狄宏規(guī)，周順華，何 超，肖軍華，羅 喆

(同濟(jì)大學(xué) 道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 201804)

近年來，我國軟土地區(qū)(如上海、南京等城市)地鐵隧道的長期沉降問題逐步凸顯，不但影響線路的運(yùn)營，而且增加養(yǎng)護(hù)維修費(fèi)用[1-4]?，F(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)表明，運(yùn)營后長期車載引起的地基附加沉降不可忽視[5]。交通動(dòng)荷載誘發(fā)的飽和軟土地基變形的分析，無論通過室內(nèi)單元試驗(yàn)的應(yīng)力路徑加載還是基于本構(gòu)理論的數(shù)值分析，動(dòng)應(yīng)力的求解都是分析問題的基礎(chǔ)[6]。

眾多學(xué)者對(duì)地面交通荷載引起的地基動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)問題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[7]將交通荷載簡化為移動(dòng)荷載，將路堤系統(tǒng)簡化為Euler-Bernoulli梁，得到地面交通荷載引起的彈性地基內(nèi)部動(dòng)應(yīng)力解答。文獻(xiàn)[6]通過引入勢(shì)函數(shù)和Helmholtz代換，得到地表承受矩形分布的豎向與水平向移動(dòng)荷載時(shí)三維飽和地基動(dòng)應(yīng)力的基本解。文獻(xiàn)[8]采用傳遞矩陣法建立層狀黏彈性路基土動(dòng)力響應(yīng)力學(xué)分析模型，探討交通荷載下路基土中動(dòng)應(yīng)力的響應(yīng)特征。文獻(xiàn)[9]基于移動(dòng)集中點(diǎn)荷載作用下的公路地基附加動(dòng)應(yīng)力解，采用數(shù)值積分方法計(jì)算移動(dòng)圓形均布荷載下公路地基的附加動(dòng)應(yīng)力。對(duì)于地下鐵路隧道-土體系統(tǒng)的車致動(dòng)力響應(yīng)問題，國內(nèi)外學(xué)者已建立較多的分析模型，如嵌入的歐拉梁模型[10-12]、Pip in Pip(PiP) 模型[13-14]、有限元-邊界元模型[15-16]、2.5維有限元-無限元模型[17]以及2.5維有限元模型[18-20]，但上述研究多側(cè)重地下鐵路行車引起的環(huán)境振動(dòng)響應(yīng)，對(duì)于車致地基動(dòng)應(yīng)力的研究較少。文獻(xiàn)[21]采用有限元法分析地鐵盾構(gòu)隧道車致地基動(dòng)應(yīng)力的影響范圍，但尚未考慮盾構(gòu)隧道壁后注漿層對(duì)土體動(dòng)應(yīng)力的影響。文獻(xiàn)[22]在PiP模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮盾構(gòu)隧道的壁后注漿層，獲得固定簡諧荷載作用下盾構(gòu)隧道飽和地基動(dòng)應(yīng)力解，但尚未考慮真實(shí)的移動(dòng)地鐵列車荷載。文獻(xiàn)[23]對(duì)上海地鐵二號(hào)線某區(qū)間隧道斷面?zhèn)让娴能囍峦羷?dòng)應(yīng)力和孔壓進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試，但受測(cè)試條件的限制，無法給出隧道底部的土動(dòng)應(yīng)力和孔壓值。總體而言，目前對(duì)于地鐵隧道車致地基動(dòng)應(yīng)力的認(rèn)識(shí)還有待進(jìn)一步深化。

本文在文獻(xiàn)[22]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮移動(dòng)地鐵車輛荷載，建立車輛-隧道-土體系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)半解析模型?；谠撃Ｐ?，探討飽和黏性土地基車致動(dòng)應(yīng)力的時(shí)空分布特征，研究結(jié)果可為移動(dòng)車載作用下飽和土體單元應(yīng)力分析及車載累積沉降研究等提供參考。

1 地基動(dòng)應(yīng)力模型

1.1 模型的簡化

盾構(gòu)隧道襯砌和壁后注漿層采用無限長的Flügge雙層圓柱殼模擬，殼體為均質(zhì)、各向同性、線彈性材料。飽和地基采用中空?qǐng)A形土柱模擬，土體視為Biot飽和多孔介質(zhì)，如圖1所示。地基圓柱體內(nèi)徑等于雙層殼(襯砌和注漿層)的半徑，外徑趨于無窮大。

