馬文靜

(中鐵工程設(shè)計(jì)咨詢集團(tuán)有限公司，北京 100055)

1 概述

不論是有砟軌道高速鐵路還是無(wú)砟軌道高速鐵路，均需要進(jìn)行軌道測(cè)量及軌道精調(diào)，使建成軌道的平順性滿足高速行車的要求[1-3]。傳統(tǒng)的軌道測(cè)量方法是將全站儀架設(shè)在腳架上并精確整平，然后基于線路兩側(cè)的軌道控制網(wǎng)(CPⅢ)進(jìn)行自由設(shè)站測(cè)量[4-7]，在設(shè)站精度滿足規(guī)范要求之后，才能開(kāi)始軌道測(cè)量工作。這種方法的弊端在于每次搬站后均需要對(duì)全站儀進(jìn)行精確整平，不僅花費(fèi)時(shí)間較多，降低工作效率，而且對(duì)測(cè)量人員的操作技能要求也比較高。在運(yùn)營(yíng)高速鐵路普遍采用“天窗修”[8]的線路養(yǎng)護(hù)模式下，這種作業(yè)效率較低的軌道測(cè)量方法已不適應(yīng)現(xiàn)實(shí)的需要。

為了提高軌道測(cè)量作業(yè)的工作效率，一個(gè)可行的方法是去掉全站儀精確整平的操作流程，同時(shí)也不再進(jìn)行人工搬站。提出一種將全站儀架設(shè)在軌檢小車上，與之保持剛性連接的新型軌道測(cè)量裝備，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。在開(kāi)展軌道測(cè)量工作時(shí)，全站儀與軌檢小車一同移動(dòng)，當(dāng)需要進(jìn)行自由設(shè)站測(cè)量時(shí)，則將軌檢小車停下并進(jìn)行自由設(shè)站測(cè)量工作。這種軌道測(cè)量新方法，由于沒(méi)有了搬站及精確整平的過(guò)程，節(jié)省了大量的時(shí)間，將使軌道測(cè)量效率較之傳統(tǒng)方法成倍提升。

圖1 全站儀與軌檢小車連接結(jié)構(gòu)示意

全站儀架設(shè)在軌檢小車上并進(jìn)行自由設(shè)站時(shí)，其狀態(tài)是非整平的。通過(guò)觀測(cè)一定數(shù)量且三維坐標(biāo)已知的CPⅢ控制點(diǎn)，解算全站儀的站心三維坐標(biāo)，從而對(duì)軌檢小車當(dāng)前所處的位置進(jìn)行準(zhǔn)確定位。軌道線路在曲線段存在超高，在線路縱向上存在縱坡，以及由于施工、運(yùn)營(yíng)等原因造成的各種軌道不平順，使得全站儀的非整平狀態(tài)較為復(fù)雜，必須建立一種通用、準(zhǔn)確的站心三維坐標(biāo)解算數(shù)學(xué)模型，使之能夠適用于各種非整平狀態(tài)，并保證站心三維坐標(biāo)的解算精度。

2 站心三維坐標(biāo)解算的理論模型

全站儀在非整平狀態(tài)下觀測(cè)CPⅢ控制點(diǎn)，其實(shí)質(zhì)是建立了一個(gè)以站心為坐標(biāo)原點(diǎn)、任意定向且Z軸不與水平面垂直的空間直角坐標(biāo)系，所有的觀測(cè)值均處于這個(gè)坐標(biāo)系之下；另一方面，已知三維坐標(biāo)的CPⅢ控制網(wǎng)在本質(zhì)上是一個(gè)Z軸垂直于水平面的空間直角坐標(biāo)系。兩個(gè)空間直角坐標(biāo)系之間的軸系關(guān)系，可以采用歐拉角分解為三次繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，并利用方向余弦矩陣聯(lián)系起來(lái)。

設(shè)繞Z，X，Y軸依次旋轉(zhuǎn)的角度分別為θ、φ及γ，平移參數(shù)分別為ΔX、ΔY、ΔZ，尺度比為μ，原坐標(biāo)系下用(x、y、z)表示點(diǎn)坐標(biāo)，新坐標(biāo)系下用(u、v、w)表示點(diǎn)坐標(biāo)，則兩個(gè)空間直角坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系見(jiàn)式(1)[9]

(1)

