陳誠，馬希直

(南京航空航天大學(xué) 機電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引言

波箔氣體軸承作為一種新型的氣體軸承，由于其在穩(wěn)定性和承載能力方面的優(yōu)越性，已經(jīng)越來越多地應(yīng)用于各種微型燃機中。但國內(nèi)關(guān)于氣體軸承轉(zhuǎn)子在高速下的運轉(zhuǎn)性能，尤其是非線性振動特性的研究還很欠缺。此前，Kyuho Sim和Yong-Bok Lee等[1]建立了波箔受力模型并用之求解箔片靜剛度。P.Bonello 和H.M.Pham[2]研究了密封氣膜力激勵下的高速離心壓縮機Jeffcott轉(zhuǎn)子的非線性振動和分岔現(xiàn)象，給出了基于轉(zhuǎn)速和壓差參數(shù)變化的轉(zhuǎn)子橫向分岔圖。Yong-Bok Lee[3]等對彈性波箔軸承支承的柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)行為進行了數(shù)值分析，并且分析了彈性摩擦力對轉(zhuǎn)子動力學(xué)運動的影響。徐方程[4]分析了基于庫倫摩擦效應(yīng)的氣體軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的靜特性和穩(wěn)定性，并對軸承性能和轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性進行了實驗研究。

本文主要針對波箔氣體徑向軸承支承轉(zhuǎn)子的運動情況，建立轉(zhuǎn)子局部受力模型，模擬在氣膜力和摩擦力共同作用下轉(zhuǎn)子的振動情況。對比在不同轉(zhuǎn)速下的轉(zhuǎn)子軸心軌跡和Poincaré截面圖，觀察轉(zhuǎn)子在升速過程中出現(xiàn)的混沌運動特征，據(jù)此總結(jié)出轉(zhuǎn)子非線性運動的規(guī)律，為轉(zhuǎn)子動力學(xué)的后續(xù)研究提供理論依據(jù)。

1 轉(zhuǎn)子受力模型

以波箔徑向軸承支承的轉(zhuǎn)子段為例，建立其運動模型。該段的橫截面如圖1所示。圖中φ表示軸頸相對于坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角，h為氣膜厚度，ω表示軸頸轉(zhuǎn)速。轉(zhuǎn)子集中質(zhì)量為m，x方向和y方向的軸承主剛度分別為kx和ky，交叉剛度為kxy，軸承主阻尼分別為cx和cy，交叉阻尼為cxy。

1.1 波箔軸承氣膜力

氣體介質(zhì)在軸承間隙中的流動服從非定?？蓧嚎s流體Reynolds方程：

(1)

式中，Rb為軸承內(nèi)徑，Rj為轉(zhuǎn)子直徑，e和θ分別為軸頸平衡位置的位移和轉(zhuǎn)角，ε為軸頸偏心率，φ為周向位置坐標(biāo)，z為軸向位置坐標(biāo)，P為氣膜壓力，ρ為氣體密度，μ為氣體粘度；Uj=Rjωj，Ub=Rbωb，ω=ωj+ωb，軸承間隙c=Rb-Rj。

由于軸承段集中為點質(zhì)量，實際上軸承段的寬徑比<1，因此可以用短軸承假設(shè)模型，該模型下軸向壓力梯度忽略不計。此外，由于波箔軸承工作過程中氣膜形成前后氣體的總體積變化均不大，因此可以忽略氣體可壓縮性的影響。由此簡化的軸承氣膜力的Reynold方程可以表示為：

(2)

在假設(shè)軸承泄油端壓力為0的條件下對方程(2)沿軸承表面積分，得到非線性氣膜力表達式：

(3)

其中:

式中：R表示該段半徑，l表示長度。通過坐標(biāo)變換，可將徑向和周向的氣膜力分量Fr和Ft變換到x、y方向上，為：

(4)

得到氣膜力在x、y兩個方向的分量為:

(5)

1.2 波箔軸承箔片摩擦力

波箔軸承的箔片幾何結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 波箔片幾何結(jié)構(gòu)示意圖

