斜齒輪的齒形誤差的影響；李國龍等[12]針對拓撲修形齒輪的成形磨削誤差提出了一種砂輪廓形優(yōu)化方法；Yu Chunjian等[13-14]針對物理場中耦合條件下的重型數(shù)控回轉(zhuǎn)工作臺的動靜態(tài)精度進行了系統(tǒng)研究；石楓[15]論述了合理選擇磨齒余量的形式、磨齒余量等因素是提高磨齒質(zhì)量的基本條件以及蝸桿砂輪對中性對被加工齒輪齒形對稱性的影響；梅軍炎等[16]通過磨齒方法進而提高磨齒質(zhì)量。綜上所述，針對如何提高磨齒精度國內(nèi)外的研究主要集中在磨齒余量，工裝夾具、降低磨齒機的安裝制造誤差，提高回轉(zhuǎn)工作臺精度，修整砂輪刀具廓形等方面，對于如何在磨齒加工過程中在線減小齒輪誤差研究較少。

本文以成型砂輪磨齒機的工作原理為基礎(chǔ)，針對直齒圓柱齒輪磨削加工時安裝偏心誤差對單個齒距偏差和齒距累積總偏差的影響，提出磨齒加工時通過成型砂輪在x、y方向的進給補償增量來減小齒輪的單個齒距偏差和齒距累積總偏差，以期減小齒輪誤差，提高齒輪傳動的精度。

1 砂輪成型磨齒加工原理

磨齒加工是提高齒輪精度的常見工藝，磨齒機是磨齒加工的常用設(shè)備。目前我國多采用數(shù)控成型砂輪磨齒機進行磨齒加工，數(shù)控砂輪成型砂輪磨齒機示意圖如圖1所示。數(shù)控轉(zhuǎn)臺沿C軸方向的旋轉(zhuǎn)實現(xiàn)工件(齒坯)分度轉(zhuǎn)動；x軸方向?qū)崿F(xiàn)砂輪架的進給和快退，磨齒加工中砂輪架進給運動稱為徑向運動；z軸方向?qū)崿F(xiàn)砂輪在被加工齒輪齒向的往復運動；y軸方向?qū)崿F(xiàn)砂輪架切向運動，保證砂輪始終用新的面來磨削工件。在磨斜齒輪時，砂輪需要傾斜一個螺旋角，通過滑座沿A軸的旋轉(zhuǎn)來實現(xiàn)。其中z軸和C軸屬于磨削運動軸，y軸屬于砂輪修整軸，x軸主要用于磨削工件進刀時使用。當進行磨削時，z軸和C軸形成聯(lián)動關(guān)系，砂輪的軸線與齒坯的軸線垂直，砂輪截形的中心線與齒槽截形中心線重合，利用成型的砂輪廓形磨削輪齒的漸開線齒廓。

圖1 數(shù)控砂輪成型磨齒機示意圖Fig.1 Schematic diagram of CNC grinding machine for grinding wheel

2 齒坯安裝偏心誤差對磨齒精度的影響

磨齒精度取決于磨齒機的制造精度、砂輪刀具的廓形精度以及齒坯的安裝精度。本文主要研究齒坯的安裝精度對磨齒精度的影響。齒輪傳動最基本的要求是傳動平穩(wěn)、瞬時傳動比準確。在齒輪的各項誤差指標中，傳動的平穩(wěn)性和傳動比準確性主要由輪齒的單個齒距偏差和齒距累積總偏差決定的。

在齒輪端平面上，以齒坯中心為圓心，圓心到齒高中部的距離為半徑存在一個圓稱為實際分度圓。實際分度圓截得相鄰兩輪齒同側(cè)齒面間所對應的弧長稱為實際齒距。實際齒距與理論齒距的差值稱為單個齒距偏差fpt[17]，它反映了一個齒距角內(nèi)的分度精度以及輪齒在圓周上分布的均勻性。齒距累積總偏差Fp是指在齒輪同側(cè)齒面任意弧長(k=1至k=z)內(nèi)的最大齒距累積偏差，它表現(xiàn)為齒距累積偏差曲線的總幅度值，F(xiàn)p為絕對值[18]，它反映了齒輪旋轉(zhuǎn)一圈的轉(zhuǎn)角誤差以及一圈內(nèi)傳動比最大變動量。