圖1 殼柱模型及坐標(biāo)系

1.2 模型的耦合求解

將襯砌與注漿層視為Flügge雙層圓柱殼，其運(yùn)動(dòng)微分方程如下。

軸向：

( 1 )

切向：

( 2 )

徑向：

( 3 )

式中：R為雙層圓柱殼的半徑；ms為雙層殼的質(zhì)量，ms=ρ1h1+ρ2h2，ρ1和ρ2分別為襯砌和注漿層的線密度，h1和h2分別為襯砌和注漿層的厚度；u、v、w分別為殼體中面沿z、θ、r方向的位移；qz、qθ和qr分別為殼體中面沿z、θ、r方向的凈應(yīng)力。式( 1 )～式( 3 )中其他參數(shù)計(jì)算表達(dá)式為

( 4 )

將土體視為飽和多孔介質(zhì)，Biot波動(dòng)方程[14]為

( 5 )

式中：ui、wi分別為土骨架位移分量和流體相對(duì)于土骨架的位移分量；i,j=1，2，3;λ、μ為土骨架的Lamé常數(shù)；α、M分別為表征土顆粒和孔隙流體壓縮性的常數(shù)；b=η/kd，為反映黏性耦合的參數(shù)，kd為土的動(dòng)力滲透系數(shù)；ρb=n0ρf+(1-n0)ρs，n0為土體的孔隙率，ρf、ρs分別為流體和土骨架密度；m=ρf/n0。

均質(zhì)飽和多孔介質(zhì)的本構(gòu)方程為

( 6 )

式中：τij為土體單元總應(yīng)力；e=ui,i為土骨架的體積應(yīng)變；εij=(ui,j+uj,i)/2，為土骨架應(yīng)變；δij為Kronecker符號(hào)；Pf為孔隙水壓力;ζ=-wi,i。

定義函數(shù)f(z,t)關(guān)于坐標(biāo)z和時(shí)間t的雙重Fourier變換對(duì)為

( 7 )

式中：ω為角頻率；ξ為波數(shù)；“～”表示變量為頻率-波數(shù)域中的量。

根據(jù)Flügge雙層圓柱殼理論求解獲得襯砌殼體應(yīng)力和位移的矩陣表達(dá)式，并根據(jù)Helmholtz矢量分解理論求解Biot波動(dòng)方程，獲得含待定系數(shù)的土體應(yīng)力和位移表達(dá)式，具體求解過程可參見文獻(xiàn)[22]。

若在襯砌內(nèi)表面(z=0 m、θ=0°)處作用一個(gè)以速度v0水平移動(dòng)的單位簡諧荷載eiω0t(圖1)，則該荷載在z、θ、r方向產(chǎn)生的應(yīng)力分量可以描述成

( 8 )

式中：δ(z-v0t)和δ(θ)為狄拉克δ函數(shù)。

對(duì)式( 8 )進(jìn)行雙重Fourier變換，則該荷載在頻率-波數(shù)域內(nèi)的應(yīng)力可寫為

( 9 )

式中：n為環(huán)向模態(tài)數(shù)。

殼-柱模型的相關(guān)假定為：

(1)襯砌殼體中性面的應(yīng)力等于襯砌內(nèi)外表面應(yīng)力的差值。

(2)距隧道中心無限遠(yuǎn)處土體位移衰減為0。

(3)襯砌與地基土體交界面位移與應(yīng)力均協(xié)調(diào)。

(4)隧道襯砌不透水，隧道與土體界面的孔隙水壓力法向?qū)?shù)為0。

結(jié)合以上假定，即可確定含四個(gè)未知系數(shù)的向量E為

(10)

待定系數(shù)確定后，即可得到不同環(huán)向模態(tài)數(shù)n下任意位置處土體的應(yīng)力為

(11)

通過模態(tài)疊加和Fourier逆變換，可得單位簡諧荷載作用下時(shí)間-空間域內(nèi)任意位置處土體的應(yīng)力

(12)