式(1)為非線性方程組，包含三個(gè)旋轉(zhuǎn)角、三個(gè)平移量及一個(gè)尺度因子，一共7個(gè)未知數(shù)，在最少已知三個(gè)公共點(diǎn)的情況下即可求解。R為基于三個(gè)歐拉旋轉(zhuǎn)角組成的3階方向余弦矩陣[10]，如式(2)所示。該3階矩陣的9個(gè)元素之間相互不獨(dú)立，而且直接以角度為未知數(shù)還存在象限判斷的問(wèn)題，在對(duì)方程進(jìn)行線性化時(shí)會(huì)存在較大的精度損失，難以保證解算成果的準(zhǔn)確性，需要尋求一種高精度且實(shí)用的計(jì)算方法。

(2)

3 站心三維坐標(biāo)的實(shí)用算法

3.1 羅德里格矩陣

定義反對(duì)稱矩陣S

(3)

式(3)中a、b、c為三個(gè)相互獨(dú)立的未知數(shù)，則方向余弦矩陣R可由S構(gòu)成的羅德里格矩陣[11-13]表示為

R=(I+S)(I-S)-1

(4)

式(4)中I為3階單位矩陣。如此構(gòu)建的矩陣R中的各元素間相互獨(dú)立，不僅便于開(kāi)列線性化法方程，也便于未知數(shù)的初值求解。

3.2 七參數(shù)初值求解

設(shè)有三個(gè)公共點(diǎn)，則可首先根據(jù)邊長(zhǎng)之比計(jì)算尺度因子，有

(5)

將式(4)代入式(1)，利用點(diǎn)1及點(diǎn)2的坐標(biāo)開(kāi)列方程，并相互作差消去三個(gè)平移參數(shù)并整理[6]，有

(6)

式(6)為關(guān)于未知數(shù)a、b、c的三個(gè)線性方程組，由于只含有兩個(gè)獨(dú)立方程，不能解算三個(gè)未知數(shù)，需再利用點(diǎn)1及點(diǎn)3開(kāi)列方程組，聯(lián)立求得未知數(shù)a、b、c，然后利用式(4)計(jì)算得到R矩陣，最后根據(jù)式(7)計(jì)算兩個(gè)空間直角坐標(biāo)系之間的平移參數(shù)。

(7)

3.3 最小二乘法求解模型

在全站儀非整平自由設(shè)站中，通常會(huì)觀測(cè)6～8個(gè)CPⅢ控制點(diǎn)，對(duì)所有點(diǎn)按照式(1)開(kāi)列方程求解七參數(shù)時(shí)會(huì)存在多余觀測(cè)，需要采用最小二乘法平差求解最或然概率下的結(jié)果。首先可通過(guò)上述七參數(shù)初值計(jì)算方法，任意選擇3個(gè)點(diǎn)求解七參數(shù)初值。由于從6～8個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn)存在多種選法，可計(jì)算出多組七參數(shù)初值。考慮到CPⅢ控制點(diǎn)位移導(dǎo)致的坐標(biāo)不準(zhǔn)確、點(diǎn)位網(wǎng)形強(qiáng)度等因素，并確保最小二乘平差計(jì)算中能夠迭代收斂，七參數(shù)初值特別是方向余弦矩陣初值應(yīng)該具有較好的精度，可按照式(8)選擇L2范數(shù)定義下值最小的一組。

(8)

初值求解完成后，將式(3)代入式(4)，經(jīng)整理得到以a、b、c表示的方向余弦矩陣R，再將R代入式(1)并整理，有

(9)

對(duì)式(9)進(jìn)行線性化，按照最小二乘法開(kāi)列誤差方程并求解[14-15]

(10)

3.4 站心坐標(biāo)計(jì)算及精度估計(jì)

全站儀非整平狀態(tài)下自身空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)就是其站心，三軸坐標(biāo)值均為零；基于式(1)，解算得到的三個(gè)平移參數(shù)ΔX、ΔY、ΔZ就是站心在CPⅢ坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。利用式(1)計(jì)算經(jīng)坐標(biāo)變換后的CPⅢ控制點(diǎn)坐標(biāo)，并與已知坐標(biāo)進(jìn)行比較，利用式(11)計(jì)算各個(gè)控制點(diǎn)每個(gè)坐標(biāo)軸向的坐標(biāo)殘差

(11)

(12)