綜上所述，單個齒距偏差fpt是指兩個輪齒間同側(cè)齒面上在分度圓上弧長尺寸的偏差，影響齒輪傳動的平穩(wěn)性。齒距累積總偏差Fp是指單個齒距偏差累積起來產(chǎn)生的總偏差，影響齒輪傳動比的準確性。齒距累積總偏差是由每個輪齒的單個齒距偏差共同作用引起的。

磨齒加工時，齒坯安裝在回轉(zhuǎn)工作臺上，因存在齒坯精度誤差，回轉(zhuǎn)工作臺制造誤差和人為安裝誤差，導致齒坯的幾何中心與數(shù)控回轉(zhuǎn)工作臺的回轉(zhuǎn)中心存在偏心誤差。偏心誤差加工模型如圖2所示。其齒坯幾何中心O1與數(shù)控回轉(zhuǎn)臺的中心O有安裝偏心ej。實線圓為加工節(jié)圓，虛線圓為理論節(jié)圓。理論節(jié)圓上的輪齒應均勻分布，但加工時由于齒坯安裝偏心誤差的存在，導致輪齒在加工節(jié)圓上均勻分布。假設(shè)在切削節(jié)圓的中心角θ范圍內(nèi)，均勻分布k個輪齒，因理論節(jié)圓與加工節(jié)圓不重合，輪齒在理論節(jié)圓分布不均勻，產(chǎn)生單個齒距偏差和齒距累積總偏差，降低了齒輪精度。

圖2 偏心誤差加工模型Fig.2 Eccentricity error machining model

以“左齒面”為例，分析理論節(jié)圓上的實際位置與其理論位置之間的差距。由圖2可知，在理論節(jié)圓上，ej值很小，近似由弧長代替，第一個齒實際位置與理論位置相距弧長近似等于ejtgα。因此，第k個齒的實際位置與理論位置相距弧長為

Δt=ejsinθ+ejcosθtgα

(1)

式中：ej為偏心誤差；α單位為分(文中α單位與此相同)。

當式(1)等于0時，即Δt=ejsinθ+ejcosθtgα=0，可得tgθ=-tgα。當θ=-α或θ=π-α時，Δt=0，則該輪齒“左齒面”在理論節(jié)圓上的實際位置與理論位置是重合的。

(2)

當α=20°時，Δt∑=2.13ej，將Δtmax的ej帶入式(1)，可得：

Δt=Δtmax(cosαsinθ+cosθsinα)

=Δtmaxsin(θ+α)

(3)

式(3)表示輪齒“左齒面”的累積偏差，即它們在理論節(jié)圓上的實際位置與理論位置之間相距的弧長。

同理，“右齒面”的累積偏差為式(4)。

Δt=Δtmaxsin(θ-α)

(4)

在式(3)和式(4)中，Δtmax=ej/cosα。齒距累積總偏差曲線，如圖3所示。其中，圖(a)中的y軸Δt表示各齒“左齒面”的齒距累積總偏差，圖(b)中的y軸Δt表示“右齒面”的齒距累積總偏差，x軸θ表示相位角。

(a) 左齒面

(b) 右齒面圖3 齒距累積總偏差曲線Fig.3 Cumulative total deviation curve of pitch

偏心距對于齒距累積總偏差以最大齒距差作為振幅呈三角函數(shù)變化，各齒的次序以相位角θ表示，其波峰值和波谷值均為最大和最小的齒距差。安裝位置和齒輪參數(shù)決定了壓力角α和初相位θ[19-20]。

由于單個齒距偏差影響齒輪傳動的平穩(wěn)性，同時影響齒距累積總偏差，而齒距累積總偏差影響齒輪傳動比的正確性。由式(2)可知，當壓力角α一定時，齒距累積總偏差與安裝偏心誤差ej成正比關(guān)系。因此，當齒坯安裝偏心誤差增大時，導致磨齒加工時單個齒距偏差和齒距累積總偏差增加，降低了齒輪精度以及傳動的平穩(wěn)性和傳動比的準確性。本文提出磨削加工偏心誤差補償法，以期提高齒輪傳動精度。

