楊 芳

（長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011）

1 引言

2 研究方法

2014年3月，教育部印發(fā)了《關(guān)于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務(wù)的意見》，將制訂學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展體系成為了當(dāng)前的首要任務(wù)。核心素養(yǎng)是學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過程中，逐步形成的適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力[1]。在數(shù)學(xué)課程領(lǐng)域，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也在研究制訂中。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組的專家提出了六種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析，這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有獨立性，又相互交融，形成了一個有機整體[2]。

2.1 調(diào)查問卷

調(diào)查問卷是由兩部分組成，第一部分主要是考察學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識，由2道題組成。第1題是了解學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想及應(yīng)用范圍的認(rèn)識；第2題是了解學(xué)生認(rèn)為運用數(shù)形結(jié)合思想解題的優(yōu)勢有哪些。第二部分主要是考查學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合解題的能力，根據(jù)數(shù)與形轉(zhuǎn)化的方向可以分為三種類型：一是“由數(shù)及形”，二是“由形及數(shù)”，三是“數(shù)形結(jié)合相互轉(zhuǎn)化”。問卷第3、4題考查由數(shù)及形的解題能力，第5、6題考查由形及數(shù)的解題能力，第7、8題考查學(xué)生“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的能力。

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中極其重要的思想之一，它主要體現(xiàn)了邏輯推理和直觀想象兩種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！皵?shù)形結(jié)合”一詞的出現(xiàn)與華羅庚先生有著密不可分的聯(lián)系。華羅庚先生用一首詞概括了數(shù)形結(jié)合思想：數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休；切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系，莫分離[3]!運用數(shù)形結(jié)合思想解題，能夠?qū)?fù)雜的問題化難為易、化繁為簡，使抽象的問題變得具體化，促進了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解。文章主要調(diào)查研究高中生在運用數(shù)形結(jié)合思想解決集合與函數(shù)部分的現(xiàn)狀，以分析存在的主要問題。

2.2 調(diào)查對象與實施

2017年6月，在太行中學(xué)選取200名高中生進行了問卷調(diào)查。時間為30分鐘，發(fā)放問卷200份，收回200份，有效問卷196份，有效率為98%。

3 調(diào)查結(jié)果分析

根據(jù)學(xué)生回答的情況可知，98%的學(xué)生聽說過數(shù)形結(jié)合思想，67%的學(xué)生認(rèn)為數(shù)形結(jié)合主要解決函數(shù)、幾何以及集合等問題，23%學(xué)生只聽說過數(shù)形結(jié)合但是不知道其應(yīng)用范圍，只有62%的學(xué)生答出數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點是方便計算、可以有助于理解，更好的解題。關(guān)于第二部分高中生運用數(shù)形結(jié)合解題的調(diào)查結(jié)果匯總?cè)绫?所示：

表1 高中生解題正確率統(tǒng)計表

從表1中可以看出學(xué)生運用“數(shù)形結(jié)合”解題的整體水平不高。從統(tǒng)計數(shù)據(jù)也可以看出在解決這三類問題中，數(shù)形結(jié)合相互轉(zhuǎn)化類型的問題最難，其次是由數(shù)及形類型的問題，最容易解決的是由形及數(shù)類型的問題。

3.1 “由數(shù)及形”問題的調(diào)查結(jié)果

第3題的正確率僅為21%，本題主要考查學(xué)生在解決集合相關(guān)運算的解題能力，這是典型的利用圖像求解的題目。在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=x2與y=2x的圖像，然后找其圖像交點的個數(shù)，有3個交點。

主要錯誤類型一：47名學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的方法解題，但由于在作圖過程中沒有精確作圖，或者是只做出了圖像的一部分，只找到2個交點。這種以偏概全、以局部代替整體的做法導(dǎo)致題目解答的錯誤。

主要錯誤類型二：21名學(xué)生利用代數(shù)的方法找特殊數(shù)代值以至于漏掉一些解，導(dǎo)致錯誤。這些學(xué)生沒有考慮到每個集合中的元素都有無數(shù)個，而只列出5個元素。