進(jìn)一步將地鐵列車荷載F簡化為一系列以恒速v0移動(dòng)的輪載Pm(此處僅給出2節(jié)車)，如圖2所示。

則作用在隧道內(nèi)的移動(dòng)列車荷載F可寫成

(13)

(14)

圖2 地鐵列車荷載模型

式中：N為車廂數(shù)量；Pm為地鐵列車的軸重；wa為相鄰兩組輪對(duì)之間的距離；wb為第二組和第三組輪對(duì)之間的距離；lk為列車長度；ld為第一個(gè)列車荷載到觀察點(diǎn)之間的距離。

對(duì)式(13)進(jìn)行關(guān)于變量z、t的雙重Fourier變換，可得列車荷載在頻域-波數(shù)域內(nèi)的表達(dá)式

(15)

(16)

結(jié)合式(12)、式(15)、式(16)，借助Matlab編制程序即可快速計(jì)算地鐵隧道車致地基動(dòng)應(yīng)力。為便于后續(xù)分析，將圖1中柱坐標(biāo)系(r,θ,z)中的動(dòng)應(yīng)力τ′轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)系(x,y,z)中的動(dòng)應(yīng)力τ，轉(zhuǎn)換公式為

τ=βτ′βT

(17)

式中

2 地基附加動(dòng)應(yīng)力分布特征

采用以上模型，基于上海地鐵列車實(shí)際運(yùn)行速度和隧道、注漿層、飽和黏性土體的參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，分析移動(dòng)荷載作用下下方土體動(dòng)應(yīng)力的空間分布和時(shí)間變化特征。表1～表4分別為隧道襯砌、注漿層、飽和土體和車輛的計(jì)算參數(shù)。其中，襯砌和飽和土體的部分計(jì)算參數(shù)參考文獻(xiàn)[14]，注漿層的計(jì)算參數(shù)參考文獻(xiàn)[24]，車輛參數(shù)同文獻(xiàn)[25]。由于隧道位于淤泥質(zhì)粉質(zhì)黏土中，淤泥質(zhì)黏土的動(dòng)力滲透系數(shù)kd一般在10-10m2數(shù)量級(jí)，流體的動(dòng)力黏滯系數(shù)η取0.01 Pa·s[26]，故參數(shù)b取108N·s/m4。計(jì)算時(shí)車輛荷載移動(dòng)速度v0=60 km/h。

表1 隧道襯砌計(jì)算參數(shù)

表2 壁后注漿層計(jì)算參數(shù)

表3 飽和地基土體計(jì)算參數(shù)

表4 車輛計(jì)算參數(shù)

2.1 空間分布特征

圖3為注漿層底部土體附加動(dòng)應(yīng)力軸向分布圖。從圖3可以看出，在3個(gè)土體正應(yīng)力中，豎向正應(yīng)力τyy幅值最大，τxx和τzz幅值較接近，約為0.5τyy；隧道底部處，剪應(yīng)力τxy和τxz等于0；在車體下方，除最后一節(jié)車廂外，土體孔壓Pf基本為正值。這主要是由于在單個(gè)移動(dòng)荷載作用下，飽和黏性土體中的孔隙水受到擠壓向荷載前方移動(dòng)，導(dǎo)致荷載前下方孔隙水壓力為正，荷載后下方孔隙水壓力為負(fù)。前后輪載的疊加效應(yīng)導(dǎo)致前5節(jié)車廂下方正孔隙水壓力占優(yōu)，整體呈現(xiàn)孔隙水壓力為正，而第6節(jié)車廂2個(gè)轉(zhuǎn)向架下方及最后一個(gè)輪載后方負(fù)孔隙水壓力占優(yōu)。

圖3 地基動(dòng)應(yīng)力軸向分布圖

圖4和圖5分別為隧道底部土體動(dòng)應(yīng)力沿深度和沿水平向的分布曲線，其中，衰減比為應(yīng)力分量(孔隙水壓力分量)與其最大值之比。正應(yīng)力、剪應(yīng)力、孔隙水壓力分別取自圖3中第4、第22、第4輪載正下方(自右向左)。從圖4可以看出，正應(yīng)力中τxx沿深度衰減最快，τzz次之，τyy衰減最慢。隨著深度的增加，剪應(yīng)力先增大后減小，在注漿層以下約0.5 m處達(dá)到最大值；在隧道下方9 m處，地基動(dòng)應(yīng)力衰減為最大值的20%及以下。從圖5可以看到，除剪應(yīng)力τxy外，隨著與隧道中心線水平距離的增加，其他動(dòng)應(yīng)力分量幅值逐漸減小，當(dāng)水平距離增至4 m時(shí)，土體動(dòng)應(yīng)力衰減為0。