式(12)中，n為非整平自由設(shè)站時(shí)所觀測(cè)的CPⅢ控制點(diǎn)個(gè)數(shù)，站心坐標(biāo)的坐標(biāo)殘差可由式(11)所計(jì)算的每個(gè)CPⅢ控制點(diǎn)坐標(biāo)殘差的平均值來(lái)估計(jì)。按照誤差傳播定律，站心坐標(biāo)在三個(gè)軸向的坐標(biāo)中誤差可根據(jù)式(13)估算

(13)

4 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析

為驗(yàn)證該方法在全站儀各種非整平狀態(tài)下的通用性及計(jì)算的準(zhǔn)確性，在某無(wú)砟高速鐵路上進(jìn)行了非整平自由設(shè)站試驗(yàn)。試驗(yàn)在線路左線開(kāi)展，每120 m進(jìn)行一次非整平自由設(shè)站測(cè)量，每次設(shè)站觀測(cè)8個(gè)CPⅢ控制點(diǎn)，站與站之間搭接4個(gè)CPⅢ控制點(diǎn)。試驗(yàn)區(qū)段總長(zhǎng)約12 km，包含2條右偏曲線，1條左偏曲線，圓曲線半徑分別為14 000 m、9 000 m、14 000 m，設(shè)計(jì)超高分別為75 mm、120 mm、85 mm。試驗(yàn)共計(jì)進(jìn)行124次非整平自由設(shè)站測(cè)量，每次設(shè)站測(cè)量時(shí)，全站儀在線路橫向及縱向與水平面之間的角度如圖2所示。

圖2 全站儀非整平狀態(tài)下與水平面的傾角

由圖2可見(jiàn)，對(duì)全站儀非整平狀態(tài)進(jìn)行線路橫向及縱向分解，得到這兩個(gè)方向全站儀與水平面之間的傾角。在線路橫向，由于受曲線超高的影響，傾角變化的幅度較大；以右偏曲線傾角為負(fù)值，左偏曲線傾角為正值，則直線地段的傾角約為0°；75 mm，120 mm及85 mm曲線超高地段的傾角分別約為-2.8°、4.6°及-3.2°，緩和曲線地段的傾角則是從直線到圓曲線之間的平緩過(guò)渡。線路縱向坡度一般不會(huì)太大，以上坡傾角為正值，下坡傾角為負(fù)值，則本試驗(yàn)段在縱向的傾角變化范圍約為-0.2°～0.2°。由上述分析可知，本次試驗(yàn)的124次非整平自由設(shè)站測(cè)量包含了各種軌道測(cè)量工況下的非整平狀態(tài)，具有較好的代表性。

非整平自由設(shè)站下站心坐標(biāo)解算完成后，利用式(13)計(jì)算各CPⅢ控制點(diǎn)的坐標(biāo)殘差，通過(guò)對(duì)每一站所觀測(cè)6～8個(gè)CPⅢ控制點(diǎn)三個(gè)坐標(biāo)分量的殘差進(jìn)行分析，可以對(duì)CPⅢ控制點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行評(píng)價(jià)。對(duì)于變形明顯及移動(dòng)的CPⅢ點(diǎn)，則將其剔除，使其不參與站心三維坐標(biāo)的解算過(guò)程，從而達(dá)到控制測(cè)量精度的目的。表1所示為某次非整平自由設(shè)站所觀測(cè)的7個(gè)CPⅢ控制點(diǎn)全部參與解算后所得的坐標(biāo)殘差情況，點(diǎn)057325、057327、057329及057331的高程殘差均較大，其中點(diǎn)057329的高程殘差最大，且該點(diǎn)東坐標(biāo)、北坐標(biāo)的殘差分別為-30.37 mm，-22.16 mm，也是所有點(diǎn)當(dāng)中最大的，因此可以判定點(diǎn)057329大概率發(fā)生了變形，不應(yīng)參與數(shù)據(jù)解算，應(yīng)當(dāng)做粗差剔除；在未剔除粗差的情況下，計(jì)算得到的站心三維坐標(biāo)的東、北、高為494 550.463 5 m，4 376 136.655 1 m，15.342 4 m，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)中誤差為4.77 mm，3.44 mm，20.52 mm，表明所得的站心三維坐標(biāo)精度很差，不能滿足使用要求。

