張洪飛，閆守成

1 引言

曲軸扭轉(zhuǎn)固有特性分析是扭振減振器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，當(dāng)前較成熟分析方法包括基于有限元模型和基于集總參數(shù)模型兩種模態(tài)分析法。前者為簡化處理，將無限個(gè)自由度實(shí)體模型經(jīng)單元網(wǎng)格劃分簡化成有限個(gè)自由度有限元模型，是實(shí)際結(jié)構(gòu)和物質(zhì)數(shù)學(xué)表示方法，有限元分析方法是目前工程分析的主要方法[1]。后者實(shí)際形態(tài)很復(fù)雜，每個(gè)軸段都是即有慣量又有彈性振動(dòng)體，這樣數(shù)學(xué)模型無法處理。依照經(jīng)典振動(dòng)理論，按照振動(dòng)特性不變?cè)瓌t，將一個(gè)實(shí)際曲軸簡化成可進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算理想系統(tǒng)，假設(shè)曲軸只有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量無彈性變形的一些集中質(zhì)量和一些只有彈性而無轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的彈性軸段組成。

對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)研究：文獻(xiàn)[2]搭建發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸平面模型，采用傳遞矩陣法獲得曲軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和彎曲振動(dòng)解；文獻(xiàn)[3]搭建曲軸三維空間模型，采用傳遞矩陣法獲得曲軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)、軸向振動(dòng)和兩個(gè)橫向振動(dòng)的解；文獻(xiàn)[4]分析基于實(shí)模態(tài)靈敏度分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)修改原理用于扭振控制；文獻(xiàn)[5]搭建試驗(yàn)臺(tái)對(duì)比安裝與否減振效果進(jìn)行對(duì)比，提出減振措施。

以某四缸汽油發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸軸系為例，分別用基于有限元模型和集總參數(shù)模型模態(tài)分析法計(jì)算曲軸軸系扭轉(zhuǎn)固有特性。同時(shí)明確基于有限元及集總參數(shù)模型進(jìn)行曲軸扭轉(zhuǎn)固有特性分析關(guān)鍵點(diǎn)，基于完整曲軸有限元模型，特別是活塞連桿機(jī)構(gòu)的幾種等效方法以及集總參數(shù)模型中曲軸各段扭轉(zhuǎn)剛度的有限元全模型計(jì)算方法。對(duì)兩種方法獲得曲軸的扭轉(zhuǎn)固有頻率進(jìn)行對(duì)比。

2 曲軸軸系有限元模型模態(tài)分析

2.1 曲軸有限元模型

應(yīng)用Pro/Engineer中建立某款直列四缸汽油機(jī)曲軸模型，導(dǎo)入ANSYS建立有限元模型，進(jìn)行模態(tài)分析和各軸段扭轉(zhuǎn)剛度求解。在建立有限元模型前要對(duì)曲軸的三維實(shí)體數(shù)字模型進(jìn)行簡化，將活塞連桿組以及飛輪總成等結(jié)構(gòu)刪除，在模態(tài)分析中用Mass點(diǎn)代替[6]。曲軸軸系相關(guān)參數(shù)，如表1、表2及圖1所示。

表1 曲軸軸系的材料參數(shù)Tab.1 Material Parameters of Crankshaft System

表2 曲軸軸系的相關(guān)參數(shù)Tab.2 Parameters of Crankshaft System（質(zhì)量 m/kg，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I/kg·m2，長度 /mm）

圖1 簡化后的曲軸軸系Fig.1 Simplified Crankshaft System

為便于計(jì)算截面扭轉(zhuǎn)角度，預(yù)先將曲軸橫向切分為若干段，各截面，如圖2所示。截面1為曲軸上皮帶輪輪轂鍵槽橫向中央截面，截面 2、4、6、8、10 為主軸頸中央截面，截面 3、5、7、9 為連桿軸頸中央截面，截面11為曲軸與飛輪的接觸面。

圖2 曲軸分段示意圖Fig.2 Schematic Diagram of the Crankshaft

采用8節(jié)點(diǎn)Solid45單元，對(duì)主軸頸和曲柄軸頸用精度為1網(wǎng)格劃分；平衡塊和曲拐部分用精度為3網(wǎng)格劃分，共得到48794個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖3所示。

圖3 曲軸軸系有限元模型Fig.3 Finite Element Model of Crankshaft System

將所有節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為以曲軸中心線（z軸）為軸線柱坐標(biāo)，便于后續(xù)施加轉(zhuǎn)矩載荷和徑向約束。將活塞連桿組、飛輪總成等效為相應(yīng)集中質(zhì)量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；在圖3中A1～A4、B等硬點(diǎn)所生成節(jié)點(diǎn)上創(chuàng)建相應(yīng)等效Mass單元。將各Mass單元與其附近節(jié)點(diǎn)形成一剛性區(qū)域，確保Mass單元等效集中質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量正常參與曲軸動(dòng)力學(xué)行為[7]。