圖4 隧底土體動(dòng)應(yīng)力沿深度分布及衰減比曲線

圖5 隧底土體動(dòng)應(yīng)力沿水平向衰減曲線

2.2 時(shí)間變化特征

進(jìn)一步分析荷載移動(dòng)線下方土單元的應(yīng)力狀態(tài)，由于該平面內(nèi)土體剪應(yīng)力τxy和τxz始終為0，可視x方向的正應(yīng)力始終為中主應(yīng)力，若忽略中主應(yīng)力的影響，則只需要分析y-z平面上的應(yīng)力狀態(tài)?？紤]單節(jié)車廂多個(gè)輪載的情況(圖2)，荷載以速度v0=60 km/h從O點(diǎn)左側(cè)水平距離60 m的位置移動(dòng)到O點(diǎn)再移動(dòng)至O點(diǎn)右側(cè)水平距離為60 m的位置，觀察O點(diǎn)及其下方3 m范圍內(nèi)土單元?jiǎng)討?yīng)力狀態(tài)。

圖6 單節(jié)車荷載下不同深度處土體動(dòng)應(yīng)力時(shí)程曲線

圖6為不同深度處土體動(dòng)應(yīng)力時(shí)程曲線。從圖6可以看出，單節(jié)車廂荷載作用下O點(diǎn)處的動(dòng)應(yīng)力峰值小于圖3中6節(jié)車廂荷載作用下O點(diǎn)處的動(dòng)應(yīng)力峰值，表明車輛荷載的多輪載疊加效應(yīng)明顯。與圖6(a)O點(diǎn)處不同，圖6(b)O點(diǎn)下方3 m處單節(jié)車廂(4個(gè)輪對(duì))的4個(gè)峰值點(diǎn)合并為2個(gè)，即隨著深度的增加，多輪載疊加效應(yīng)明顯減弱，且該點(diǎn)應(yīng)力路徑基本關(guān)于橫軸對(duì)稱，如圖7所示。以上分析表明，本文提出的地鐵盾構(gòu)隧道車致動(dòng)應(yīng)力計(jì)算模型不僅能獲得動(dòng)應(yīng)力的空間分布特征，用于車載累積沉降計(jì)算；也可獲得不同位置處土體單元?jiǎng)討?yīng)力的時(shí)程曲線與應(yīng)力路徑，便于土體應(yīng)力狀態(tài)分析。由于該模型為半解析模型，計(jì)算效率高，若結(jié)合飽和半空間2.5D動(dòng)力格林函數(shù)[27]，還可獲得飽和半空間隧道-土體系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。

圖7 單節(jié)車荷載下O點(diǎn)下方3 m處土單元應(yīng)力路徑

3 結(jié)論

(1)本文提出的半解析模型能較好模擬系統(tǒng)的動(dòng)力相互作用，可快速計(jì)算和分析車致動(dòng)應(yīng)力的時(shí)空分布特征。

(2)土體豎向正應(yīng)力τyy幅值最大，τxx和τzz幅值接近，約為0.5τyy；在隧道底部處剪應(yīng)力τxy和τxz等于0；車輛下方孔壓Pf基本為正值(最后一節(jié)車廂除外)。

(3)土體正應(yīng)力及孔隙水壓力幅值隨著深度增加而減小，正應(yīng)力中τxx沿深度衰減最快，τyy衰減最慢，剪應(yīng)力τyz幅值隨著深度的增加先增大后減小，在注漿層以下約0.5 m處達(dá)到最大值。

(4)在隧道下方9 m處，地基動(dòng)應(yīng)力衰減為最大值的20%及以下；隨著深度的增加，多輪載疊加效應(yīng)減弱。

(5)除剪應(yīng)力τxy外，其他動(dòng)應(yīng)力分量隨著與隧道中心線水平距離的增加而減小，當(dāng)水平距離增至4 m時(shí)，土體動(dòng)應(yīng)力衰減為0。