圖中波箔片在載荷p的作用下會發(fā)生變形，由于箔片一端固定在軸承殼體上，另一端自由的搭在軸承內(nèi)表面上，因此在受載荷作用時，自由端處箔片會向兩側(cè)滑移。滑移時的摩擦力模型如圖3所示。

如果相鄰兩個箔片受到的壓力分別為Wi和Wi+1，并在豎直方向產(chǎn)生vi和vi+1的位移，則箔片左右兩邊的支反力NL和NR分別為：

圖3 波箔片摩擦模型示意圖

(6)

則平箔片和波箔片之間的摩擦力為ηWi,波箔片與軸承殼體之間的摩擦力為u(NRi+NLi+1)，η和u均為摩擦系數(shù)。因為載荷均布，因此每個節(jié)點的W相等，因此總摩擦力在x,y方向上的分力分別為:

(7)

1.3 轉(zhuǎn)子局部運動微分方程

設(shè)轉(zhuǎn)子的位移分別為x、y，則單元的局部運動微分方程為:

(8)

式中，F(xiàn)x、Fy為氣膜力分量，Px、Py為箔片摩擦力分量。

2 數(shù)值計算方法

對于如式(8)這樣含非線性項的非齊次常微分方程組，采用4階變步長Runge-Kutta法對其進行求解。該方法求解思路如下：高階常微分方程的初值問題可以化為一階微分方程組的一般形式:

(9)

在計算函數(shù)值Y時，首先分別求出從Y(t0)點出發(fā)時Yn的值,其中h為計算步長。則4階Runge-Kutta法的計算公式為:

(10)

如上所述，下一個函數(shù)值Yn+1由當(dāng)前的值Yn加上步長h與估算斜率的乘積共同決定，估算斜率是K1，K2，K3，K4的加權(quán)平均。其中，K1是時間段開始時的斜率；K2是時間段中點的斜率，通過歐拉法采用斜率K1來決定Y在點tn+h/2處的值；K3也是中點的斜率，是采用斜率K2來決定Y值；K4是時間段終點的斜率，其Y值由K3決定。則每步的誤差是h5階，總的累計誤差為h4階。

3 轉(zhuǎn)子非線性動力學(xué)計算結(jié)果

運用MATLAB軟件編制4階變步長Runge-Kutta法的求解程序，對轉(zhuǎn)子的運動進行數(shù)值求解。由于波箔軸承是動壓軸承，工作時環(huán)境壓力為1個大氣壓。此外，波箔軸承工作時是由氣膜支承轉(zhuǎn)子，因此轉(zhuǎn)子在工作過程中的溫升較小，波箔軸承支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的工作溫度一般在-20 ℃～100 ℃之間，本文取其中間值40 ℃時的氣體粘度、氣膜剛度和阻尼。系統(tǒng)的一階臨界轉(zhuǎn)速經(jīng)預(yù)先計算得出:ω1=5 582 r/min。

圖4為轉(zhuǎn)速ω=3 500 r/min時轉(zhuǎn)子的軸心軌跡圖和Poincaré截面圖。由圖可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子在亞臨界轉(zhuǎn)速區(qū)(ω<ω1)運轉(zhuǎn)時，軸心軌跡表現(xiàn)為一系列擬周期分布的近似橢圓形。Poincaré截面圖上呈現(xiàn)出孤立的周期吸引子。此時轉(zhuǎn)子運動的實質(zhì)是在啟動過程中由于波箔片與軸承內(nèi)壁的非線性摩擦阻力引起的擬周期運動。該轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子還未完全啟浮，在運動方程中摩擦力起主要作用。

圖4 轉(zhuǎn)速為3 500 r/min時轉(zhuǎn)子的響應(yīng)