2.2 模態(tài)分析

在有限元模型基礎(chǔ)上，施加約束，進(jìn)行軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)分析。實(shí)際運(yùn)行時(shí)受主軸承對(duì)曲軸主軸頸支撐作用。軸系扭轉(zhuǎn)固有頻率遠(yuǎn)小于彎曲固有頻率，在分析扭轉(zhuǎn)固有特性時(shí)可對(duì)有限元模型進(jìn)行簡化。由于只分析扭轉(zhuǎn)固有特性，將每個(gè)主軸頸徑向施加約束，既能略去其他模態(tài)，又能得到準(zhǔn)確的扭轉(zhuǎn)固有頻率[8]。

采用ANSYS中模態(tài)分析法，分析1 Hz以上（以濾去剛體轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)）5階模態(tài)。所分析四缸汽油發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸系第一、二階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率分別為477 Hz、1214 Hz。其中，第一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)節(jié)點(diǎn)在飛輪前端的主軸頸上并靠近飛輪，陣型正常。

3 集總參數(shù)模型模態(tài)分析

3.1 集總參數(shù)模型

直列四缸發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸簡化成六自由度當(dāng)量軸盤系統(tǒng)，當(dāng)量盤只包含轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不包含剛度，當(dāng)量軸只提供剛度不包含轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。以各軸頸中央截面為界將軸系劃分成若干段，每一段用一個(gè)集中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量代替連續(xù)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[9]。剛度即是每個(gè)連續(xù)質(zhì)量之間實(shí)際剛度，集總參數(shù)模型各質(zhì)量塊轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和各質(zhì)量塊之間剛度轉(zhuǎn)化，如圖4所示。以圖4（a）所示各主軸頸中央截面為界將軸系劃分成六段，各段轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)應(yīng)圖 4（b）所示 I1～I(xiàn)6。圖 4（b）所示各自由度之間扭轉(zhuǎn)剛度 K1～K5分別為圖 3 中截面 1～3、3～5、5～7、7～9、9～11 之間曲軸軸段的扭轉(zhuǎn)剛度。

圖4 多自由度集總參數(shù)模型的簡化Fig.4 Simplification of the Lumped Parameter Model

曲軸六自由度簡化模型，自由振動(dòng)矩陣方程：

求解式（1）關(guān)鍵在于集總參數(shù)模型中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算。

3.2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算

式中：d m—微質(zhì)量；r—微質(zhì)量到回轉(zhuǎn)半徑距離；m—物體的總質(zhì)量。

基于有限元模型求得各零件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，曲軸各段質(zhì)量塊模型，如圖5所示。

圖5 各質(zhì)量塊模型Fig.5 Each Mass Block Model

計(jì)算得到曲軸各軸段轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，如表3所示。

表3 曲軸軸系的當(dāng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Tab.3 Equivalent Moment of Inertia of Crankshaft（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I/10-3kg·m2）

3.3 扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算

軸段扭轉(zhuǎn)剛度：扭轉(zhuǎn)軸段使其旋轉(zhuǎn)單位角度（1rad）時(shí)所需要的扭矩[10]，則：

式中：M—扭矩；Δφ—軸兩端相對(duì)扭轉(zhuǎn)角度；G—軸段材料剪切彈性模量；Jp—截面極慣性矩；L—軸段長度。

曲軸各軸段扭轉(zhuǎn)剛度是一個(gè)很難確定參數(shù)，可采用經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行推算，如西馬年科公式、卡特公式，如式（4）、式（5）所示。

采用直接法和間接法兩種方法計(jì)算曲軸各軸段扭轉(zhuǎn)剛度。如圖2曲軸分段，直接法為計(jì)算曲柄軸頸中央截面3、5、7、9及1、11 截面轉(zhuǎn)角，直接得到 1～3、3～5、5～7、7～9、9～11 軸段兩端截面相對(duì)轉(zhuǎn)角，進(jìn)而得到相應(yīng)軸段扭轉(zhuǎn)剛度；間接法為計(jì)算主軸頸中央截面 2、4、6、8、10 及 1、11 截面轉(zhuǎn)角，分別求得 1～2、2～4、4～6、6～8、8～10、10～11軸段兩端截面相對(duì)轉(zhuǎn)角，進(jìn)而得到相應(yīng)軸段扭轉(zhuǎn)剛度，由于平衡塊對(duì)扭轉(zhuǎn)剛度影響可忽略，且 2～4、4～6、6～8、8～10軸段分別關(guān)于3、5、7、9截面對(duì)稱，按照剛度串聯(lián)法求得2～3、3～4、4～5、5～6、6～7、7～8、8～9、9～10 軸段扭轉(zhuǎn)剛度，再將相關(guān)軸段串聯(lián)得到 1～3、3～5、5～7、7～9、9～11 軸段扭轉(zhuǎn)剛度。直接法扭轉(zhuǎn)剛度求解，如表4所示。間接法求解，如表5所示。