第4題的正確率是62%。本題是有關(guān)指數(shù)函數(shù)比較大小有關(guān)的題目，主要考察學(xué)生利用函數(shù)圖像來比較大小。主要錯誤類型是學(xué)生對指數(shù)函數(shù)的圖像不清楚，不會畫指數(shù)函數(shù)的圖像，對題中的代數(shù)信息不能準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化為直觀的圖形。有學(xué)生將指數(shù)函數(shù)的圖像畫出了對數(shù)函數(shù)的函數(shù)圖像，以至于出現(xiàn)錯誤。

3.2 “由形及數(shù)”問題的調(diào)查結(jié)果

第5題主要考查學(xué)生由圖像求函數(shù)解析式的問題。在這道題中是分段函數(shù)，所以需要分別求其解析式。有5名學(xué)生將圖像中的值域看成是[0，2]，把點的坐標(biāo)代錯，并且在作圖過程中出現(xiàn)作圖不規(guī)范、作圖不精準(zhǔn)。

第6題主要是根據(jù)已知圖像寫出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，本題的正確率為83%。首先要看圖形對應(yīng)的x軸上的任意一個x是否都有唯一的y與之對應(yīng)，若是，則該圖形是函數(shù)的圖像；若至少有1個x值存在兩個或兩個以上的y與之對應(yīng)，則此圖形一定不是函數(shù)圖像。或者過圖形上任一點作x軸的垂線，若該垂線與圖形無任何其他的公共點，則此圖形是函數(shù)的圖像，否則該圖形一定不是函數(shù)的圖像。其次，還要注意函數(shù)的定義域、值域與圖像中所示的定義域、值域是否一致。在調(diào)查中，主要錯誤類型是學(xué)生將定義域中元素看成是離散的點，函數(shù)的基本定義不理解，區(qū)間概念沒掌握好。

3.3 “數(shù)形結(jié)合相互轉(zhuǎn)化”問題的調(diào)查結(jié)果

第7題主要考查利用數(shù)形結(jié)合的方法比較三類函數(shù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、以及冪函數(shù)的函數(shù)值的大小。有8名學(xué)生將三個函數(shù)分別畫在了三個直角坐標(biāo)系內(nèi)，不能直觀地比較它們的大小。有17名學(xué)生傾向于運用代數(shù)的方法解題，這種方法雖然也可以解得正確答案，但使用圖形會更直觀。

第8題考查利用數(shù)形結(jié)合的思想求函數(shù)解析式，正確率僅為23%。

主要錯誤類型一：有11名學(xué)生在將y=x2+1的圖像畫錯，應(yīng)該是拋物線卻畫成了直線，并且不知道對稱后的函數(shù)解析式是什么。這些學(xué)生對二次函數(shù)的定義以及圖像沒有掌握。利用數(shù)形結(jié)合思想解題時，沒有將給出的已知條件等價轉(zhuǎn)化為圖形語言。

還有6名學(xué)生畫出了圖像，但所設(shè)解析式是二次函數(shù)的一般式，導(dǎo)致結(jié)果錯誤。如果知道對稱后的頂點坐標(biāo)就可以設(shè)二次函數(shù)的頂點式，再找一個點代入就可以得到正確答案。

有部分學(xué)生使用代數(shù)的方法，將對稱后的函數(shù)看成是由y=x2+1向右平移了2個單位，然后根據(jù)平移的性質(zhì)，“上加下減，左加右減”得到最后的答案。這種方法具有一定的局限性，如果換成其他類型的函數(shù)，則這種方法就不適用了。

4 結(jié)論與建議

通過調(diào)查可以看出學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想解題的意識不強。例如，在問卷第3題中有部分學(xué)生采用代數(shù)方法解題，以至出現(xiàn)錯誤。因此，在教學(xué)中教師要注重對數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透。例如在講解集合時，教師可以借助數(shù)軸、韋恩圖等來講授集合的有關(guān)概念與相關(guān)運算，向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想。在學(xué)習(xí)函數(shù)時可以通過圖像的直觀性來講解函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、以及冪函數(shù)的性質(zhì)，以強化學(xué)生利用圖像來掌握基本概念。