圖5為轉(zhuǎn)速ω=5 500 r/min時轉(zhuǎn)子的軸心軌跡圖和Poincaré截面圖。由圖可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子在臨界轉(zhuǎn)速區(qū)(ω≈ω1)運轉(zhuǎn)時，軸心軌跡表現(xiàn)為振幅較小的橢圓形。Poincaré截面圖上呈現(xiàn)出構(gòu)成封閉曲線的周期吸引子，此時轉(zhuǎn)子響應(yīng)為規(guī)則的周期運動。在該轉(zhuǎn)速下運動時，摩擦力恒定，軸承氣膜力起主要作用，轉(zhuǎn)子運動趨于平穩(wěn)，非線性特征很不明顯。

圖5 轉(zhuǎn)速為5 500 r/min時轉(zhuǎn)子的響應(yīng)

圖6為轉(zhuǎn)速ω=9 500r/min時轉(zhuǎn)子的軸心軌跡圖和Poincaré截面圖。由圖可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子在3倍臨界轉(zhuǎn)速附近(ω≈3ω1)運轉(zhuǎn)時，軸心軌跡表現(xiàn)為圍繞著極限環(huán)的一系列近似的橢圓形，轉(zhuǎn)子在一個有一定寬度的空間環(huán)帶中運動。Poincaré截面圖上呈現(xiàn)出接近封閉曲線的周期吸引子，此時轉(zhuǎn)子響應(yīng)表現(xiàn)出典型的倍周期分岔特征，在耗散系統(tǒng)中可以充分認定其為擬周期運動。在該轉(zhuǎn)速下運動時，摩擦力恒定，軸承氣膜力起主要作用，但氣膜力方程的非線性特征開始體現(xiàn)。

圖6 轉(zhuǎn)速為9 500 r/min時轉(zhuǎn)子的響應(yīng)

圖7為轉(zhuǎn)速ω=15 000 r/min時轉(zhuǎn)子的軸心軌跡圖和Poincaré截面圖。由圖可知，在轉(zhuǎn)子出現(xiàn)倍周期分岔后繼續(xù)升速過程中，軸心軌跡的分岔現(xiàn)象不斷增強，空間環(huán)帶的寬度不斷增大，極限環(huán)的邊界也不斷縮小。Poincaré截面圖上也呈現(xiàn)出更為密集的周期吸引子，此時轉(zhuǎn)子響應(yīng)表現(xiàn)為強烈的擬周期運動。該轉(zhuǎn)速下軸承氣膜力依舊起主要作用，非線性特征十分明顯。

圖7 轉(zhuǎn)速為15 000 r/min時轉(zhuǎn)子的響應(yīng)

圖8為轉(zhuǎn)速ω=20 000 r/min時轉(zhuǎn)子的軸心軌跡圖和Poincaré截面圖。由圖可知，在典型的超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)，轉(zhuǎn)子軸心軌跡開始出現(xiàn)不規(guī)則特征，極限環(huán)的形狀開始變化，由橢圓形變?yōu)椴灰?guī)則形狀，同時振幅也相應(yīng)增大，運動在保留擬周期特征的同時開始表現(xiàn)出混沌特征。Poincaré截面圖上也開始出現(xiàn)典型的具有自相似特征的混沌吸引子，此時轉(zhuǎn)子響應(yīng)為擬周期運動和混沌運動的組合。該轉(zhuǎn)速下平箔片與波箔片、平箔片與軸頸之間的兩種摩擦為摩擦力的主要形式，其與軸承氣膜力同時作用，非線性特征更加強烈。

圖8 轉(zhuǎn)速為20 000 r/min時轉(zhuǎn)子的響應(yīng)

圖9為轉(zhuǎn)速ω=2 2000 r/min時轉(zhuǎn)子的軸心軌跡圖和Poincaré截面圖。由圖可知，在轉(zhuǎn)子開始出現(xiàn)混沌運動后繼續(xù)升速的過程中，擬周期特征開始減弱，混沌特征不斷增強，軸心軌跡的環(huán)帶外邊界消失，極限環(huán)也不再顯現(xiàn)，振幅繼續(xù)增大。Poincaré截面圖上的混沌吸引子的分布開始離散，不再具有自相似特征，此時轉(zhuǎn)子表現(xiàn)為典型的混沌運動。轉(zhuǎn)子氣膜力和摩擦力的非線性同時作用，轉(zhuǎn)子的運動開始不可控。