表4 直接法計(jì)算曲軸軸段扭轉(zhuǎn)剛度Tab.4 Calculation of Torsional Stiffness of Crankshaft by Direct Method（轉(zhuǎn)角θ/e-4rad，力矩 M/N·m，剛度K/105N·m·rad-1）

表5 間接法計(jì)算曲軸軸段扭轉(zhuǎn)剛度Tab.5 Calculation of Torsional Stiffness of Crankshaft by Indirect Method（轉(zhuǎn)角θ/e-4rad，力矩 M/N·m，剛度K/105N·m·rad-1）

兩種方法扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)比，如表6所示。各軸段扭轉(zhuǎn)剛度相對(duì)誤差均在6%以內(nèi)，具有很好吻合性。

表6 直接法與間接法扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab.6 Comparison of Direct and Indirect Methods（剛度 K/105N·m·rad-1）

3.4 集總參數(shù)模型求解

設(shè)式（1）特解形式為：

則求解式（1）轉(zhuǎn)換成求矩陣I-1K-λE的特征向量與特征值問題。

通過計(jì)算得到集總參數(shù)模型轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)和各軸段扭轉(zhuǎn)剛度參數(shù)，用MATLAB進(jìn)行矩陣I-1K-λE特征值與特征向量運(yùn)算，即得集總參數(shù)模型中各階次扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率和相應(yīng)階次陣型結(jié)果?；谥苯臃ㄅc間接法剛度計(jì)算集總參數(shù)模型前二階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率，如表7所示。

表7 基于兩種算法集總參數(shù)模型模態(tài)頻率Tab.7 Modal Frequency

由表7可知，基于直接法與間接法剛度計(jì)算集總參數(shù)模型前二階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率相差很小，均在3%以內(nèi)，特別是兩種方法扭轉(zhuǎn)一階模態(tài)頻率誤差僅為0.621%，證明兩種剛度計(jì)算方法吻合性。

由于直接法剛度集總參數(shù)模型無任何假設(shè)條件，取該方法結(jié)果為最終集總參數(shù)模型模態(tài)分析結(jié)果，集總參數(shù)模型各質(zhì)量塊相對(duì)振幅，如表8所示。陣型，如圖6所示。

表8 集總參數(shù)模型各質(zhì)量塊相對(duì)振幅Tab.8 Relative Amplitude of Each Mass

圖6 集總參數(shù)模型振型圖Fig.6 Vibration Pattern

4 曲軸扭轉(zhuǎn)固有特性對(duì)比

分別采用有限元模型與集總參數(shù)模型模態(tài)分析方法結(jié)果對(duì)比，如表9所示。

表9 扭轉(zhuǎn)固有特性分析方法結(jié)果對(duì)比Tab.9 Comparison of Analytical Results

由表9可知，兩種分析方法結(jié)果相對(duì)誤差僅在2%以內(nèi)，基于集總參數(shù)模型與有限元模型的扭轉(zhuǎn)固有特性分析結(jié)果完全一致，兩種分析方法是統(tǒng)一的。

5 結(jié)論

對(duì)某四缸汽油發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸同時(shí)建立有限元模型和集總參數(shù)模型，分別計(jì)算曲軸扭轉(zhuǎn)固有頻率，對(duì)集總參數(shù)模型中曲軸各段扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算方法進(jìn)行分析。結(jié)果表明：

（1）基于連桿軸頸中央截面分段直接剛度計(jì)算法和基于連桿軸頸和主軸頸中央截面分段然后串聯(lián)間接法兩種途徑計(jì)算曲軸各段扭轉(zhuǎn)剛度一致性好，精度滿足工程要求；前二階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率相差很小，均在3%以內(nèi)。

（2）基于集總參數(shù)模型與有限元模型的扭轉(zhuǎn)固有特性分析結(jié)果完全一致，兩種分析方法結(jié)果相對(duì)誤差僅在2%以內(nèi)，兩種方法是統(tǒng)一的。

（3）兩種分析方法及結(jié)果一致性，為同類設(shè)計(jì)研究及扭轉(zhuǎn)減振研究提供可靠固有特性分析方法。