3 磨削加工偏心誤差補償

磨齒加工時，齒坯存在偏心，砂輪刀具相對齒坯孔軸心線的徑向距離和切向距離產(chǎn)生變化，因此需要調(diào)整砂輪在x軸、y軸方向上的進給量。以機床的固定中O為坐標原點，Ox為徑向運動軸(x軸)，Oy為砂輪軸向進給軸(y軸)。偏心磨削加工輪齒分布圖，如圖4所示。

第一個齒的加工，齒坯是以O(shè)1為圓心，砂輪在p1f的位置，砂輪的徑向位置與齒坯的幾何圓心、機床工作臺的旋轉(zhuǎn)中心O在同一條直線上。所以在此位置，砂輪在x軸方向上和y軸方向上的進給增量應分別為：Δx1=e，Δy1=0。然后工作臺旋轉(zhuǎn)軸C軸轉(zhuǎn)過一個分度角φ(齒輪在分度過程中逆時針旋轉(zhuǎn))，開始第二個齒加工，在齒坯安裝無偏心的情況下，砂輪進給方向必須要求和工件的直徑方向一致，而且總是在x軸上。存在偏心距e的情況下，如果砂輪進給方向仍然保持在x軸方向上不變，磨削加工的輪齒是不準確的，應對砂輪的位置調(diào)整，使得砂輪沿切向軸方向，到達p2m的位置，且在x軸方向上和齒坯的圓心O2在同一水平位置。因此，砂輪在x軸方向上和y軸方向上的進給增量為：Δx2=ecosφ，Δy2=esinφ。加工到第三個齒時，砂輪在x軸方向上和y軸方向上的進給增量分別為：Δx3=ecos2φ，Δy3=esin2φ。由此類推，加工第k個齒時，砂輪在x軸方向上和y軸方向上的進給增量為式(5)。

圖4 偏心磨齒加工輪齒分布圖Fig.4 Gear distribution of eccentric gear grinding

由于幾何偏心的方向與磨削加工方向的起始位置之間存在夾角θ，引入矢量e對砂輪磨削起始點的初始相位角θ，得到齒坯安裝偏心引起的砂輪在x軸方向上進給增量Δx和y軸方向上進給增量Δy的進給增量的關(guān)系表達式(式(6))。

式中：e為偏心量；θ為初始相位角；φ為分度角(360/z)；Δx為x軸的進給增量；Δx為y軸的進給增量。

從式(6)可以看出：砂輪x軸方向進給增量以幾何偏心e為振幅呈余弦變化，y軸方向進給增量以幾何偏心e為振幅呈正弦變化。通過式(6)可以計算成型砂輪在x軸和y軸方向上進給補償增量Δx和Δx。

4 磨齒加工偏心誤差補償實驗

在YK73125數(shù)控成形磨齒機的CAM系統(tǒng)中，嵌入齒坯安裝偏心誤差補償模塊，用戶測量并輸入安裝偏心誤差e，在CAM系統(tǒng)中計算砂輪在x，y兩軸方向上進給補償增量的Δx和Δy，完成偏心誤差補償磨齒加工。

4.1 普通砂輪成型磨齒實驗

利用 YK73125數(shù)控成型砂輪磨齒機進行磨齒實驗，加工齒輪精度可達到5級標準，磨齒機要求安裝偏心距小于0.004 mm。待加工標準漸開線，直齒圓柱齒輪主要參數(shù)：Z=35，m=16，實際測量安裝偏心誤差0.003 mm，安裝偏心誤差滿足磨齒機要求，未采用偏心誤差補償進行磨齒加工，對每個輪齒的左右齒面進行測量，測量結(jié)果如圖5～圖6所示。

(a) 左齒面

(b) 右齒面圖5 單個齒距偏差Fig.5 Single pitch error

(a) 左齒面

(b) 右齒面圖6 齒距累積總偏差Fig.6 Accumulation error of tooth spacing

通過實驗數(shù)據(jù)進行計算，左齒面單個齒距極限偏差fp=8.5 μm，齒距累積總偏差Fp=65.4 μm；右齒單個齒距極限偏差fp=-7.7 μm，齒距累積總偏差Fp=66 μm。