圖9 轉(zhuǎn)速為22 000 r/min時轉(zhuǎn)子的響應(yīng)

圖10為更高轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子的軸心軌跡圖。從轉(zhuǎn)子出現(xiàn)典型的混沌運動開始繼續(xù)升速，軸心軌跡變得更加不規(guī)則，混沌特征更加顯著，振幅也繼續(xù)增大。同時由于混沌吸引子更加離散，在Poincaré截面圖的坐標(biāo)系中無法顯示。此時轉(zhuǎn)子表現(xiàn)為完全混沌狀態(tài)，氣膜力和摩擦力的作用無法順利區(qū)分。在轉(zhuǎn)子達到90 000r/min以上時，振幅開始超過初始氣膜厚度，波箔片將于軸瓦表面貼合，波箔軸承無法正常工作。

圖10 轉(zhuǎn)速為27 000 r/min和50 000 r/min時轉(zhuǎn)子的響應(yīng)

4 初步試驗驗證

實際運轉(zhuǎn)時的轉(zhuǎn)子非線性現(xiàn)象受許多因素影響，除了本文所分析的氣膜力與箔片摩擦外，轉(zhuǎn)子不對中故障、軸承套碰磨等也會引起非線性振動，因此，要對轉(zhuǎn)子非線性進行系統(tǒng)化的試驗研究是十分困難的。國內(nèi)目前對氣體軸承轉(zhuǎn)子的非線性試驗研究仍處于探索階段。

本文對所分析轉(zhuǎn)子在20 000r/min以下運轉(zhuǎn)時的軸心軌跡作了試驗測試，試驗裝置如圖11所示。

圖11 波箔軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)實驗臺

圖12為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速分別為5 000r/min、10 000r/min、15 000r/min、20 000r/min時測試并整理得到的轉(zhuǎn)子軸心軌跡。由測試結(jié)果可以看出，隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的上升，轉(zhuǎn)子的非線性特征漸趨明顯，試驗結(jié)果與理論計算值較為接近。限于試驗條件，本文對于轉(zhuǎn)速更高時的轉(zhuǎn)子運動規(guī)律尚未進行進一步驗證，這也是國內(nèi)氣體軸承與轉(zhuǎn)子動力學(xué)等學(xué)科所需研究的一項重要課題。

圖12 試驗測試得到的轉(zhuǎn)子軸心運動軌跡

5 結(jié)語

1)波箔軸承支承轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性表現(xiàn)為：在亞臨界轉(zhuǎn)速區(qū)，轉(zhuǎn)子響應(yīng)以周期運動為主，其間有短暫的擬周期運動和混沌運動；在臨界轉(zhuǎn)速區(qū)，摩擦力影響減小，轉(zhuǎn)子響應(yīng)為周期運動，呈現(xiàn)線性振動特征；在超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)，響應(yīng)以擬周期運動和混沌運動為主要運動形式，氣膜力和摩擦力的非線性影響充分體現(xiàn)。

2)隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的變化，響應(yīng)的形態(tài)發(fā)生變化，擬周期與混沌運動的比重不斷改變。在超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)，一般轉(zhuǎn)速越高，擬周期運動的比重越小，混沌運動的比重越大；同時，轉(zhuǎn)速的增加會導(dǎo)致轉(zhuǎn)子振幅的增大，該波箔氣體軸承空載時的極限轉(zhuǎn)速約為90 000r/min。

3)波箔軸承支承的轉(zhuǎn)子在升速過程中，在亞臨界轉(zhuǎn)速區(qū)會受到摩擦力影響，在臨界轉(zhuǎn)速區(qū)會有強烈的振動，當(dāng)轉(zhuǎn)速過高時，軸承的穩(wěn)定性和承載能力均會下降。因此，波箔軸承的工作轉(zhuǎn)速需要控制在超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)且轉(zhuǎn)速不能過高，減小非線性振動的影響。