表1 粗差剔除前的CPⅢ控制點(diǎn)坐標(biāo)分量殘差 mm

由于該站共觀測(cè)了7個(gè)CPⅢ控制點(diǎn)，具有足夠的多余觀測(cè)，因此可將點(diǎn)057329當(dāng)做粗差剔除。對(duì)剩余的6個(gè)CPⅢ控制點(diǎn)數(shù)據(jù)重新計(jì)算，得到的坐標(biāo)殘差見(jiàn)表2所示，可見(jiàn)每個(gè)點(diǎn)在三個(gè)坐標(biāo)分量上的殘差均小于2 mm，說(shuō)明這6個(gè)CPⅢ點(diǎn)的兼容性較好，精度均勻。解算所得的站心三維坐標(biāo)為494 550.467 6 m、4 376 136.658 0 m、15.308 7 m，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)中誤差為0.32 mm、0.24 mm、0.30 mm，表明解算結(jié)果達(dá)到了較高的精度。與未剔除點(diǎn)057329之前的計(jì)算結(jié)果相比，坐標(biāo)中誤差大幅度縮小且均小于0.7 mm，站心三維坐標(biāo)的變化量為-4.1 mm、-2.9 mm、33.7 mm，進(jìn)一步說(shuō)明了點(diǎn)057329不僅造成了站心坐標(biāo)中誤差偏大，同時(shí)也使站心三維坐標(biāo)產(chǎn)生了較大的偏差。

表2 粗差剔除后的CPⅢ控制點(diǎn)坐標(biāo)分量殘差 mm

按照上述方法對(duì)所有124站數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，并保證每一站至少有5個(gè)點(diǎn)參與站心三維坐標(biāo)解算，所得CPⅢ控制點(diǎn)坐標(biāo)殘差的分布情況如圖3所示。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，東坐標(biāo)殘差絕對(duì)值大于2 mm的比例為0.5%，北坐標(biāo)殘差絕對(duì)值大于2 mm的比例為0.7%，高程殘差絕對(duì)值大于2 mm的比例為0.7%。坐標(biāo)殘差分布表明，本次非整平自由設(shè)站試驗(yàn)所采用的CPⅢ控制點(diǎn)整體精度良好。

圖3 CPⅢ控制點(diǎn)殘差分布

如圖4所示，在東坐標(biāo)、北坐標(biāo)及高程三個(gè)軸向上，站心坐標(biāo)的中誤差均未超過(guò)0.7 mm。

圖4 站心坐標(biāo)中誤差分布

《高速鐵路工程測(cè)量規(guī)范》(TB10601—2009)要求在全站儀整平自由設(shè)站的前提下，站心坐標(biāo)三個(gè)軸向中誤差應(yīng)小于0.7 mm，坐標(biāo)殘差應(yīng)小于2 mm，由此可見(jiàn)，在CPⅢ控制網(wǎng)精度良好的情況下，進(jìn)行全站儀非整平自由設(shè)站并采用該方法解算站心三維坐標(biāo)、站心坐標(biāo)中誤差及CPⅢ控制點(diǎn)坐標(biāo)殘差等成果，達(dá)到了整平自由設(shè)站所要求的各項(xiàng)指標(biāo)精度。

5 結(jié)束語(yǔ)

利用全站儀非整平自由設(shè)站的方法，可以省去傳統(tǒng)軌道測(cè)量方法中對(duì)全站儀搬站及精確整平的工作過(guò)程，不僅大幅度提高了軌道測(cè)量的作業(yè)效率，而且降低了對(duì)作業(yè)人員的技能要求，具有巨大的技術(shù)優(yōu)勢(shì)。采用該方法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)在于準(zhǔn)確可靠地解算站心三維坐標(biāo)，并給出相應(yīng)的精度評(píng)定指標(biāo)。鑒于此，給出了非整平自由設(shè)站下站心三維坐標(biāo)解算的理論模型及實(shí)用算法，并利用運(yùn)營(yíng)高速鐵路高精度的CPⅢ控制網(wǎng)進(jìn)行了124站各種線路狀況下的非整平自由設(shè)站測(cè)量試驗(yàn)。測(cè)試結(jié)果表明，該方法能夠適應(yīng)軌道測(cè)量過(guò)程中的各種傾斜狀態(tài)下的數(shù)據(jù)解算，根據(jù)控制點(diǎn)坐標(biāo)殘差能夠發(fā)現(xiàn)并剔除粗差點(diǎn)， 99%的CPⅢ控制點(diǎn)坐標(biāo)殘差均小于2 mm，站心坐標(biāo)東、北、高程三個(gè)方向的中誤差均小于0.7 mm，計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確可靠，滿足相關(guān)規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)，達(dá)到了軌道測(cè)量對(duì)作業(yè)精度的要求。