4.2 偏心誤差補償磨齒實驗

采用偏心誤差補償加工相同參數(shù)的齒輪，為了體現(xiàn)補償效果，實驗采用較大的偏心距。測量安裝偏心距e=0.036 mm。根據(jù)砂輪進給增量表達式，在CAM系統(tǒng)中進行進給增量補償計算，得到磨削35個齒的進給補償增量Δxi、Δyi，如表1所示。通過35個齒的進給補償增量Δxi、Δyi，采用偏心誤差補償進行磨齒。測量結(jié)果如圖7～圖8所示 。

表1 進給補償增量表Table 1 Feed compensation increment

(a) 左齒面

(b) 右齒面圖7 單個齒距偏差Fig.7 Single pitch error

(a) 左齒面

(b) 右齒面圖8 齒距累積總偏差Fig.8 Accumulation error of tooth spacing

通過實驗數(shù)據(jù)進行計算，左齒面單個齒距極限偏差fp=7.6 μm，齒距累積總偏差Fp=15.8 μm；右齒單個齒距極限偏差fp=6.1 μm，齒距累積總偏差Fp=22.7 μm。

4.3 實驗結(jié)果分析

通過對上述左右齒面的齒距累積總偏差(Fp)和單個齒距偏差(fp)的測量曲線分析計算，得到的實驗測量數(shù)據(jù)，如表2所示。

表2 實驗測量數(shù)據(jù)Table 2 Experimental measurement data

從表2可以看出：采用偏心誤差補償加工，左右齒面單個齒距極限偏差和齒距累積總偏差與未采用補償加工相比較，左右齒面單個齒距極限偏差和齒距累積總偏差的絕對值有了顯著減小，表明安裝偏心誤差對磨齒加工的誤差存在顯著影響。

同時，從表2可以看出：存在較大偏心誤差的情況下，采用偏心誤差補償進行磨齒。齒輪的左齒面單個齒距極限偏差絕對值減小了0.9 μm，齒距累積總偏差減小了49.6 μm；右齒面單個齒距極限偏差絕對值減小了1.6 μm，齒距累積總偏差減小了43.3 μm。采用偏心誤差補償進行磨齒，可以減小單個齒距極限偏差和齒距累積總偏差。

根據(jù)ISO1328標準查得：5級精度標準直齒圓柱齒輪，模數(shù)m=16，齒數(shù)Z=35，分度圓直徑D=560 mm，齒距累積總偏差Fp=36.0 μm，單個齒距極限偏差fp=10.0 μm。未補償?shù)哪X加工，導致齒輪左右兩個齒面齒距累積總偏差Fp，左齒面單個齒距極限偏差fp均未能達到5級精度標準。采用安裝偏心誤差補償?shù)姆椒ㄟM行磨齒，所得齒輪的單個齒距極限偏差和齒距累積總偏差均可達到5級精度標準要求。

5 結(jié) 論

(1) 本文以數(shù)控成型砂輪磨齒機工作原理為基礎(chǔ)，建立了安裝偏心誤差加工幾何模型，當齒輪壓力角α一定時，單個齒距誤差和齒距累積總偏差與安裝偏心誤差ej成正比關(guān)系。當齒坯安裝偏心誤差增大時，導致磨齒加工時單個齒距偏差和齒距累積總偏差增加，降低齒輪精度。

(2) 本文提出了基于磨齒加工的安裝偏心誤差補償法，建立了磨齒加工偏心誤差補償數(shù)學模型，通過計算得出磨齒加工時成型砂輪徑向和切向的進給補償增量。磨齒加工時，調(diào)整砂輪的進給補償增量，可減小被加工齒輪的單個齒距偏差和齒距累積總偏差。

(3) 通過YK73125數(shù)控成型砂輪磨齒機進行偏心誤差補償實驗，齒輪的左右齒面單個齒距極限偏差絕對值分別減小了0.9 μm和1.6 μm，齒距累積總偏差絕對值分別減小了49.6 μm和43.3 μm。采用偏心誤差補償法進行磨齒加工減小了安裝偏心誤差對齒輪精度的影響，提高了齒輪精度，從而為高精度航空齒輪的磨削加工提供了可靠的理論支持。